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1、黄冈中学网校达州分校2.1 2.1 函函 数数1. 1. 函数的概念函数的概念勤奋勤奋好学好学黄冈中学网校达州分校 （一）引言（一）引言 我们在初中已经学习了函数的概念，它的定义我们在初中已经学习了函数的概念，它的定义是这样叙述的：是这样叙述的： 设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量 x x 与与 y y ，如如果对于果对于 x x 的每一个值，的每一个值，y y 都有唯一的值与它对应，都有唯一的值与它对应，那么就说那么就说 y y 是是 x x 的函数，的函数，x x 是自变量是自变量. . 我们已经学习了正比例函数，反比例函数，一我们已经学习了正比例函数，反比例函数，一
2、次函数，二次函数，下面我们将进一步学习函数次函数，二次函数，下面我们将进一步学习函数. . 问题问题 1 1：y y = 1 (= 1 (x x R) R) 是不是函数？是不是函数？是是不不是是同同一一个个函函数数？与与：问问题题xxyxy22 这两个问题，我们一会儿再作出回答这两个问题，我们一会儿再作出回答. （二）函数的概念（二）函数的概念 我们先看两个非空数集的元素之间的一些对我们先看两个非空数集的元素之间的一些对应关系的例子应关系的例子. .123123456AB乘以乘以2( 1 )求平方求平方1-12-23-3149AB( 2 ) (1) 对应法则是对应法则是“乘以乘以 2”，对于集
3、合对于集合 A 中的每一个数中的每一个数 n ，在集合在集合B中有唯一的数中有唯一的数 2n 和它和它对应对应. (2) 对应法则是对应法则是“求平方求平方”,对于集合对于集合A中的每一个数中的每一个数 m，在集合在集合B中有唯一的数中有唯一的数 m 2 和和它对应它对应.黄冈中学网校达州分校1234121B求求倒数倒数A( 3 )3141.13对对应应和和它它中中都都有有唯唯一一的的数数集集合合，在在中中的的每每一一个个数数对对于于集集合合）对对应应法法则则是是求求倒倒数数，（xBxA 这几个对应的共同特点这几个对应的共同特点: 对于集合对于集合A 中的任意一个中的任意一个数，在集合数，在集
4、合B 中都有唯一的数中都有唯一的数和它对应和它对应. 函数实际上就是从自变量函数实际上就是从自变量 x 的集合到函数值的集的集合到函数值的集合的一种对应关系合的一种对应关系.黄冈中学网校达州分校v 定义：定义：设设 A A ，B B 都是非空的数集，如果按某个确都是非空的数集，如果按某个确定定的对应关系的对应关系 f f ，使得对于集合使得对于集合 A A 中的任意一个中的任意一个数数 x x，在集合在集合 B B 中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 f f ( (x x) ) 和它和它对应，那么就称对应，那么就称 f f : : A AB B 为从集合为从集合 A A 到集合到集合 B B
5、 的一个的一个函数函数，记作，记作 y y = = f f ( ( x x ) ) ，x x A A . . 其中，其中，x x 叫做自变量，叫做自变量，x x 的取值范围的取值范围 A A 叫做函数叫做函数的的定义域定义域，与，与 x x 的值相对应的的值相对应的 y y 的值叫做函数值，的值叫做函数值，函数值的集合函数值的集合 f f ( (x x) | ) | x x A A 叫做函数的叫做函数的值值域域. .注意：注意： 集合集合A,BA,B连同对应法则连同对应法则f f一起，称为一起，称为A A到到B B的一个函数，千万的一个函数，千万不要误认为仅应法则不要误认为仅应法则f f为函数
6、。为函数。 集合集合A,BA,B及对应法则及对应法则f f为函数的三大要素。实际上，值域是为函数的三大要素。实际上，值域是由定义域和对应法则决定的。由定义域和对应法则决定的。 两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则完全两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则完全相同。但表示自变量和函数值的符号可以不同。相同。但表示自变量和函数值的符号可以不同。集合集合B B不一定是函数的值域，函数的值域是不一定是函数的值域，函数的值域是B B的子集的子集. .黄冈中学网校达州分校 例如，例如， ( 1 ) . ( 1 ) . 一次函数一次函数 y y = = ax + b ax + b ( (
7、a a 0 ) 0 )定义域是定义域是 R R ，值域也是值域也是 R. R. 对于对于 R R 中的任意一个中的任意一个数数 x x，在在 R R 中有唯一的数中有唯一的数 y y = = ax + b ax + b ( ( a a 0 ) 0 ) 和它对应和它对应. . .)0(0|0|)0()()2(和和它它对对应应中中都都有有唯唯一一的的一一个个实实数数，在在任任意意一一个个实实数数中中的的，对对于于，值值域域是是的的定定义义域域是是反反比比例例函函数数 kxkyBxAyyBxxAkxkxf黄冈中学网校达州分校v （3 3）二次函数）二次函数f f ( ( x x ) = ) = ax
8、ax2 2 + + bxbx + + c c ( ( a a 0 ) 0 ) 的定义域为的定义域为R R，值域为值域为B,B,;4402 abacyyBa时时，当当.4402 abacyyBa时时，当当 对于对于R中的任意一个数中的任意一个数 x，在在 B 中有唯一的实数中有唯一的实数y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 和它对应和它对应 .黄冈中学网校达州分校 注意：注意： （1 1）函数除用）函数除用 f f ( ( x x ) ) 表示外，有时也常用表示外，有时也常用 g g ( ( x x ) )， F F ( ( x x ) ) ，G G ( ( x x ) ) 等符号来
9、表示等符号来表示. . （2 2）当自变量）当自变量 x x 在定义域中任取一个确定的在定义域中任取一个确定的值值 a a 时，对应的函数值用符号时，对应的函数值用符号 f f ( ( a a ) ) 来表示来表示. . 例如，函数例如，函数 f f ( ( x x ) = ) = x x2 2 + 3+ 3x x + 1+ 1，当当 x x = 2 = 2 时的函数值为时的函数值为 f f ( 2 ) = 2( 2 ) = 22 2 + 3+ 3 2 + 1 = 11.2 + 1 = 11. （3 3）函数符号函数符号 y y = = f f ( ( x x ) ) 中的中的 f f 表示对
10、应表示对应法则，不同的函数，法则，不同的函数，f f 的具体含义是不一样的的具体含义是不一样的 . .黄冈中学网校达州分校 （三）函数三大要素：（三）函数三大要素： 定义域，值域，对应法则是函数的三大要素，定义域，值域，对应法则是函数的三大要素，而定义域和对应法则，是基本要素，因为函数的定义而定义域和对应法则，是基本要素，因为函数的定义域和对应法则确定以后，它的值域也就随之确定了域和对应法则确定以后，它的值域也就随之确定了. . 因此，在判定两个函数是否相同时，就要看因此，在判定两个函数是否相同时，就要看定义域和对应法则是否完全相同，完全相同时，这两定义域和对应法则是否完全相同，完全相同时，这
11、两个函数才是同一个函数个函数才是同一个函数. .解决本课开始所提出的两个问题：解决本课开始所提出的两个问题：（1） y = 1 (x R) 是不是函数？是不是函数？是是不不是是同同一一个个函函数数？与与xxyxy2)2( 答案：答案： （1）是函数）是函数. （2）不是同一函数）不是同一函数 .黄冈中学网校达州分校v 例例 1 1 下列函数哪个与函数下列函数哪个与函数 y y = = x x 是同一个函数？是同一个函数？ ;)1(2xy ;)2(33xy .)3(2xy 简要答案：第（简要答案：第（1）与）与 y = x 定义域不同，定义域不同， 第（第（3）题与）题与 y = x 对应法则不
12、同，对应法则不同， 第（第（2）题是同一函数）题是同一函数.黄冈中学网校达州分校v 例例 2 2 判断下列各组中的两个函数是否是同一判断下列各组中的两个函数是否是同一函数，为什么？函数，为什么？;22)(,)2)(2()()1( xxxfxxxf;1)(,5)5)(1()()2( xxfxxxxf.1)(,11)()3(2xxxfxxxf 略解：略解： （1）定义域不同，不是同一函数）定义域不同，不是同一函数.（2）定义域不同，不是同一函数）定义域不同，不是同一函数.（3）是同一函数）是同一函数.黄冈中学网校达州分校 （四）复合函数（四）复合函数 给定两个函数给定两个函数 y y = = f
13、f ( ( x x ) ) 和和 y y = = g g ( ( x x ) )，则称则称 f f g g( ( x x )和和 g g f f ( ( x x ) ) 为由这两个函为由这两个函数复合而成的复合函数数复合而成的复合函数. . 例例 3 3 已知函数已知函数 f f ( (x x) = 2) = 2x x 3 3 和和 g g( (x x) = ) = x x2 2+2+2，求函数求函数 f f g g( ( x x )和和g g f f ( ( x x ) .) . 答案：答案： f f g g( ( x x ) = 2) = 2x x 2 2 + 1 + 1 g g f f ( ( x x ) = 4 ) = 4 x x2 2 -12-12x x + 11 .+ 11 . 例例 4 已知函数已知函数 f (x) = 3 x2 5 x + 2 ，求求 f ( 3 )， f ( - - ) ，f ( a ) ，f ( a + 1 ) .2黄冈中学网校达州分校小结小结. .函数的概念函数的概念. .函数三大要素：函数三大要素：. .复合函数复合函数作业作业