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1、2022年基本初等函数导数公式及导数运算法则练习 第 一章 1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则( 二) 课 后 强化 演练 一、选择题 1函数 y1(2x1) 2 的导数为( ) A4(2x1) 2 B4(2x1) 2 C4(2x1) 3 D4(2x1) 3 解析：y′ 4(2x1)(2x1) 44(2x1) 3 . 答案：D 2曲线 yxx2 在(1，1)处的切线方程为( ) Ayx2 By3x2 Cy2x3 Dy2x1 解析：y′ x2x(x2) 22(x2) 2 . ∴y′ | x 1 2，∴切线方程
2、为 y12(x1)， 即 y2x1. 答案：D 3已知 f(x)xln x，若 f′(x 0 )2，则 x 0 等于( ) Ae 2 Be Cln 22 Dln 2 解析：f′(x)x′ln xx(ln x)′ ln xx1x 1ln x. ∴f′(x 0 )1ln x 0 2，ln x 0 1，x 0 e. 答案：B 4若函数 f(x)xe x 在 xc 处的导数值比函数值大 1，则 c 的值为( ) A1 B0 C0 或 1 De 解析：f′(x)e x xe x ， 由题意得：f′(c)f(
3、c)e c 1，∴c0. 答案：B 5已知函数 f(x)(xa)(xb)(xc)，且 f′(a)f′(b)1，则 f′(c)等于( ) A 12 B 12 C1 D1 解析：由 f′(x)(xa)′(xb)(xc) (xa)(xb)(xc)′ (xb)(xc)(xa)(xb)(xc)′得 f′(a)(ab)(ac)0(ab)(ac)1，同理，f′(b)(ba)(bc)1，由 (ab)(ac)1，(ba)(bc)1， 得(ab)(acbc)2，即(ab) 2 2. &ther
4、e4;f′(c)(ca)(cb)1ab 1ba 1(ab) 2 12 . 答案：A 6若存在过(1,0)的直线与曲线 yx 3 和 yax 2 154x9 都相切，则 a 等于( ) A1 或 2564 B1 或 214 C 74 或2564 D 74 或 7 解析：设 yx 3 上的切点为(x 0 ，x 3 0 )，y′ | xx 0 3x 2 0 ， ∴切线方程为 yx 3 0 3x 2 0 (xx 0 )，又(1,0)在切线上， ∴2x 3 0 3x 2 0 0，得 x 0 0 或 x 0 32 . ∴公切线的斜率为 k0
5、 或 k 274. 当 k0 时，切线方程为 y0. 又 y0 与 yax 2 154x9 相切， ∴Δ 1542 36a0，得 a 2564 . 当 k 274时，切线方程为 y 274(x1) 由 y 274(x1)，yax 2 154x9，得：ax 2 3x 94 0. 由 Δ99a0，得 a1. 答案：A 二、填空题 7函数 ysin(2x 2 x)的导数是_ 解析：y′cos(2x 2 x)(2x 2 x)′ (4x1)cos(2x 2 x) 答案：(4x1)cos(2x 2 x) 8曲线 yln(2x)上随意一点 P 到
6、直线 y2x 的距离的最小值是_ 解析：y′ 1x .由1x 2 得 x12 ，yln 2× 120，即与直线 y2x 平行的曲线 yln(2x)的切线的切点坐标为 12 ，0 . 则 P 到 y2x 的距离的最小值为点 12 ，0 到直线 y2x 的距离 ∴d15 55. 答案：55 9若曲线 f(x)ax 2 ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_ 解析：f′(x)2ax 1x ，又 f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f′(x)0 有解，即：2ax1x 0 在(0，∞)上有解，
7、∴a12x 2 ，∴a∈(∞ ,0) 答案：(∞ ,0) 三、解答题 10求下列函数的导数 (1)y3x 2 xcosx； (2)ysinxsinxcosx ； (3)ysin3xcos2x. 解：(1)y′6xcosxxsinx. (2)y′ cosx(sinxcosx)(cosxsinx)sinx(sinxcosx) 2 1(sinxcosx) 2 . (3)y′3cos3x2sin2x. 11已知曲线 f(x)ax 3 b 的图象经过点(0,1)，且在 x1 处的切线方程是 y3x1，(1)
8、求 yf(x)的解析式；(2)求曲线在点(1,0)处的切线的方程 解：(1)f′(x)3ax 2 ， f(x)在 x1 处的切线方程是 y3x1. ∴f′(1)3a3，a1. ∴f(x)x 3 b， 又f(x)的图象经过点(0,1) ∴b1， ∴f(x)x 3 1. (2)由(1)知，f′(x)3x 2 ，kf′(1)3×(1) 2 3. ∴曲线在点(1,0)处的切线方程是 y3(x1)，即 3xy30. 12已知 f(x) x2 ax2e x在其图象上随意一点(x
9、 0 ，f(x 0 )处的切线的斜率都小于零，求实数 a 的取值范围 解：f(x) x2 ax2e x， ∴f′(x) (2xa)ex e x (x 2 ax2)(e x ) 2 x2 (a2)x2ae x. 由题意知：x 2 (a2)x2a>0 恒成立 ∴Δ(a2) 2 4(a2)<0， 得2<a<2. ∴实数 a 的取值范围是(2,2) 选做 13给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导函数 f′(x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D上存在二阶导
10、函数，记 f″(x)(f′(x)′，若 f″(x)0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数以下四个函数在 0， π2上不是凸函数的是( ) Af(x)sinxcosx Bf(x)ln x2x Cf(x)x 3 2x1 Df(x)xe x 解析：若 f(x)sinxcosx，则 f″(x)sinxcosx，在 x∈ 0， π2上，恒有 f″(x)0；若 f(x)ln x2x，则 f″(x)1x 2 ，在 x∈ 0， π2上，恒有 f″(x)0；若 f(x)x 3 2x1，则 f″(x)6x，在 x∈ 0， π2上，恒有 f″(x)0；若 f(x)xe x ，则 f″(x)2e x xe x (2x)e x ，在 x∈ 0， π2上，恒有 f″(x)0，故选 D. 答案：D 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页