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1、2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1（4分）2的相反数是（）A2B2CD2（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A1.533109B1.5331010C1.5331011D1.53310123（4分）如图，BDEF，AE与BD交于点C，B30，A75，则E的度数为（）A135B125C115D1054（4分）下列各式正确的是（）A2a2+3a25a4Ba2aa3C（a2）3a5Da5（4分）不等
2、式1xx1的解集是（）Ax1Bx1Cx1Dx16（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A17，8.5B17，9C8，9D8，8.57（4分）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦其中，真命题的个数是（）A1B2C3D48（4分）如图，正比例函数ykx与反比例函数y的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则ABC的面积等于（）A8B6C4D29（4分）如图，在AB
3、C中，CACB4，cosC，则sinB的值为（）ABCD10（4分）如图，在ABC中，D在AC边上，AD：DC1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC（）A1：2B1：3C1：4D2：311（4分）如图，在AOC中，OA3cm，OC1cm，将AOC绕点O顺时针旋转90后得到BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2AB2CD12（4分）二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0，其中错误结论的个数是（）A1B2C3D4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13（4分）方程组的解是
4、14（4分）方程+1的解是 15（4分）如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于H，A30，CD2，则O的半径是 16（4分）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则SAEF：SCBF是 17（4分）将抛物线y（x3）22向左平移 个单位后经过点A（2，2）三、解答题（共5小题，共32分）18（5分）计算：tan45+（）0（）2+|2|19（5分）先化简，再求值：（a+3）2（a+1）（a1）2（2a+4），其中a20（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F
5、求证：OEOF21（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率22（8分）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连
6、接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若OBBF，EF4，求AD的长四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23（5分）当0x3时，直线ya与抛物线y（x1）23有交点，则a的取值范围是 24（5分）如图，正方形ABCD中，AB12，AEAB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 五、解答题（共4小题，共40分）25（8分）已知二次函数yx2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+1，求a的值26（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若ab0（或0），则或；若ab0（或0），则或根
7、据上述知识，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集为：x3或x2请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x22x30的解集为 （2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）27（10分）如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的长28（12分）如图，抛物线yax2+bx+c的图象过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最
8、小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得SPAMSPAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2019年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1（4分）2的相反数是（）A2B2CD【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是2故选：A【点评】本题考查了相反数的意义注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相
9、反数是02（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A1.533109B1.5331010C1.5331011D1.5331012【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 300 000 0001.5331011故选：C【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1a10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法3（4分）如图，BDEF，AE与BD交于点C，B30，A75，则E的度数为（）A135B125C115D105【分析】直接利用三角形的外角性质得出ACD度数，再利
10、用平行线的性质分析得出答案【解答】解：B30，A75，ACD30+75105，BDEF，EACD105故选：D【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键4（4分）下列各式正确的是（）A2a2+3a25a4Ba2aa3C（a2）3a5Da【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可【解答】解：A、2a2+3a25a2，故选项A不合题意；B、a2aa3，故选项B符合题意；C、（a2）3a6，故选项C不合题意；D、|a|，故选项D不合题意故选：B【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性
11、质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键5（4分）不等式1xx1的解集是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解【解答】解：1xx1，2x2x1故选：C【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错6（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A17，8.5B17，9C8，9D8，8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
12、由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，这组数据的中位数为8.5；故选：D【点评】本题考查了中位数、众数的概念本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数7（4分）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦其中，真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可【解答】解：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题
13、；两点之间线段最短；真命题；相等的圆心角所对的弧相等；假命题；平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理8（4分）如图，正比例函数ykx与反比例函数y的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则ABC的面积等于（）A8B6C4D2【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SOBASOBC，再根据反比例函数系数k的几何意义
14、作答即可【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|所以ABC的面积等于2|k|k|4故选：C【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|9（4分）如图，在ABC中，CACB4，cosC，则sinB的值为（）ABCD【分析】过点A作ADBC，垂足为D，在RtACD中可求出AD，CD的长，在
15、RtABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值【解答】解：过点A作ADBC，垂足为D，如图所示在RtACD中，CDCAcosC1，AD；在RtABD中，BDCBCD3，AD，AB2，sinB故选：D【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键10（4分）如图，在ABC中，D在AC边上，AD：DC1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC（）A1：2B1：3C1：4D2：3【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出ADDGG
16、C，AG：GC2：1，AO：OF2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比【解答】解：如图，过O作OGBC，交AC于G，O是BD的中点，G是DC的中点又AD：DC1：2，ADDGGC，AG：GC2：1，AO：OE2：1，SAOB：SBOE2设SBOES，SAOB2S，又BOOD，SAOD2S，SABD4S，AD：DC1：2，SBDC2SABD8S，S四边形CDOE7S，SAEC9S，SABE3S，故选：B【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式11（4分）如图，在AOC中，OA3cm，OC1cm，将
17、AOC绕点O顺时针旋转90后得到BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2AB2CD【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解【解答】解：AOCBOD，阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积2，故选：B【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积是解题关键12（4分）二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0，其中错误结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】对称轴为x，得b3a；函数
18、图象与x轴有两个不同的交点，得b24ac0；当x1时，ab+c0，当x3时，9a3b+c0，得5a2b+c0；由对称性可知x1时对应的y值与x4时对应的y值相等，当x1时a+b+c0，4b+3c3b+b+3c3b+3a+3c3（a+b+c）0；【解答】解：由图象可知a0，c0，对称轴为x，x，b3a，正确；函数图象与x轴有两个不同的交点，b24ac0，正确；当x1时，ab+c0，当x3时，9a3b+c0，10a4b+2c0，5a2b+c0，正确；由对称性可知x1时对应的y值与x4时对应的y值相等，当x1时a+b+c0，b3a，4b+3c3b+b+3c3b+3a+3c3（a+b+c）0，4b+3
19、c0，错误；故选：A【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13（4分）方程组的解是【分析】利用加减消元法解之即可【解答】解：，得：x6，把x6代入得：6+y10，解得：y4，方程组的解为：，故答案为：【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键14（4分）方程+1的解是x2【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可【解答】解：去分母，得（2x1）（x+1）2（x+1）（x1）去括号，得2x2+x3x21移项并整理，得x2+x20所以（x+2）（x1）0解
20、得x2或x1经检验，x2是原方程的解故答案为：x2【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法掌握分式方程的解法是解决本题的关键注意验根15（4分）如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于H，A30，CD2，则O的半径是2【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出ACB90，CHDHCD，由直角三角形的性质得出AC2CH2，ACBC2，AB2BC，得出BC2，AB4，求出OA2即可【解答】解：连接BC，如图所示：AB是O的直径，弦CDAB于H，ACB90，CHDHCD，A30，AC2CH2，在RtABC中，A30，ACBC2，AB2BC，BC2，AB4，OA2，即O的半径是2；故答案为：2【
21、点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键16（4分）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则SAEF：SCBF是4：25或9：25【分析】分AE：ED2：3、AE：ED3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：当AE：ED2：3时，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AE：BC2：5，AEFCBF，SAEF：SCBF（）24：25；当AE：ED3：2时，同理可得，SAEF：SCBF（）29：25，故答案为：4：25或9：25【点评】本题考查的是相似
22、三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键17（4分）将抛物线y（x3）22向左平移3个单位后经过点A（2，2）【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案【解答】解：将抛物线y（x3）22向左平移后经过点A（2，2），设平移后解析式为：y（x3+a）22，则2（23+a）22，解得：a3或a1（不合题意舍去），故将抛物线y（x3）22向左平移3个单位后经过点A（2，2）故答案为：3【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键三、解答题（共5小题，共32分）18（5分）计算：tan45+（）0
23、（）2+|2|【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果【解答】解：原式1+12+（2）【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识19（5分）先化简，再求值：（a+3）2（a+1）（a1）2（2a+4），其中a【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a1）利润平方差公式可化为（a21），则将各项合并即可化简，最后代入a进行计算【解答】解：原式a2+6a+9（a21）4a82a+2将a代入原式2（）+21【
24、点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变20（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，根据AMBE，即可得出MEA+MAE90AFO+MAE，从而证出RtBOERtAOF，得到OEOF【解答】证明：四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFOB
25、OEAOF（AAS）OEOF【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形21（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为90；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图
26、方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；（2）用360乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有1845%40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为36090，故答案为：90（3）获二等奖的人数4020%8，一等奖的人数为4
27、0810184（人），条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率也考查了统计图22（8分）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延
28、长线交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若OBBF，EF4，求AD的长【分析】（1）连接OD，由AB为O的直径得BDC90，根据BEEC知13、由ODOB知24，根据BC是O的切线得3+490，即1+290，得证；（2）根据直角三角形的性质得到F30，BEEF2，求得DEBE2，得到DF6，根据三角形的内角和得到ODOA，求得AADOBOD30，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，AB为O的直径，ADBBDC90，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切线，3+490，1+490，又24，1+290，DF为O的切线；（2）OBBF，O
29、F2OD，F30，FBE90，BEEF2，DEBE2，DF6，F30，ODF90，FOD60，ODOA，AADOBOD30，AF，ADDF6【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23（5分）当0x3时，直线ya与抛物线y（x1）23有交点，则a的取值范围是3a1【分析】直线ya与抛物线y（x1）23有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算【解答】解：法一：ya与抛物线y（x1）23有交点则有a（x1）23，整理得x22x2a0b24ac4+4（2+a）0解得a3，0x
30、3，对称轴x1y（31）231a1法二：由题意可知，抛物线的 顶点为（1，3），而0x3抛物线y的取值为3y1ya，则直线y与x轴平行，要使直线ya与抛物线y（x1）23有交点，抛物线y的取值为3y1，即为a的取值范围，3a1故答案为：3a1【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算24（5分）如图，正方形ABCD中，AB12，AEAB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4【分析】先证明BPECQP，得到与CQ有关的比例式，设CQy，BPx，则CP12x，代入解析
31、式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值【解答】解：BEP+BPE90，QPC+BPE90，BEPCPQ又BC90，BPECQP设CQy，BPx，则CP12x，化简得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以当x6时，y有最大值为4故答案为4【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想五、解答题（共4小题，共40分）25（8分）已知二次函数yx2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+1，求a的值【分析】有韦达定理得x1+x21，x1x2a，将式子+1化简代入即可；【解答
32、】解：yx2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x1+x21，x1x2a，+1，a1+或a1；【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键26（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若ab0（或0），则或；若ab0（或0），则或根据上述知识，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集为：x3或x2请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x22x30的解集为1x3（2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则
33、可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得【解答】解：（1）原不等式可化为：或由得，空集，由得，1x3，原不等式的解集为：1x3，故答案为：1x3（2）由0知或，解不等式组，得：x1；解不等式组，得：x4；所以不等式0的解集为x1或x4【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键27（10分）如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的长
34、【分析】（1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证AMMDMB4，由BD2ADCD和勾股定理可求MC的长，通过证明MNBCND，可得，即可求MN的长【解答】证明：（1）DB平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCDBD2ADCD（2）BMCDMBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212MC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCND，且MC2MN【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的
35、关键28（12分）如图，抛物线yax2+bx+c的图象过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得SPAMSPAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A（1，0）、B（3，0），故可设交点式ya（x+1）（x3），把点C代入即求得a的值，减小计算量（2）由于点A、B关于对称轴：直线x1对称，故有PAPB，则CPACA
36、C+PC+PAAC+PC+PB，所以当C、P、B在同一直线上时，CPACAC+CB最小利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x1代入即求得点P纵坐标（3）由SPAMSPAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等又因为M在x轴上方，故有CMPA由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）可设交点式ya（x+1）（x3）把点C（0，3）代入得：3a3a1y（x+1）（x3）x2+2x+3抛物线解析式为yx2+2x+3（2）在
37、抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAC的周长最小如图1，连接PB、BC点P在抛物线对称轴直线x1上，点A、B关于对称轴对称PAPBCPACAC+PC+PAAC+PC+PB当C、P、B在同一直线上时，PC+PBCB最小A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）AC，BCCPACAC+CB最小设直线BC解析式为ykx+3把点B代入得：3k+30，解得：k1直线BC：yx+3yP1+32点P（1，2）使PAC的周长最小，最小值为（3）存在满足条件的点M，使得SPAMSPACSPAMSPAC当以PA为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等M在x轴上方CMPAA（1，0），P（1，2），设直线AP解析式为ypx+d 解得：直线AP：yx+1直线CM解析式为：yx+3 解得：（即点C），点M坐标为（1，4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单