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1、2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选 择 题（共 12个小题，每小题4 分，共 4 8 分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1.（4 分）-2 的相反数是（）A.2 B.-2 C.1-D.-L2 22.（4 分）2018年凉山州生产总值约为153300000000,用科学记数法表示数153300000000是（）A.1.533X 109 B.1.533X 1O10 C.1.533X 10“D.1.533X 10123.（4 分）如图，BD/E F,A E与 B D 交于点C,NB=30,NA=75,则N E 的度数为C.115 D.1054
2、.（4 分）下列各式正确的是（）A.2 a2+3a2=5a4C.（a2）3=a55.（4 分）不等式1 -x Nx -1 的解集是（A.B.X 2-1Bn.cT2 9a=cr3D.4a)C.x W l D.x W -16.（4 分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示:人 数（人）317137时 间（小时）78910那么该班4 0 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.17,8.5 B.17,9 C.8,9 D,8,8.57.（4 分）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦.其中，真
3、命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.48.（4 分）如图，正比例函数）=依与反比例函数），=&的图象相交于A、C 两点，过 点 AX作 x 轴的垂线交x 轴于点8,连接8 C,则aA B C 的面积等于（）A.8 B.6 C.4 D.29.（4 分）如图，在ABC 中，C A=C B=4,c o s C=L,则 sinB 的 值 为（）4410.（4 分）如图，在48C 中，。在 AC 边上，A D：DC=1：2,。是 8。的中点，连接AOD.2：311.（4 分）如图，在AOC中，O 4=3C7，0 c=1CTH,将4 0 C 绕 点 0 顺时针旋转90后得到B O Q,则 AC边在
4、旋转过程中所扫过的图形的面积为（）足DA.B.2K C.A L n D.UTT2 8 812.（4分）二次 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示，有以下结论：3-6=0；信-4a c 0；5a-2b+c 0；4b+3c 0,其中错误结论的个数是（）A.1C.3 D.4二、填 空 题（共 5 个小题，每小题4 分，共 20分）13.（4分）方程组1+尸1的解是.12x+y=1614.（4分）方程2XT +_g_=i的解是_ _ _ _ _ _.x-l i-x215.（4分）如图所示，4 B是。的直径，弦C O_ L A B于H,乙4=30,C D=2炳,则。O16.（4分）在“A 2C Z
5、）中，E是AO上 一点，且点E将AO分为2：3的两部分，连接8E、AC 相交于 F,则 SA A EF：SKB F是.17.（4分）将抛物线丫=（x-3）2-2向左平移 个单位后经过点A （2,2）.三、解 答 题（共 5 小题，共 32分）18.(5 分)计 算：t a n 45 +(-圾)-(-1)-2+l V3-2|.19.(5 分)先化简，再求值：(。+3)2-Q+i)(a-i)-2(2a+4),其中 a=-L.220.(6分)如图，正方形A 8 C D的对角线A C、B D相交于点O,E是。C上一点，连 接EB.过点A作A M_ L 2E,垂足为M,AM与2。相交于点F.求证：OE=
6、OF.21.(8分)某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题：86420864201X1X 1X 1X 1X(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；(2)在扇形统计图中，“三等奖”所 对 应 的 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为；(3)将条形统计图补充完整；(4)若获得一等奖的同学中有工来自七年级，工来自九年级，其余的来自八年级，学校4 2决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率.2 2.(8分)如 图，点。
7、是以A B为 直 径 的 上 一 点，过 点B作。的切线，交AO的延长线于点C,E是B C的中点，连接。E并延长与A B的延长线交于点反(1)求证：。尸是。的切线；(2)若 OB=BF,E尸=4,求 A D 的长.四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）2 3.（5分）当0 W x W 3时，直线y=“与抛物线），=（x-1）2-3有交点，则。的取值范围是.2 4.（5分）如图，正方形4 8C。中，A B 12,AE=Lb 点P在8 C上 运 动（不与8、C4重合），过点P作P Q 1 E P,交C D于点Q,则C Q的 最 大 值 为.五、解 答 题（共4小题，共40分）2 5.（8
8、分）已知二次函数y=/+x+a的图象与x轴交于A（x i,0）、B（x 2,0）两点，且X1 x2=1,求”的值.2 6.（1 0分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若 而 0（或且 0）,则J 或J；b b 0 b 0若abVO（或旦 或a 0.b b 0根据上述知识，求不等式（x-2）（x+3）0的解集（x-2 0（x-2 0 x+3 2,由（2）得，x -3,原不等式的解集为：x 2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：(1)不等式?-2 x-3 0的解集为.(2)求不等式史&交 A。于M.连接CM交。B于N.(1)求证：B D1=A D-C D；(2)若 C Q=6,A D=8
9、,求 M N 的长.2 8.(1 2 分)如 图，抛物线 y=a/+6 x+c 的图象过点 A (-1,0)、B(3,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得抬C的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及B4 C的周长：若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得SR W=SAR4C?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2019年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（共12个小题，每小题4分，共4 8分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填
10、涂在答题卡上相应的位置1.（4 分）-2 的相反数是（）A.2 B.-2 C.工 D.-工2 2【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.【解答】解：根据相反数的定义，-2 的相反数是2.故选：A.【点评】本题考查了相反数的意义.注意掌握只有符号不同的数为相反数，。的相反数是0.2.（4 分）2018年凉山州生产总值约为153300000000,用科学记数法表示数153300000000是（）A.1.533X 109 B.1.533X IO10 C.1.533X 10“D.1.533X 1012【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 30（）000 000=
11、1.533 X 1011故选：C.【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成。与 10的”次幕相乘的形式（IWaVlO,为整数），这种记数法叫做科学记数法.3.（4 分）如图，BD/E F,AE与 交 于 点 C,/B=30,ZA=75,则N E 的度数为（）A.135 B.125 C.115 D.105【分析】直 接 利 用 三 角 形 的 外 角 性 质 得 出 度 数，再利用平行线的性质分析得出答案.【解答】解：；/B=3 0,N A=7 5 ,A Z AC D=30+7 5 =1 05 ,：BD/E F,.Z =Z A C D=W 5 0 .故选：D.【点评】此题主要考查了平
12、行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键.4.（4分）下列各式正确的是（）A.2 a2+3a2=5a4 B.a1,a=a3C.（2）3a5 D.【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幕的乘法法则、塞的乘方法则以及二次根式的性质解答即可.【解答】解：A、2 a2+3a1=5a1,故选项A不合题意；B、a1*aai,故选项B符合题意：C、（J）3 =不，故选项C不合题意；D、J =l l，故选项。不合题意.故选：B.【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幕的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键.5.（4分）不等式1-Qx-1 的解集是（）A.B.x
13、e-1 C.x W l D.x W -1【分析】移项、合并同类项，系数化为1 即可求解.【解答】解：1 1,-2 x2 -2.x W L故选：C.【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.6.（4分）某班4 0 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人 数（人）31 71 37时 间（小时）7891 0那么该班4（）名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.1 7,8.5 B.1 7,9 C.8,9 D.8,8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数.【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即
14、8；由统计表可知，处于20,21 两个数的平均数就是中位数，.这组数据的中位数为期=8.5；2故选：D.【点评】本题考查了中位数、众数的概念.本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.7.（4分）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可.【解答】解：直线外一点到这条
15、直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；两点之间线段最短；真命题；相等的圆心角所对的弧相等；假命题；平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1 个；故选：A.【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写 成“如果那么”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.8.（4分）如图，正比例函数y=依与反比例函数），=2的图象相交于A、C两点，过 点 AX作 X轴的垂线交X轴于点B,连接B C,则AABC的面积等于（)A.8 B.6 C.4 D.2【分析】由于点4、C
16、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SOBA=SAOBC,再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可.【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积5 是个定值，即 S=白川.2所以aABC的面积等于2X11川=|川=4.2故选：C.【点评】主要考查了反比例函数y=k 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、x），轴垂线，所得矩形面积为因，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即5=1N.29.（4 分）如图
17、，在ABC 中，C A=C B=4,c o s C=L,贝 U sinB 的 值 为（）4A.国 B.逗 C.返 D.叵2 3 4 4【分析】过点A 作垂足为O,在 RtZ4C中可求出A。，CD的长，在4B。中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin8的值.【解答】解：过点A 作 A O LB C,垂足为 ,如图所示.在 RtZXACD 中，C=CA，cosC=1，.=五 口 2心2=任；在 中，B D=C B-C D=3,AO=VT，A8=、B D2+AD2=2 遥,AB 4【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD,A 8 的长是解题
18、的关键.10.（4 分）如图，在ABC中，。在 AC边上，A D：DC=1：2,。是 2。的中点，连接AO【分析】过。作 BC的平行线交AC与 G,由中位线的知识可得出AD DC=1：2,根据已知和平行线分线段成比例得出A D=D G=G C,AG-GC=2：1,A。：。尸=2：1,再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：尸 C 的比.【解答】解：如图，过。作 OG8 C,交 AC于 G,是 8。的中点，；.G 是。C 的中点.又 AD：C=1：2,：.A D=D G=G C,：.AG：GC=2：1,A O：O E=2：1,S AOB：SABOE=2设 SBOE=S,SAAOB
19、=2S,又 B O=O D,*SAOD=2SI S ABD=4S f*：A D：D C=1：2,:SBDC=2S2 ABD=8S,S 四边形C O O E=7 S，S/AE C=9S,SAABE=3S,.巡_SA A B E _ 3 S _1_E C SA A E C 9s 3【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式.11.（4分）如图，在AOC中，O4=3cro,O C=c m,将AOC绕 点。顺时针旋转90后得到BOZZ则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）切巳A.2L B.2n C.IZ.n D.2 8 8【分析】根
20、据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇 形OAB的面积-扇形O CD的面积，利用扇形的面积公式即可求解.【解答】解：/AOC /BOD,阴影部分的面积=扇形048的面积-扇形O CD的面积=剪二 2铲一-.迎 兀X2.3 603 60=2TT,故选：B.【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形O A B的面积-扇 形O CD的面积是解题关键.12.（4分）二次函数丁=/+灰+（:的部分图象如图所示，有以下结论：3 -=0；房-4 c 0；5 -2力+c 0；4/?+3 c 0,其中错误结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】对称轴为X=-3，
21、得b=3a；2函数图象与X轴有两个不同的交点，得=/?2-4QC 0；当 x=-l 时，a-h+c Of 当 x=-3 时，9a-3h+c Of 得 5-2。+。0；由对称性可知冗=1时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，当冗=1时a+c,V O,4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3（a+O+c）0,对称轴为x=-3,2*AvT =-1 3=-.b.j2 2a正确；:函数图象与X轴有两个不同的交点，.,.=必-4 a c 0正确；当 X-1 时，a-b+c 0,当 x=-3 时，9a-3b+c 0,：.lOa-4b+2 c 0,.5a-2 b+c 0,正确;由对称性可知x=l 时
22、对应的y 值与x=-4 时对应的y 值相等，/.当 x=1 时 a+b+c0,=3。，.46+3c=36+6+3c=36+3a+3c=3(a+b+c)0,：.4b+3cC=90,根据8E=E C 知/1 =/3、由 0。=08 知/2=N 4,根据 8 c 是。的切线得/3+N 4=90,即/1+/2=9 0 ,得证；(2)根据直角三角形的性质得到N P=30,B E=L E F=2,求 得D E=B E=2,得到2D F=6,根据三角形的内角和得到。=。4,求得/A=N A Z)O=L/8。=30,根2据等腰三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)如图，连接。，BD,：AB为。的直径，A
23、 ZADB=ZBDC=90 ,在 RtZiBQC 中，：BE=EC,：.DE=EC=BE,；.N l=/3,；BC是O O 的切线，；./3+N 4=90,.Zl+Z4=90,又；N 2=/4,.,.Z l+Z 2=90,.OF为。0 的切线；(2)，：OB=BF,：.OF2OD,：.ZF=30,：NFBE=90,:.BE=LEF=2,2:.DE=BE=2,：.DF=6,V Z F=3 0 ,Z O D F=9 0 ,A ZFOD=60,/0 0=0 4,A ZA=ZADO=L 7BOD=30,2:.ZA=ZF,：.AD=DF=6.【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角
24、形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.四、B 卷填空题(共2 小题，每小题5 分，共 10分)2 3.(5分)当0 W x W 3时，直 线 与 抛 物 线 丁=(x-1)2-3有交点，则的取值范围是-1.【分析】直线y=a与 抛 物 线 =(x -1)2-3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算.【解答】解：法一：y=n与抛物线了=(x-1#-3有交点则有 a(x -1)2-3,整理得 x2-2 x -2 -a0-4 a c=4+4 (2+a)解得-3,对称轴 x=l.，.y=(3 -1)2-3=1a W 1法二：由题意可知，.抛物线的顶点为(1,-3),而0 9所以当
25、x=6时，y有最大值为4.故答案为4.【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想.五、解 答 题（共4小题，共4 0分）2 5.（8分）已知二次函数），=/+犬+。的图象与 轴交于4 G 1,0）、从 孙0）两点，且 三+三X1 x2=1,求Q的值.【分析】有韦达定理得制+%2=-I,xr x2=,将式子2+2=1化简代入即可；X x2【解答】解：y=/+x+a的图象与x轴交于4 （xi,0）、B（%2,0）两点，AXI+X2=-L X i *xi=a,.1 I 1 xj+x2.（X i +x2）2-2 xi
26、X 2 _2 a h,2 2 2 2 /7 2 -T x j X 2 x 1 X 2 （X X 2）a.,.a=-1+避 或。=-1 -A/2：【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键.2 6.（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若 乃 0 （或旦 0）,则|、或|；b b 0 b 0 若/0 （或且 0）,则1 或1b b 0根据上述知识，求不 等 式（x-2）（x+3）0的解集（x-2 0 （x-2 0 x+3 2,由（2）得，x -3,原不等式的解集为：2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式?-2 x-3 0的解集为
27、-lx 3 .（2）求不等式上吗V0的 解 集（要求写出解答过程）1-x【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.V 3 0 Y 0【解答】解：原不等式可化为：;或 1.x+l 0由得，空集，由得，.原不等式的解集为：故答案为：（,2）.由,至Y4.上d 0或 I fx+4C0,1-x 1-x 0解不等式组，得：X 1；解不等式组，得：x -4；所以不等式五&1或x2=A/C。和勾股定理可求MC的长，通过证明MNBSCN。，可 得 典 叁
28、=2,即可求MN的CD -CN_3长.【解答】证明：（1）平分N A O C,：.NADB=N C D B,且/A B)=NBCO=90,:A A B D sA B C D.AD _BD,丽 F：.BD2=ADCD(2),:BM/CD：.ZM B D=ZB D C；.N A D B=N M B D,且NABQ=90:.BM=MD,ZM A B ZMBA：.BM=MD=AM=4：BD1=A D C D,且 C=6,AO=8,ABD2=48,.*.BC2=BD2-CD2=12：.MC1=M B2+BC2=2S:.M C=2 5：BM/CD:A M N es/xC N D.现=M N=2,且 MC=
29、2A/V【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键.28.(12 分)如 图，抛物线 丫=0?+法+的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以C的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及以C 的周长：若不存在，请说明理由：(3)在(2)的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C 点重合)，使得SPAMSAPAC若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由于条件给出抛物线与x 轴的交点4(-1,0),B(3,0),故可设交点式y=
30、a(x+1)(x-3),把 点 C 代入即求得。的值，减小计算量.(2)由于点A、B 关于对称轴：直线x=l对称，故 有 巩=P B,贝 CAMC=AC+PC+B4 A C+P C+P B,所以当C、P、B 在同一直线上时，CAIC=AC+CB最小.利用点A、B、C 的坐标求AC、C 8的长，求直线BC解析式，把 x=l代入即求得点P 纵坐标.(3)由必阳”=弘 4c可得，当两三角形以出为底时，高相等，即点C 和点M 到直线以距离相等.又因为M 在 x 轴上方，故有CM 刑.由 点 A、P 坐标求直线AP解析式,即得到直线CM解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标.【
31、解答】解：(1)抛物线与x 轴交于点4(-1,0)、B(3,0)，可设交点式y=a(x+1)(x-3)把 点 C(0,3)代入得：-3a=3.a-1*.y=-(x+1)(x-3)=-/+2 x+3.抛物线解析式为y=-/+2x+3(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得以C 的周长最小.如 图 1,连接PB、BC；点P在抛物线对称轴直线x=1上，点 A、B关于对称轴对称：.PA=PB：.CAPAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB.当C、P、B在同一直线上时，PC+PB=C B最小 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)：.AC=7 12+32=V10,B C=V 32+32=3/2，C
32、 以 c=A C+C B=V7 3+S V最 小设直线B C解析式为y=f c r+3把点B代入得：3%+3=0,解得：k=-1直线 BC：y=-x+3，y p=-1+3=2.点P(l,2)使B4 C的周长最小，最小值为J T 3+3&.(3)存在满足条件的点M,使得S W=S 以c.SPAM=SAPAC.当以雨为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等在x轴上方J.C M/PA,：A(-1,0),P(1,2),设直线A P解析式为=0氏+(/.(*+d=0 解得：(p=lk+d=2 1 d=l直线 A P：y=x+，直线CM解析式为：y=x+3v=x+3 f x)(及y值相同)，则对称
33、轴方程可以表示为：x =人*216、直线与抛物线的交点 y轴与抛物线y=ax1+bx+c得交点为(0,c)。抛物线与x 轴的交点。二次函数y =a x?+/u+c的图像与x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标、x2,是对应一元二次方程ax2+Z?x+c=0 的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点o(A 0)o抛物线与x轴相交：b有一个交点(顶点在x轴 上)o(A=0)o抛物线与x 轴相切；c 没有交点(0)o抛物线与x 轴相离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有2 个交点时，两交点的纵坐标相
34、等，设纵坐标为,则横坐标是G?+辰+。=%的两个实数根。一次函数y =kx+n(k H 0)的图像/与二次函数y=ax2+bx+c(a w 0)的图y =kx+n像G的交声，由 方 程 组 ,的解的数目来确定：y=ax +bx+ca方程组,两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；c 方程组无解时。/与G没有交点。抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y-ax2+bx+c与x轴两交点为 A（X,O）,B（X2,O）,则 A B =xt-x图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 匕二、
35、线段垂直平分线1.性质：线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.(2)等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角(简 写 成 等 边 对 等 角).等 腰 三 角 形 的 顶 角,底边上的,底边上的 互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相
36、等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.(2)等边三
37、角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于6 0 的 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角.直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的.在直角三角形中，3 0 的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5
38、)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那 么a2+b2-3.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足M+b2=c 2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形1.相 似 三 角 形 的 对 应 角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相 似
39、 多 边 形 周 长 的 比 等 于,相似多边形面积的比等于 的平方.2.相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于.3.相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形1.定义：两个多边形不仅相似，而且
40、对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.注意位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.2.位似图形的性质位 似 图 形 上 任 意 一 对 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于.(2)对 应 线 段 互 相.3.坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于.八、平行四边形1.定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形；2.平行四边形的性质平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别;(2)平
41、行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别；平 行 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别;平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相.总结J 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.定义法.2.两组对角分别 的四边形是平行四边形.3.两组对边分别 的四边形是平行四边形.4.对角线 的四边形是平行四边形.5.一组对边平行且_ _ _ _ _ _ 的四边形是平行四边形.九、矩形1.矩形的定义有一个角是直角的 是矩形.2.矩形的性质矩形对边;矩形四个角都是 角(或矩形四个角都相等)；矩形对角线、.总结(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；3.矩形的判
42、定定义法；有三个角是直角的 是矩形；对角线相等的 是矩形.十、菱形1.菱形的定义一组邻边相等的 是菱形.2.菱形的性质 菱 形 的 四 条 边 都:菱 形 的 对 角 线 互 相，互相，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的宜线是它的对称轴.注意菱形的面积：由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积=底又高；因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4 个全等三角形，故菱形的面 积 等 于 两 对 角 线 乘 积 的.3.菱形的判定(1)定义法；对角线互相垂直的 是菱形；四条边都相等的 是菱形.十一、正方形1.
43、正方形的定义有一组邻边相等的 是正方形.2.正方形的性质(1)正方形对边平行；(2)正方形四边相等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相,每条对角线平分一组对角；正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点.3.正方形的判定定义法；(2)有一个角是直角的 是正方形.注意矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形.矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一内角为直角的菱形.十二、中点四边形1.定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.2 .常用结论：任意四边形
44、的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.十三、等腰梯形1 .等 腰 梯 形 在 同 一 底 上 的 两 个 角.2 .等 腰 梯 形 的 两 条 对 角 线.总结(1)等腰梯形两腰相等、两底平行；(2)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.判定：1 .定义法；2 .同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形.注意等腰梯形的判定方法：(1)先判定它是梯形；(2)再 用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.十四、三角形外心和内心(1)三 角
45、 形 的 内 切 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 内 心.三 角 形 的 内 心 就 是 三 内 角 角 平分 线 的 交 点。(2)三 角 形 的 外 接 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 外 心.三 角 形 的 外 心 就是三边中垂线的交点.常 见 结 论：RtzABC的 三 条 边 分 别 为：a、b、c(c为 斜 边)，则它的内切圆的包以 a+b-c半 径r=-;25=ABC的 周 长 为/,面 积 为S,其 内 切 圆 的 半 径 为r,则 2(3)、内 心 到 三角形三边距离相等。（4）、外心到三能形三个定点的距离相等。（5）、锐角三角形的外心在三角形内部：钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边的中点处。