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1、7.3.67.3.6两条直线的两条直线的 位置关系（六）位置关系（六） 直线系方程及其应用直线系方程及其应用1.与直线与直线l：Ax+By+C=0平行的直线系方程为平行的直线系方程为 Ax+By+m=0 （其中（其中mC）；）；直线系方程的种类直线系方程的种类1:1:yox 直线系方程的定义直线系方程的定义v直线系：直线系： 具有某种共同性质的所有直线的集合具有某种共同性质的所有直线的集合yxo2与直线与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系方垂直的直线系方程为程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）为待定系数）.直线系方程的种类直线系方程的种类2:3. 3. 过定点过定点P P（x x0
2、 0，y y0 0）的）的直线系方程为：直线系方程为：A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 0yxo推导：推导：设直线的斜率为设直线的斜率为BA)xx(BAyy00A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 0yox4. 若直线若直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，则过两直线的交点的直线系方程为：相交，则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1m( A2x+B2y+C2)=0,其中其中m为待定系数为待定系数.,0CyBxA 0CyBxA)y,(x22211100的交点与是设, 0C
3、yBxA0CyBxA:,)y,(x202021010100且得入二方程代所以所以A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1+m(A+m(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0证明：证明：直线直线A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1+m(A+m(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0经过点（经过点（x0，y0）4. 若直线若直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，则过两直线的交点的直线系方程为：相交，则过两直线的交点的直线系方程为：A1x
4、+B1y+C1m( A2x+B2y+C2)=0,其中其中m为待定系数为待定系数.直线系方程的应用直线系方程的应用:解法解法1：将方程变为：将方程变为：0) 1yx(m11y3x01yx011y3x解得：解得：7252xy故直线恒过故直线恒过25,27例例1.求证：无论求证：无论m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。恒过定点，并求出定点的坐标。解法解法2： 令令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得：014x4010y47252xy所以直线恒过定点所以直线恒过定点25,27例例1.求证：无论求证：无论m取何实数时，直线取何
5、实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。恒过定点，并求出定点的坐标。若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：点，通常有两种方法：方法小结：方法小结： 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。线求出交点，再证明其余直线均过此交点。法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与m m的
6、取值无关，故从而解出定点。的取值无关，故从而解出定点。解（解（1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为：0)2yx(4y2x代（代（2，1）入方程，得：）入方程，得：0)212(4224 所以直线的方程为：所以直线的方程为： 3x+2y+4=0例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线l的方程。的方程。 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线3x-4y+5=0垂直。垂直。解（解（2）：将（）：将（1）中所设的方程变为：）中所设的方程变为：0)24(y) 2(x)1 (12k 由已知
7、：由已知：1312 4 11故所求得方程是：故所求得方程是：4x+3y-6=04x+3y-6=0例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线l的方程。的方程。 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线3x-4y+5=0垂直。垂直。方法小结方法小结: 本题采用先用直线系方程表示所求直线方本题采用先用直线系方程表示所求直线方程程,然后再列式然后再列式,求出方程的待定常数求出方程的待定常数,从而最终从而最终求得问题的解求得问题的解.这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已在已知函数或曲线类型问题中知函
8、数或曲线类型问题中,我们都可以利用待定我们都可以利用待定系数法来求解系数法来求解.练练 习习 1一一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：_:09-2yx032y-x.1的直线方程是的交点和原点和过两直线_:04y2-x3,02-4yx30103y-x2.2的直线是且垂直于直线的交点和过两直线_:07y3-x4,012yx08yx2.3的直线是且平行于直线的交点和过两直线_:,02y-x332xy.4直线方程是且垂直于第一条直线的的交点和过两直线y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0 x+2y-11=05 5若直线方程为若直线方程为(2m+1)
9、x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论求证：无论m m为何值时，所给直线恒过定点。为何值时，所给直线恒过定点。解解:将方程化为将方程化为:05218)-3ym(2xyx得得:23180250 xyxy492xy所以无论所以无论m为何值为何值,直线均经过定点直线均经过定点9(4, )2 两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如如:l1:x+2y-1=0,l2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得:x2 +xy-2y2-x+y=0那么那么,反过来反过来,如果已知一个二元二次方程是由如果已知一个二元二次方程
10、是由两条直线的方程相乘所得两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这我们也可以先设出这两条直线的方程两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子请看下面的例子:解（待定系数法）：将方程化作：解（待定系数法）：将方程化作：0k)y5x7()yx)(yx3(设：设：0)nyx)(myx3(则则0mn)nm(y)n3m(x)yx)(yx3(375mnmnmnk 236mnkmn 即：即：k= -6 时方程表示两条直线。时方程表示两条直线。例例3:问问k为何值时，为何值时，方程方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？表示两条直线？1方程方程x2-y2=0表示的图形是：表示的图形是：2直线系直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是中的任一条直线的位置关系是_.练练 习习0y-x0yx与二相交直线垂直解解:0m3yx6)yx( :2将方程化作方程应有非负根方程应有非负根,故故:03t0m360)0(f0m1236对称轴23m 3.3.方程方程 表示两条直线表示两条直线, ,求求m m的取值范围。的取值范围。630 xyxymv小结小结直线系方程的种类直线系方程的种类直线系方程的应用直线系方程的应用