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1、数学试卷第 1页(共 22页)数学试卷第 2页(共 22页) 绝密启用前 湖北省襄阳市 2019 年初中毕业生学业水平考试 数学 本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.计算3的结果是 () A.3B. 1 3 C.3D.3 2.下列运算正确的是 () A. 32 aaaB. 236 aaaC. 623 aaaD. 236 ()aa 3.如图，直线BCAE，CDAB于点 D，若40BCD，则1的度数是() 第 3 题图 A.60oB.50oC.40oD.30o
2、4.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字 是 () 第 4 题图 A.青B.来C.斗D.奋 5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 () ABCD 6.不等式组 24 339 xx xx 的解集在数轴上用阴影表示正确的是 () ABCD 7.如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别 交于 C，D 两点，连接 AC，BC，AD，BD，则四边形 ADBC 一定是 () 第 7 题图 A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形 8.下列说法错误的是 () A.必然事件发生的概率是 1 B.通过大量重复试验，可以用
3、频率估计概率 C.概率很小的事件不可能发生 D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 9.九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买 羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱.问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是 () A.54573xxB.54573xx C. 453 57 xx D. 453 57 xx 10.如图，AD 是Oe的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，AC 与 OB 相交于 点 P，下列结论错误的是 () 毕业学校_姓名_考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效 -
4、 数学试卷第 3页(共 22页)数学试卷第 4页(共 22页) 第 10 题图 A.2APOPB.2CDOP C.OBACD.AC 平分 OB 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填写在题中的横线上) 11.习总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天，全国大 约有 1.2 亿人在平台上学习.1.2 亿这个数用科学记数法表示为. 12.定义：* a a b b ，则方程2*(3)1*(2 )xx的解为. 13.从 2，3，4，6 中随机选取两个数记作 a 和 b(ab)，那么点( , ) a b在直线2yx 上 的概率是. 14.如图，已知
5、ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD，ACDB， ABDC，其中不能确定ABCDCB的是(只填序号). 第 14 题图 15.如图，若被击打的小球飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有的关 系为 2 205htt ，则小球从飞出到落地所用的时间为 s. 第 15 题图 16.如图， 两个大小不同的三角板放在同一平面内， 直角顶点重合于点 C， 点 D 在 AB 上， 30BACDEC，AC 与 DE 交于点 F，连接 AE，若1BD ，5AD，则 CF EF . 第 16 题图 三、解答题(本大题共 9 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17
6、.(本小题满分 6 分) 先化简，再求值： 2 2 21 1 11 xxx xx ，其中 21x . 18.(本小题满分 6 分) 今年是中华人民共和国建国 70 周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学 习竞赛活动.学校3 000名学生全部参加了竞赛， 结果所有学生成绩都不低于60分(满 分 100 分).为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得 到如下不完整的统计表.根据表中所给信息，解答下列问题： 成绩 x(分)分组频数频率 6070 x 150.30 7080 x a0.40 8090 x 10b 90100 x 50.10 (1)表中a ，b ； (2)这
7、组数据的中位数落在范围内； (3)判断：这组数据的众数一定落在7080 x 范围内，这个说法(填“正确” 或“错误”)； (4)这组数据用扇形统计图表示，成绩在8090 x 范围内的扇形圆心角的大小 为； (5)若成绩不小于 80 分为优秀，则全校大约有名学生获得优秀成绩. 19.(本小题满分 6 分) 数学试卷第 5页(共 22页)数学试卷第 6页(共 22页) 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽 (AB)9m的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路， 其中两条与 AB 平行， 另一条 与AD平行， 其余部分种草.要使草坪部分的总面积为 2 11
8、2 m， 则小路的宽应为多少？ 第 19 题图 20.(本小题满分 6 分) 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的 索塔在桥面以上的部分(上塔柱 BC 和塔冠 BE)进行了测量.如图所示， 最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为37，从点 A 出发沿 AC 方向前进23.5 m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为45.请你求出塔冠 BE 的高度(结果精确到0.1m.参考数据sin370.60，cos370.80，tan370.75， 21.41 ). 第 20 题图 21.(本小题满分 7 分
9、) 如图，已知一次函数 1 ykxb与反比例函数 2 m y x 的图象在第一、第三象限分别 交于 (3,4)A ， ( , 2)B a 两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)比较大小：AD_BC(填“”或“”或“=”)； (3)直接写出 12 yy时 x 的取值范围. 第 21 题图 22.(本小题满分 7 分) 如图，点 E 是ABC的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆Oe相交于点 D，过 D 作直线DGBC. (1)求证：DG 是Oe的切线； (2)若6DE ，6 3BC ，求优弧 BAC的长. 第 22 题图 2
10、3.(本小题满分 10 分) 襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg) 甲m16 乙n18 (1)该超市购进甲种蔬菜10 kg和乙种蔬菜5 kg需要 170 元；购进甲种蔬菜6 kg和乙 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 7页(共 22页)数学试卷第 8页(共 22页) 种蔬菜10 kg需要 200 元.求 m，n 的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 kg进行销售，其中甲种蔬菜的
11、数量不 少于20 kg， 且不大于70 kg.实际销售时， 由于多种因素的影响， 甲种蔬菜超过60 kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种 蔬菜获得的利润额 y(元)与购进甲种蔬菜的数量 x(kg)之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额 y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜 每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利 率不低于 20%，求 a 的最大值. 24.(本小题满分 10 分) (1)证明推断： 如图(1)， 在正方形 ABCD 中， 点 E， Q
12、分别在边 BC， AB 上，DQ AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GFAE. 求证：DQ AE ； 推断： GF AE 的值为； (2)类比探究：如图(2)，在矩形 ABCD 中， BC k AB (k 为常数).将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O.试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用： 在(2)的条件下， 连接 CP， 当 2 3 k 时， 若 3 tan 4 CGP，2 10GF ， 求 CP 的长. 第 24 题图（1
13、）第 24 题图（2） 25.(本小题满分 13 分) 如图，在直角坐标系中，直线 1 3 2 yx 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，点 C，对称轴 为1x 的抛物线过 B，C 两点，且交 x 轴于另一点 A，连接 AC. (1)直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的解析式； (2)已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点 P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点 Q(点 C 除外)， 使以点 Q， A， B 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 第 25 题图 数学试卷第 9页(共 22页)数学试
14、卷第 10页(共 22页) 湖北省襄阳市 2019 年初中毕业生学业水平考试 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】A 【解析】解：33. 故选：A. 根据绝对值的性质进行计算. 【考点】绝对值的性质 2.【答案】D 【解析】解：A. 32 aa ，无法计算，故此选项错误； B. 235 aaa ，故此选项错误； C. 624 aaa ，故此选项错误； D. 3 26 aa ，正确. 故选：D. 直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案. 【考点】合并同类项，同底数幂的乘除运算 3.【答案】B 【解析】解：CDAB于点 D， 40BCD， 90CDB. 90BCDDBC
15、，即4090BCD. 50DBC . 直线BCAE， 150DBC. 故选：B. 先在直角CBD中可求得DBC的度数，然后平行线的性质可求得1的度数. 【考点】平行线的性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质 4.【答案】D 【解析】解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D. 正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解； 【考点】正方体的展开图 5.【答案】B 【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此
16、选项错误. 故选：B. 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【考点】中心对称图形与轴对称图形的概念 6.【答案】C 【解析】解：不等式组整理得： 4 3 x x ， 不等式组的解集为3x， 故选：C. 求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【考点】解一元一次方程组 7.【答案】D 【解析】解：由作图可知：ACADBCBD， 四边形 ACBD 是菱形， 故选：D. 根据四边相等的四边形是菱形即可判断. 【考点】基本作图，菱形的判定 8.【答案】C 【解析】解：A.必然事件发生的概率是 1，正确； B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C.概率很小的事件也有可能发生，故错误；
17、D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C. 不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于 0 并且小 于 1. 【考点】本题考查了概率的意义 9.【答案】B 【解析】解：设合伙人数为 x 人， 依题意，得：54573xx. 故选：B. 设合伙人数为 x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解. 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 10.【答案】A 【解析】解：AD 为直径， 90ACD， 四边形 OBCD 为平行四边形， CDOB，CDOB， 在RtACD中， 1 sin 2 CD A AD ， 30A， 在Rt
18、AOP中，3APOP，所以 A 选项的结论错误； OPCD，CDAC， 数学试卷第 11页(共 22页)数学试卷第 12页(共 22页) OPAC，所以 C 选项的结论正确； APCP， OP 为ACD的中位线， 2CDOP，所以 B 选项的结论正确； 2OBOP， AC 平分 OB，所以 D 选项的结论正确. 故选：A. 利用圆周角定理得到90ACD， 再根据平行四边形的性质得到CDOB，CDOB， 则可求出30A，在RtAOP中利用含 30 度的直角三角形三边的关系可对 A 选项进行判断；利用OPCD，CDAC可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为ACD的中位线，则2CDOP，原
19、式可对 B 选项进行判断；同时得到 2OBOP，则可对 D 选项进行判断. 【考点】圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质. 二、填空题 11.【答案】 8 1.2 10 【解析】解： 8 1.21.2 10亿. 故答案为： 8 1.2 10 . 科学记数法就是将一个数字表示成（10a的 n 次幂的形式），其中110a，n 表示 整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10 的 n 次幂. 【考点】科学记数法的理解和运用，单位的换算 12.【答案】1x 【解析】解：2*( 3)1*(2 )xx ， 21 32xx ， 43xx， 1x ， 经检验：1x 是原方程的解， 故
20、答案为：1x . 根据新定义列分式方程可得结论. 【考点】解分式方程，新定义的理解 13.【答案】 1 3 【解析】解：画树状图如图所示， 一共有 6 种情况，2ba的有(2,4)和(3,6)两种， 所以点( , ) a b在直线2yx 上的概率是 21 63 ， 故答案为： 1 3 . 画出树状图，找到2ba的结果数，再根据概率公式解答 【考点】列表法与树状图法 14.【答案】 【解析】解：已知ABCDCB，且BCCB 若添加AD ，则可由 AAS 判定 ABCDCB； 若添加ACDB，则属于边边角的顺序，不能判定ABCDCB； 若添加ABDC，则属于边角边的顺序，可以判定ABCDCB. 故
21、答案为：. 一般三角形全等的判定方法有 SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解. 【考点】全等三角形的几种基本判定方法 15.【答案】4 【解析】解：依题意，令0h得 2 0205tt 得(20 5 )0tt 解得0t （舍去）或4t 即小球从飞出到落地所用的时间为4 s 故答案为 4. 根据关系式，令0h即可求得 t 的值为飞行的时间 【考点】二次函数的性质在实际生活中的应用 16.【答案】 21 3 【解析】解：如图，过点 C 作CMDE于点 M，过点 E 作ENAC于点 N， 1BD ，5AD， 6ABBDAD， 在RtABC 中，30BAC，9060BBAC ， 1 3 2
22、 BCAB，33 3ACBC， 在RtBCA与RtDCE中， 30BACDEC， tantanBACDEC， BCDC ACEC ， 90BCADCE， BCADCADCEDCA， BCDACE， 数学试卷第 13页(共 22页)数学试卷第 14页(共 22页) BCDACE， 60CAEB ， BCBD ACAE ， 306090DAEDACCAE， 31 = 3 3AE ， 3AE ， 在RtADE中， 2222 5( 3)2 7DEADAE ， 在RtDCE中，30DEC， 60EDC， 1 7 2 DCDE， 在RtDCM中， 321 22 MCDC， 在RtAEN中， 33 22 N
23、EAE， MFCNFE，90FMCFNE， MFCNFE+， 21 21 2 3 3 2 CFMC EFNE ， 故答案为： 21 3 . 过点 C 作CMDE于点 M，过点 E 作ENAC于点 N，先证BCDACE，求出 AE 的长及60CAE，推出90DAE，在RtDAE中利用勾股定理求出 DE 的长，进一步求出 CD 的长，分别在RtDCM和RtAEN中，求出 MC 和 NE 的 长，再证MFCNFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出 CF 与 EF 的 比值. 【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形 三、解答题 17.【答案】解： 2 2 21 1 11 xxx x
24、x 2 2 121 111 xxxx xxx 2 1(1)(1) 1(1) xx xx 1 1x ， 当 21x 时，原式 12 221 1 . 【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可. 【考点】分式的化简求值 18.【答案】（1）20 0.2 （2）7080 x （3）正确 （4）72 （5）900 【解析】解：（1）调查学生总数：150.350（名）， 7080 x 的频数：50 15 10520 ，即20a 。 8090 x 的频率：1 0.3 0.40.10.2，即0.2b， 故答案为 20，0.2； （2）共 50 名学生，中位数落在“7080 x ”范围内； （3）
25、“7080 x ”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在7080 x 范围内， 故答案为正确； （4）成绩在8090 x 范围内的扇形圆心角： 10 36072 50 ， 故答案为72； 数学试卷第 15页(共 22页)数学试卷第 16页(共 22页) （5）获得优秀成绩的学生数： 15 3000900 50 （名）， 故答案为 900. 【考点】中位数，众数 19.【答案】解：设小路的宽应为 mx ， 根据题意得：(16 2 )(9)112xx ， 解得： 1 1x ， 2 16x . 16 9， 16x 不符合题意，舍去， 1x . 答：小路的宽应为1m. 【解析】设小路的宽应为 mx
26、，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16 2 )(9)xx ；那 么根据题意得出方程，解方程即可. 【考点】一元二次方程的应用 20.【答案】解：在RtABC中，tan BC A AC ， 则tan121 0.7590.75BCACA， 由题意得，97.5CDACAD， 在RtECD中，45EDC， 97.5ECCD， 6.756.8(m)BEECBC ， 答：塔冠 BE 的高度约为6.8 m. 【解析】根据正切的定义分别求出 EC、BC，结合图形计算，得到答案. 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 21.【答案】（1）把 (3,4)A 代入反比例函数 2 y m x 得， 4 3 m ，
27、解得12m， 反比例函数的解析式为 2 12 y x ； ( , 2)B a 点在反比例函数 2 y m x 的图象上， 212a，解得6a， ( 6, 2)B ， 一次函数 1 ykxb的图象经过(3,4)A，( 6, 2)B 两点， 34 62 kb kb ，解得 2 3 2 k b ， 一次函数的解析式为 1 2 2 3 yx； （2）由一次函数的解析式为 1 2 2 3 yx可知 (0,2)C，( 3,0)D ， 22 (33)42 13AD ， 22 6( 22)2 13BC ， ADBC， 故答案为； （3）由图象可知： 12 yy时 x 的取值范围是6x或03x . 【解析】（1
28、）把 (3,4)A 代入反比例函数 2 y m x ，根据待定系数法即可求得 m，得到反 比例函数的解析式，然后代入 ( , 2)B a ，求得 a，再根据待定系数法求得一次函数 的解析式即可； （2）求得 C、D 的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得. 【考点】一次函数与反比例函数的交点问题 22.【答案】（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H，如图， 点 E 是ABC的内心， AD 平分BAC， 即BADCAD， BDCD ， ODBC，BHCH， DGBC， ODDG， DG 是Oe的切线； （2）解：连接 BD、OB，如图， 点 E 是ABC的内心， ABECBE，
29、 DBCBAD， DEBBADABEDBCCBEDBE， 6DBDE， 1 3 3 2 BHBC， 在RtBDH中， 3 33 sin 62 BH BDH BD ， 60BDH， 而OBOD， OBD为等边三角形， 60BOD，6OBBD， 120BOC， 数学试卷第 17页(共 22页)数学试卷第 18页(共 22页) 优弧 BAC的长 360 1206 8 180 . 【解析】 （1）连接 OD 交 BC 于 H，如图，利用三角形内心的性质得到BADCAD， 则 BDCD ，利用垂径定理得到ODBC，BHCH，从而得到ODDG，然 后根据切线的判定定理得到结论； （2）连接 BD、OB，如
30、图，先证明DEBDBE 得到6DBDE，再利用正弦定义 求 出60BDH， 则 可 判断OBD为 等 边三 角形 ，所 以60BOD， 6OBBD，则120BOC，然后根据弧长公式计算优弧 BAC的长. 【考点】三角形的内切圆与内心 23.【答案】解：（1）由题意可得， 105170 610200 mn mn ，解得， 10 14 m n ， 答：m 的值是 10，n 的值是 14； （2）当2060 x 时， (1610)(18 14)(100)2400yxxx ， 当6070 x 时， (1610)60(1610)0.5 (60)(18 14)(100)580yxxx ， 由上可得， 24
31、002060 5806070 xx y xx ； （3）当2060 x 时， 2400yx ，则当60 x 时，y 取得最大值，此时 520y ， 当6070 x 时， 580yx ，则 60580520y ， 由上可得，当60 x 时，y 取得最大值，此时 520y ， 在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜 每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈 利率不低于 20%， 52026040 20% 60 1040 14 aa ， 解得，1.8a， 即 a 的最大值是 1.8. 【解析】（1）根据题意可以列出相应的
32、二元一次方程组，从而可以求得 m、n 的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y 与 x 的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得 y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于 a 的 不等式，即可求得 a 的最大值，本题得以解决. 本题考查一次函数的应用.二元一次方程组的应用.解一元一次不等式，解答本题的关键 是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答. 24.【答案】1 【解析】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABDA， 90ABEDAQ . 90QAOOAD. AEDH， 90ADOOAD. QAOADO . ()ABEDAQ ASA， AE DQ .
33、解：结论：1 GF AE . 理由：DQ AE ，FGAE， DQ FG ， FQ DG ， 四边形 DQFG 是平行四边形， FG DQ ， AE DQ ， FGAE， 1 GF AE . 故答案为 1. （2）解：结论：k FG AE . 理由：如图 2 中，作GMAB于 M. AEGF， 90AOFGMFABE， 90BAEAFO，90AFOFGM， BAEFGM， ABEGMF， 数学试卷第 19页(共 22页)数学试卷第 20页(共 22页) GFGM AEAB ， 90AMGDDAM， 四边形 AMGD 是矩形， GMAD， GFADBC k AEABAB . （3）解：如图 2-
34、1 中，作PMBC交 BC 的延长线于 M. FBGC，FEGP， CGPBFE， 3 tantan 4 BE CGPBFE BF ， 可以假设3BEk，4BFk，5EFAFk， 2 3 FG AE ，2 10FG ， 3 10AE ， 222 (3 )(9 )(3 10)kk， 1k 或1（舍弃）， 3BE ，9AB ， 2 3BC AB :：， 6BC ， 3BECE，6ADPEBC， 90BEFFEPPME， 90FEBPEM，90PEMEPM， FEBEPM ， FBEEMP， EFBFBE PEEMPM ， 543 6EMPM ， 24 5 EM ， 18 5 PM ， 249 3
35、55 CMEMEC， 22 9 5 5 PCCMPM. 【解析】（1）由正方形的性质得ABDA，90ABEDAH， 所以90HAOOAD，又知90ADOOAD，所以HAOADO，于是 ABEDAH，可得AE DQ . 证明四边形 DQFG 是平行四边形即可解决问题. （2）结论： FG k AE .如图 2 中，作GMAB于 M.证明：ABEGMF即可解决 问题. （3）如图 2-1 中，作PMBC交 BC 的延长线于 M.利用相似三角形的性质求出 PM， CM 即可解决问题. 【考点】正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，解直角三角形 25.【答案】解：
36、（1） 1 3 2 yx ，令0 x，则3y ，令0y ，则6x， 故点 B、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)， 抛物线的对称轴为1x ，则点 ( 4,0)A ， 则抛物线的表达式为： 2 (6)(4)224ya xxa xx， 即243a，解得： 1 8 a ， 故抛物线的表达式为： 2 11 3 84 yxx ； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，作PHBC于点 H， 将点 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为： 1 3 2 yx ， 则HPGCBA， 1 tantan 2 OC CAB OB ，则 2 cos 5 ， 设点 2 11 ,
37、3 84 +P xxx ，则点 1 ,3 2 G xx ， 则 22 2 511153 5 cos33 58422010 PHPGaxxxxx ， 数学试卷第 21页(共 22页)数学试卷第 22页(共 22页) 5 0 20 ，故 PH 有最小值，此时3x ， 则点 21 3, 8 P ； （3）当点 Q 在 x 轴上方时， 则点 Q，A，B 为顶点的三角形与ABC全等，此时点 Q 与点 C 关于函数对称轴对称， 则点 (2,3)Q ； 当点 Q 在 x 轴下方时， Q，A，B 为顶点的三角形与ABC相似，则 ACBQ AB ， 当 ABCABQ 时， 直线 BC 表达式的 k 值为 1 2
38、 ，则直线BQ表达式的 k 值为 1 2 ， 设直线BQ表达式为： 1 2 yxb，将点 B 的坐标代入上式并解得： 直线 BQ的表达式为： 1 3 2 yx， 联立并解得：6x或8（舍去 6）， 故点 ()Q Q坐标为( 8, 7) （舍去）； 当 ABCABQ 时， 同理可得：直线BQ的表达式为： 39 42 yx， 联立并解得：6x或10（舍去 6）， 故点 ()Q Q坐标为( 10, 12) ， 由点的对称性，另外一个点 Q 的坐标为(12, 12) ； 综上，点 Q 的坐标为：2,3（）或(12, 12) 或( 10, 12) . 【解析】（1） 1 3 2 yx ，令0 x，则3y ，令0y ，则6x，故点 B、C 的坐标 分别为(6,0)、(0,3)，即可求解； （2） 2 2 5111 cos33 5842 PHPGxxx ，即可求解； （3）分点 Q 在 x 轴上方，点 Q 在 x 轴下方两种情况，分别求解. 【考点】二次函数综合运用