331要用几何概型.ppt

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1、几何概型几何概型古典概型的两个基本特征?(1)(1) 有限性有限性: :在一次试验中在一次试验中, ,可能出现的结果只有有限可能出现的结果只有有限个个, ,即只有有限个不同的基本事件；即只有有限个不同的基本事件；(2)(2) 等可能性等可能性: :每个基本事件发生的可能性是相等的每个基本事件发生的可能性是相等的. .现实生活中现实生活中, ,有没有实验的所有可能有没有实验的所有可能结果是无穷多的情况结果是无穷多的情况? ?相应的概率如何求相应的概率如何求? ?复习回顾复习回顾创设情境：创设情境：往一个方格中投一个石子，石子可能往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点落在方格中的任何

2、一点这些试验这些试验可能出现的结果都是无限多个。可能出现的结果都是无限多个。例如一个人到单位的时间可能是例如一个人到单位的时间可能是8：00至至9：00之间的任何一个时刻；之间的任何一个时刻；v 问题问题:甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向规定当指针指向B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少求甲获胜的概率是多少?v 点击右侧的小转盘，更换一个转盘后，甲获胜的概率是多点击右侧的小转盘，更换一个转盘后，甲获胜的概率是多少？少？二、主动探索，领悟归纳二、主动探索，领悟归纳问题问题2 2. .取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在

3、任的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的概率有多大？的概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断. .基本事件基本事件: :3 31 1A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (对于问题对于问题2. 2.记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm”10cm”为事为事件件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一段于是当剪断位置处在中间一段上时上时, ,事件事件A A发生发生. .由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1

4、/3.1/3.问题3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得0.1升水可作为事件的区域。解：取出解：取出0.10.1升中升中“含有这个细菌含有这个细菌”这一事这一事件记为件记为A,A,则则 1 . 011 . 0杯中所有水的体积取出水的体积APv如果每个事件发生的如果每个事件发生的概率只与构成该事件概率只与构成该事件区域的区域的长度（面积或长度（面积或体积）体积）成比例成比例, ,则称则称这样的概率模型为几这样的概率模型为几何概率模型何概率模型, ,简称为简称为几何概型几何概型. .领悟

5、归纳领悟归纳v几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果( (基本事件基本事件) )有无有无限多个限多个. .(2)(2)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等. .v在几何概型中在几何概型中, ,事件事件A A的概率的计算公式如下的概率的计算公式如下: :（面积或体积）面积或体积的区域长度的区域长度试验的全部结果所构成试验的全部结果所构成) )( (构成事件A的区域长度构成事件A的区域长度P(A)P(A)领悟归纳领悟归纳例例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表停了发现表停了, ,他他打开收音机打开收音机, ,想听电

6、台报时想听电台报时, ,求他等待的时间求他等待的时间不多于不多于1010分钟的概率分钟的概率. .分析分析：假设他在：假设他在0 06060分钟之间任何一个时刻打开分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但收音机是等可能的，但0 06060之间有之间有无穷个时刻无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。的概率。 解解: :设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟.我们所我们所关心的事件关心的事件A A恰好是打开收音机的时刻位于恰

7、好是打开收音机的时刻位于50,6050,60时间段内时间段内, ,因此由几何概型的求概率因此由几何概型的求概率的公式得的公式得即即“等待的时间不超过等待的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为60 501( ),606P A1.公共汽车在公共汽车在05分钟内随机地到达车站，求汽分钟内随机地到达车站，求汽车在车在13分钟之间到达的概率。分钟之间到达的概率。分析分析：将：将0 05 5分钟这段时间看作是一段长度为分钟这段时间看作是一段长度为5 5个单位长度的线段，则个单位长度的线段，则1 13 3分钟是这一线段中分钟是这一线段中的的2 2个单位长度。个单位长度。解：设解：设“汽车在汽车在1

8、13 3分钟之间到达分钟之间到达”为事件为事件A A，则，则52513)( AP所以所以“汽车在汽车在1 13 3分钟之间到达分钟之间到达”的概率的概率为为52练习练习例例 某公共汽车站每某公共汽车站每隔隔1515分钟有一辆汽分钟有一辆汽车到达，乘客到达车到达，乘客到达车站的时刻是任意车站的时刻是任意的，求一个乘客到的，求一个乘客到达车站后候车时间达车站后候车时间大于大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于车

9、站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。31155 D d)(的测度的测度AP解：设上辆车于时刻解：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T2 2到达，线段到达，线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，上的点，且且T T1 1T=5T=5，T T2 2T=10T=10，如图所示，如图所示: :答：侯车时间大于答：侯车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件

10、A A，则当乘客到达，则当乘客到达车站的时刻落在线段车站的时刻落在线段T T1 1T T上时，事件发生，区域上时，事件发生，区域D D的的测度为测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为5 5。 所以所以变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T321510 D d)(的测度的测度AP分析：2 2某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，并且出发分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠前在车站停靠3 3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于求一个乘客到达车站后候车时间大于10 10

11、 分钟的概率？分钟的概率？152 D d)(的测度的测度AP分析：设上辆车于时刻分析：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时到达，而下一辆车于时刻刻T T0 0到达，到达，T T2 2时刻出发。线段时刻出发。线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T0 0T T2 2=3=3，TTTT0 0=10=10，如图所示，如图所示: :记候记候车时间大于车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的，则当乘客到达车站的时刻落在线段时刻落在线段T T1 1T T上时，事件上时，事件A A发生，区域发生

12、，区域D D的测度为的测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为15-3-10=215-3-10=2。 所以所以 T1T2TT6.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，在斜边中，在斜边AB上任取一点上任取一点M，求，求AM小于小于AC的概率。的概率。分析：分析：点点M M随机地落在线段随机地落在线段ABAB上，故线段上，故线段ABAB为区域为区域D D。当点。当点M M位于图中的线段位于图中的线段ACAC上时，上时，AMAMACAC，故线段，故线段ACAC即为区域即为区域d d。解：解： 在在ABAB上截取上截取AC=ACAC=AC，于是，于是 P P（AMAMACAC）=P=P（A

13、MAMACAC）2 22 2= =A AB BA AC C= =A AB BA AC C = =则则AMAM小于小于ACAC的概率为的概率为22练习练习7.在半径为在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？BCDE.0解解：记事件：记事件A=弦长超过圆内接弦长超过圆内接等边三角形的边长等边三角形的边长，取圆内接，取圆内接等边三角形等边三角形BCD的顶点的顶点B为弦为弦的一个端点，当另一点在劣弧的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，上时，|BE|BC|，而弧，而弧CD的长度是圆周

14、长的三分之一，的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有所以可用几何概型求解，有31)( AP则则“弦长超过圆内接等边三角形的边长弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为的概率为31练习练习 例例2 2. .( (会面问题会面问题) )甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在 12 12 点到点到 5 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即点之间在某地会面，先到者等一个小时后即 离去离去, ,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可设二人在这段时间内的各时刻到达是等可 能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以以 X , YX , Y 分别

15、表示甲、乙二人到达的时刻，分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是于是. 50, 50YX 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分. .所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，即有方形，即有无穷多个结果无穷多个结果. .由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的. .M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 二人会面的条件是：二人会面的条件是： , 1|YX2 25 5. .9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积P P

16、( (A A) )2 20 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x -1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A解：解： 以以 X , YX , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是于是. 50, 50YX 例例2 2. .( (会面问题会面问题) )甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在 12 12 点到点到 5 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即点之间在某地会面，先到者等一个小时后即 离去离去, ,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可设二人在这段时间内的各时刻到达是等可 能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。能的，且二人互不影响。求二人能会面的

17、概率。 试一试试一试: 3.两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面点在某地会面,先到者等候另先到者等候另一人一人20分钟分钟,过时就可离去过时就可离去,试求这两人能会面的概试求这两人能会面的概率率. 20 yx95604060)(222 矩矩形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积AP解解: :以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为练习: 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，他们可能在一昼夜的任意时刻到达。设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时的概率。分析：有一艘轮

18、船停靠泊位时必须等待一段时间就是一艘船到达时另一艘船还停靠在泊位中。Oyx2424则有一艘船停靠泊位则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的条时必须等待一段时间的条件是件是-4 x-y 6222220182421410722( )24576288SP AS阴影正方形解：设事件解：设事件A=有一艘轮船有一艘轮船停靠泊位必须等待一段时停靠泊位必须等待一段时间间。以。以x轴和轴和y轴分别表示轴分别表示甲乙两船到达泊位的时间甲乙两船到达泊位的时间6.57.5()x 送报人到达的时间()y 父亲离开家的时间870yx例例3 3. .假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送报人可能在早上送报人可能在

19、早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲离开家去工作你父亲离开家去工作的时间在早上的时间在早上7:008:007:008:00之间之间, ,问你父亲在离开家前能问你父亲在离开家前能得到报纸得到报纸( (称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ?解解: :以横坐标以横坐标x表示报纸送到时间表示报纸送到时间, ,以纵坐标以纵坐标y表示父亲离家时间表示父亲离家时间建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系。即父亲在离开家前能得到即父亲在离开家前能得到报纸的概率是报纸的概率是 。8787)(1211232APv练一练练一练:v在区间在区间-2，2上任

20、意取两数上任意取两数a,b,求二次求二次方程方程022baxx有实数根的概率试验的全部结果所构成的区域为2222| ),(baba事件A表示二次方程x2-ax+b2=0有实数根所构成的区域为0)2)(2(2222| ),(042222| ),(22bababababababaA即图中阴影部分所以P(A)=414422212SSA变式变式.在一个圆上任取三点在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三求能构成锐角三角形的概率角形的概率.ABC解：在一个圆上任取三点解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内，构成的三角形内角分别为角分别为A、 B、 C.设设Ax， By，则则)(00,0y

21、xyx构成锐角三角形的构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是：应满足的条件是： 2,20,20 S2 2 xyO由几何概率计算得所求概率为由几何概率计算得所求概率为41 .0,0 xyx 2,20,20 yxyx变式变式2. 2.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处起，有处起，有10s10s长的一段内长的一段内容包含间谍犯罪的容包含间谍犯罪的 信息后来发现信息后来发现, ,这段谈话的部分被某这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？概率有多大？解解: :记事件记事件A:A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉则事件掉则事件A A发生就是在发生就是在-minmin时间段内按错键故时间段内按错键故 P(A)= 2 2 3 330= 1 1 4545