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1、数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 2022年6月27日星期一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率(1)2022年年6月月27日星期一日星期一北京奥运场馆北京奥运场馆在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线 过一点过一点不能确定一条直线的位置不能确定一条直线的位置. 我们知道，我们知道，两点确定一条直线。两点确定一条直线。P 过一点可以作过一点可以作无数条无数条直线直线l1,l2,l3.它们都经过它们都经过点点P（组成一个直线束），（组成一个直线束），这些直线区别在哪里？这些
2、直线区别在哪里？倾斜程度不同倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？怎样描述直线的倾斜程度呢？ 已知直线已知直线l经过点经过点P，直线，直线l的位置能确定吗的位置能确定吗? 当直线当直线l与与x轴轴相交相交时，我们取时，我们取x轴作为基轴作为基准，准，x轴正向轴正向与与直线直线l向上方向向上方向之间所成的角之间所成的角叫做直线叫做直线l的倾斜角的倾斜角.注意：注意： (1)(1)直线向直线向上上方向；方向； (2) (2)x轴的轴的正正方向；方向； (3) (3)小于平角的正角小于平角的正角1.1.直线倾斜角的直线倾斜角的定义定义yxol讲授讲授 新课新课【例】【例】下列各图中标出的角下列各图中
3、标出的角是直线的倾斜是直线的倾斜角吗？角吗？ x xo oy yx xo oy yx xo oy yx xo oy y 观察下列直线的变化，说出直线的倾斜观察下列直线的变化，说出直线的倾斜角大致是一个什么范围内的角？角大致是一个什么范围内的角？ x xy yo o讲授讲授 新课新课 特别地，当特别地，当直线直线l与与x轴轴平行或重合时，平行或重合时，规定规定它的倾斜角为它的倾斜角为0 0，那么直线的倾斜角，那么直线的倾斜角的取值范围是什么？的取值范围是什么？0 01801802 2、直线倾斜角的范围：、直线倾斜角的范围：讲授讲授 新课新课3 3、直线倾斜角的、直线倾斜角的意义意义： 反映直线对
4、反映直线对x轴正方向的轴正方向的倾斜程度。倾斜程度。 倾斜程度倾斜角2l3lx1lyo 倾斜角相同能确倾斜角相同能确定一条直线吗？定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无相同倾斜角可作无数条互相平行的直线数条互相平行的直线讲授讲授 新课新课 与与x轴正方向形成轴正方向形成45度角的直线有几条？度角的直线有几条？ 45yox直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。倾斜角
5、相同。 思考思考xyOlll 只知道只知道直线的倾斜角直线的倾斜角，不能确不能确定一条直线的位置定一条直线的位置。 已知直线上的一点不能确定一条已知直线上的一点不能确定一条直线的位置直线的位置，那只，那只已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角，能，能不能确定一条直线的位置不能确定一条直线的位置？xyO 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要素是： 直线上的一个直线上的一个定点定点以及它的以及它的倾斜角倾斜角， 二者二者缺一不可缺一不可xyOlP日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量升高量坡度
6、（比）前进量“坡度坡度”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角a的正切的正切”生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？ 问题问题1.2m3m3m2m坡度坡度=升高量升高量前进量前进量坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡问题情境问题情境 我们把一条直线的倾斜角我们把一条直线的倾斜角的正切值叫的正切值叫做这条直线的斜率做这条直线的斜率. .常用小写字母常用小写字母k k表示，即表示，即k=tank=tan，特别：特别：倾斜角是倾斜角是9090的直线（垂直于的直线（垂直于x轴的直线）轴的直线）没有
7、没有斜率斜率. . 讲授讲授 新课新课那么任何一条直线都有斜率吗？那么任何一条直线都有斜率吗？【例】【例】当倾斜角当倾斜角=0=0，3030，4545，6060时，时，这条直线的斜率分别等于多少？这条直线的斜率分别等于多少？【例】【例】当当是锐角时，有是锐角时，有tantan（180180-）=-tan.=-tan. 那么当倾斜角那么当倾斜角=120=120，135135，150150时，这条直线的斜率分别等于多少？时，这条直线的斜率分别等于多少？ 倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率
8、的取值范围是什么？范围是什么？倾斜角为倾斜角为锐角锐角时时,k,k0;0;倾斜角为倾斜角为钝角钝角时时,k,k0;0;倾斜角为倾斜角为0 0时时,k=0.,k=0.poyxlypoxlpoyxlpoyxl0 90= 9090 180= 0k=0k 0k不存在不存在k01、 x轴的倾斜角是、 斜率是。 y轴的倾斜角是、 斜率是0090不存在不存在xy02、 下列命题中正确的个数是（下列命题中正确的个数是（ ） （1 1）任何一条直线都有唯一的倾斜角；）任何一条直线都有唯一的倾斜角； （2 2）任何一条直线都有唯一的斜率；）任何一条直线都有唯一的斜率； （3 3）一条直线的倾斜角是）一条直线的倾斜
9、角是200200； （4 4）倾斜角是）倾斜角是3030的直线只有一条。的直线只有一条。 3若直线若直线l向上的方向与向上的方向与y轴正方向成轴正方向成30o角，则角，则l的倾斜角为的倾斜角为 ，l的斜率为的斜率为 .60o33或xy0或或12030304、完成下列表格。倾斜角3060120150斜率01不存在不存在-13333-3345901350注：倾斜角是注：倾斜角是90的直线没有斜率。的直线没有斜率。 倾斜角不同，斜率不同。倾斜角不同，斜率不同。 tan（180-）=tan tan（180-）与）与tan互为相反数互为相反数 。5.5.下列哪些说法是正确的下列哪些说法是正确的（ ）A
10、、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大直线的倾斜角越大，斜率也越大C 、平行于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是直线斜率的范围是RG、过原点的直线，斜率越大，越靠近过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。轴。想一想想一想两点也可以确定唯一一条直线。两点也可以确定唯一一条直线。问题：问题：如果知道直线上的两点，怎么求如果知道直线上的两点，怎么求直线
11、的斜率直线的斜率(倾斜角倾斜角)呢？呢？确定直线的条件还有什么？确定直线的条件还有什么？111( ,)P x y222(,)P xy211212,P PQxxyy 且如图，当如图，当为锐角时，为锐角时， xyo1x2x1y2y21(,)Q xy21Rt P PQ在中22 11tantanQPkPPQPQ2121yyxx0倾斜角为倾斜角为 锐角锐角 探究新知：探究新知：由两点确定的直线的斜率由两点确定的直线的斜率能不能构造能不能构造一个直角三一个直角三角形去求？角形去求？tankxyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当如图，当为钝角时，为钝角时， 1212180,xxy
12、y且tantan(180)tan 21Rt PQP在中21tanPQPQ2112yyxx21211221tanyyyykxxxx 02x1x1y2y倾斜角为倾斜角为 钝角钝角 xyo(3)12( ,)Q x y111( ,)P x y222(,)P xyyox(4)12( ,)Q x y111( ,)P x y222(,)P xy12,P P 当当 的位置对调时，的位置对调时， 值又如何呢值又如何呢? k想一想想一想? ?2121tan。yyxx同样，当同样，当 的的方向向上时，也有方向向上时，也有12p p二、讲授新课二、讲授新课思考？思考？1 1、当直线平行于、当直线平行于x轴，或与轴，或
13、与x轴重合轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k 成立，成立，因为因为分子为分子为0 0，分母不为分母不为0 0，k=0 =0 二、讲授新课二、讲授新课2 2、当直线平行于、当直线平行于y轴，或与轴，或与y y轴重合轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y2121yykxx思考？思考？90 ,tan90 ()k不存在不存在 不成立，因不成立，因为分母为为分母为0 0。(1)已知直线上两点已知直线上两点 A(a1
14、, a2),B(b1, b2) ,运用上述公式计运用上述公式计算直线算直线AB斜率时斜率时,与与A,B两点坐标的顺序有关吗两点坐标的顺序有关吗?无关无关(2)当直线平行于当直线平行于y轴轴,或与或与y轴重合时轴重合时,上述公式还适用上述公式还适用吗？为什么？吗？为什么？不适用不适用经过两点经过两点P1(x1, y1),P2(x2, y2) (x1 x2)的直线的斜率公式的直线的斜率公式2121.yykxx思考思考(3)当直线平行于当直线平行于x轴轴,或与或与x轴重合时轴重合时,上述式子还上述式子还适用吗？为什么？适用吗？为什么？适用适用3 3、斜率公式、斜率公式公式的特点公式的特点: :( (
15、1) 1) 与两点的顺序无关与两点的顺序无关; ;(2) (2) 公式表明公式表明, ,直线的斜率可以通过直线的斜率可以通过直线上直线上任意任意两两(3) (3) 当当x x1 1=x=x2 2时时, ,公式不适用公式不适用, ,此时此时=90=900 0点的坐标来表示点的坐标来表示, ,而不需要求出而不需要求出直线的倾斜角直线的倾斜角211221 ()yykxxxx111222( ,),(,) P x yP xy经过两点的直线的斜率公式经过两点的直线的斜率公式三、例题精讲三、例题精讲【例【例1 1】已知点已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)A(3,2),B(-4,1),C(0,
16、-1)，求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角的倾斜角是锐角还是钝角 三、例题精讲三、例题精讲【例【例2 2】已知三点已知三点A(A(a，) )，( (，) )，(-(-，a) )在同一直线上，求在同一直线上，求a的值的值【变式】【变式】证明证明A A（2 2，-3-3），），B B（4 4，3 3），），C C（5 5，6 6）三点共线）三点共线例例3 3：已知点，已知点，01AB（3，2），（-4，1），C（ ， ）(1).(1).求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角
17、还是钝角些直线的倾斜角是锐角还是钝角OxyACB1 2114371 110( 4)21 2103ABBCCAkkk 解：（）122（ ）k 1,+ ) (- ,-(2).(2).过点过点C C的直线的直线 与线段有公共点，与线段有公共点，求求 的斜率的斜率k k的取值范围的取值范围ll锐角锐角钝角钝角锐角锐角四、当堂检测四、当堂检测 1若直线若直线l向上的方向与向上的方向与y轴正方向成轴正方向成30o角，则角，则l的倾斜角为的倾斜角为 ，l的斜率为的斜率为 .60o或或120o33或四、当堂检测四、当堂检测2已知等边三角形已知等边三角形ABC，若直线若直线AB平平行于行于y轴，则轴，则C的平分线所在的直线的的平分线所在的直线的倾斜角为倾斜角为 ，斜率为斜率为 ，另两边另两边AC、BC所在的直线的倾斜角为所在的直线的倾斜角为 ，斜率为斜率为 .0120o、60o0o33、四、当堂检测四、当堂检测3当且仅当当且仅当m为何值时，经过两点为何值时，经过两点A(m，3)、B(m，2m1)的直线的的直线的倾斜角为倾斜角为60o？2022年年6月月27日星期日星期一一让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！再见再见祝同学们学习快乐、进步！祝同学们学习快乐、进步！