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1、第4课时 空间向量与空间距离 ala复习回顾复习回顾ablABB1A1n11AB nABn 1.1.会求直线的方向向量，平面的法向量会求直线的方向向量，平面的法向量. .2.2.会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离. .（重点）（重点）3.3.会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离. .（重点）（重点）探究点探究点1 1 空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 ( (其中其中 ) )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转
2、化为求向量模长问题转化为求向量模长问题. .2aa222axyz( , , )ax y z探究点探究点2 2 点到直线的距离点到直线的距离a,APAP a d =sin d =sin 点点P P与直线与直线l的距离为的距离为d , d , 则则 设设E E为平面为平面外一点外一点,F,F为为内任意一内任意一 点点, , 为平面为平面的法向量的法向量, ,则点则点E E到平面的到平面的 距离为距离为: :n探究点探究点3 3 点到平面的距离点到平面的距离|n EFdn a,b是异面直线是异面直线,E,F,E,F分别是直线分别是直线a,b上的点上的点, , 是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向
3、量, ,则则a,b间距离为间距离为|n EFdn n探究点探究点4 4 异面直线间的距离异面直线间的距离探究点探究点5 5 平面与平面的距离问题：平面与平面的距离问题：A，P分别是平面分别是平面a a与与b b上任意一点，上任意一点，平面平面a a与与b b的的距离为距离为d , d , 则则bumDCPAlaba 例例1 1：如图如图1 1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点以顶点A A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是夹角都是6060，那么以这个顶点为端点的晶体的，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱
4、长有什么关系？对角线的长与棱长有什么关系？ 解：解：如图如图1 1，设，设11 ABAAADBAD，1160 .BAADAA 化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11. ACABADAA进行向量运算进行向量运算2211()ACABADAA A1B1C1D1ABCD图图12221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 1 1 12(cos60cos60cos60 ) 6.所以所以1|6. AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线ACAC1 1的长是棱长的的长是棱长的 倍倍. .62211()ACABADAA 例例2 2 如图，在四棱锥
5、如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小. .ABCDP PE EF FxyzG解：解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐标原点，为坐标原点，设设
6、DC=1.DC=1.(1)(1)证明：连接证明：连接AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连接连接EG.EG.(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, ),2 2APE依依题题意意得得因因为为底底面面ABCDABCD是是正正方方形形，所所以以点点G G是是此此正正方方形形的的中中心心，1 11 1故故点点G G的的坐坐标标为为( , ,0),( , ,0),2 22 211(1,0, 1),( ,0,).22 PAEG且2/ /. PAEGPAEG所以，即,EGEDBPAEDB而平面且平面/ /.PAEDB所以，平面(1,1,0),(1,1, 1).（2 2）证证明明题题：依依意
7、意得得 BPB 1 1(0, ),2 21100.22 DEPB DE又故.PBDE所以,EFPBEFDEE由已知且.PBEFD所以平面已已知知PBPBEF,EF, 由由（2 2）可可知知PBPBDF,DF,故故EFDEFD是是二二面面角角C-PB-DC-PB-D的的平平面面角角. . ( , , ),( , ,1),设设点点F F的的坐坐标标为为则则 x y zPFx y z,PFkPB 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,),x y zkk kk所所以以,1,xk yk zk 即0,PB DF 因为(3)(3)(1,1, 1) ( , ,1)1310,k kkkkkk 所以1,3k
8、 所以1 1 2(),3 3 3F所以点 的坐标为，1 1(0, ),2 2E又点 的坐标为1 11(,),3 66FE 所以cos1 111121(,) (,)13 663336,1266363FE FDEFDFE FD 因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,),333FD F1 1F2 2F3 3ACBO500N例例3 3 如图如图, ,一块均匀的正三角形面的钢板所受重一块均匀的正三角形面的钢板所受重力为力为500N500N，在它的顶点处分别受力，在它的顶点处分别受力 ，每，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是6
9、060o o，且，且 . .这块钢板在这些力的这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？才能提起这块钢板？ 123,F F F 123200NFFF 分析分析: :钢板所受重力的大小为钢板所受重力的大小为500N500N，垂直向下作用在三角形，垂直向下作用在三角形的中心的中心O O，如果能将各顶点处所受的力如果能将各顶点处所受的力 用向量形式表示，用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态求出其合力，就能判断钢板的运动状态. . 123123 F、 F、 F、F、 F FzxyF1 1F2 2F3 3ACBO
10、500NABCD1A1B1C1DExyz1.1.如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求的中点，求B B1 1到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. . 建立坐标系u1 11 11 11 1. A E =(-1, ,0),. A E =(-1, ,0),2 2A B =(0, 1,-1),A B =(0, 1,-1),设设 =(1,y=(1,y解解: :,z),z)为为面面A BEA BE的的法法向向量量uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B
11、= 0,A B = 0, 1111A B = 0, 1,0 ,A B = 0, 1,0 ,. 11111111 B B 到到面面A BEA BE的的距距离离为为A B uA B u2 2 d = d =3 3u u 得 u u = =( (1 1, ,2 2, ,2 2) ), ,1 11 11 11 10 01 12 2. .已已知知直直三三棱棱柱柱A AB BC C- -A A B B C C 的的侧侧棱棱A AA A = = 4 4, ,底底面面A AB BC C中中, ,A AC C = = B BC C = = 2 2, , B BC CA A = = 9 90 0 , ,E E为为
12、A AB B的的中中点点, ,求求C CE E与与A AB B 的的距距离离. .zxyABCC11 1如如图图建建立立坐坐标标系系C Cx xy yz z, ,则则C C( (0 0, ,0 0, ,0 0) ), ,E E( (1 1, , 1 1, ,0 0) ), ,A A( (2 2, ,0 0, ,0 0) ), ,B B( (0 0解解：, ,2 2, ,4 4) ), ,1 1所所以以C CE E = =( (1 1, , 1 1, ,0 0) ), ,A AB B = =( (- -2 2, ,2 2, ,4 4) ), , 1 1设设C CE E, ,A AB B 的的公公
13、垂垂线线的的方方向向向向量量为为n n = =( (x x, ,y y, ,z z) ). .则则 EA1B1zxyABCC110,0, n CEnAB0,2240,即xyxyz取取x=1,x=1,则则y=-1,z=1,y=-1,z=1,所以所以(1, 1,1).n因因为为C CA A = =( (2 2, ,0 0, ,0 0) ). .1 1所所以以C CE E与与A AB B 的的距距离离| |n n C CA A| |3 3d d = = =. .| |n n| |3 3EA1B1利用向量求距离利用向量求距离1.1.点到平面的距离：点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的连接该点与平
14、面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）方向，可取其射影的绝对值）. .2.2.点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模求出垂线段的向量的模. .3.3.直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离可以转化为点到平面的距离. .4.4.平行与平面间的距离：平行与平面间的距离：转化为直线到平面的距离、转化为直线到平面的距离、点到平面的距离点到平面的距离. .5.5.异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、转化为直线到平面的距离、点到平面的距离点到平面的距离. .也可运用闭合曲线求公垂线向量也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模段向量的模. . 健康身体是基础，良好学风是条件，勤奋刻苦是前提，学习方法是关键，心理素质是保证.