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1、第2课时 空间向量与垂直关系 在上一节中，我们研究了空间中直线与在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？的垂直关系间又有什么联系呢？lAPa 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量叫做直线的直线上的非零向量叫做直线的方向向量方向向量. .lA A直直线线 的的向向P P
2、量量式式程程= = t ta a方方Aa lP平面平面 的向量式方程的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的非零向量叫做平面与平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量. .ll 如如果果直直线线 平平面面，取取直直线线 的的方方向向向向量量a,a,则则向向量量 叫叫做做平平面面的的a a法法向向量量. .2.2.平面的法向量平面的法向量1 1求直线的方向向量和平面的法向量求直线的方向向量和平面的法向量. .( (重点重点) )2 2利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题间的垂直问题( (重点、难点重点、难点) ) (1)
3、 lm0.aba b 探究点探究点1 1垂直关系：垂直关系：lmab(2) l / /.auau lauABC3 （）uvu v0. u v lll m m a ab b设设直直线线的的方方向向向向量量分分别别为为a,ba,b，平平面面, , 的的法法向向量量分分别别为为，则则线线线线垂垂直直 线线面面垂垂直直 面面面面垂垂直直 a b = 0;a b = 0;a au ua =a =u;u;u uv v垂垂直直关关系系,m,mu,u, u u v vv = 0.v = 0.3,43,2yxzx 解得解得已已知知AB =(2,2, 1),AC =(4,5,3),AB =(2,2, 1),AC
4、=(4,5,3),求求平平面面ABCABC的的单单位位例例2 2：法法向向量量. .设为平平面面的的法法向向量量n = （n = （x，x，解解：y，y，z）z）， nnAB，AB， nnAC,AC,所所以以（x，x，y，y，z）z）(2,2,1)=0，(2,2,1)=0，（x，x，y，y，z）z）(4,5,3)=0,(4,5,3)=0,则2x+2y+z =0,2x+2y+z =0,即即4x+5y+3z =0,4x+5y+3z =0,1 1所所以以n =( ,-1,1),n =( ,-1,1),2 2,3 3| |n n| |= =2 212 212 2所所以以平平面面ABC的ABC的位位法法
5、向向量量 ( ，( ， - ，- ，）. .33 333 3单为,1 1x =x =取取z =1，z =1，得得2 2y = -1y = -1B B2 2若若直直线线l l的的方方向向向向量量为为a a( (1,01,0，2)2)，平平面面的的法法向向量量为为 4,0,84,0,8 ，则则 ( ( ) )A. lA. l B. l B. l C. l C. l D. l D. lu u与与斜斜交交B BoxyzABCO1A1B1C13.3.如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1(1)(1)直线直线OAOA的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_._.(2)(2)平面平面O
6、ABC OABC 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_._.(3)(3)平面平面ABAB1 1C C 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_._.(-1,-1,1)(-1,-1,1)(0,0,1)(0,0,1)(1,0,0)(1,0,0) EB =(2,0,-1),EB =(2,0,-1), ED =(0,2,-1),ED =(0,2,-1),1 11 11 11 11 11 14 4. .正正方方体体A AB BC CD D - - A A B B C C D D , ,E E是是A AA A 的的中中点点，求求证证：平平面面E EB BD D 平平面面C C B BD D. .设长为图的
7、空间直角标，证正正方方体体棱棱2,2,建建立立如如所所示示坐坐系系E 0,0,1 ,B 2,0,0 ,D 0,E 0,0,1 ,B 2,0,0 ,D 0,明明2,02,0：Ex xy yz z平面平面C C1 1BDBD的一个法向量是的一个法向量是设平面设平面EBDEBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1),ux y0, u EBu ED由1 1(,1).2 2u 得( 1, 1,1), v0,u v 1 1所所 以以 平平 面面 E EB BD D 平平 面面 C C B BD D. .空间中的垂直关系及其向量证明方法空间中的垂直关系及其向量证明方法(1)(1)线线垂直线线垂直证明两直
8、线的方向向量垂直证明两直线的方向向量垂直先证明线面垂直，利用线面垂直的性质先证明线面垂直，利用线面垂直的性质 (2)(2)线面垂直线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内两个不共线向证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直量垂直先证明面面垂直，利用面面垂直的性质先证明面面垂直，利用面面垂直的性质(3)(3)面面垂直面面垂直证明两平面的法向量相互垂直证明两平面的法向量相互垂直转化为线线垂直或线面垂直转化为线线垂直或线面垂直 提醒提醒 根据题目条件，要灵活选择基向量法或根据题目条件，要灵活选择基向量法或坐标法坐标法 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的.