高中数学3-2第3课时空间向量与空间角.ppt-淘文阁

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1、课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【课标要求课标要求】第第3课时课时空间向量与空间角空间向量与空间角【核心扫描核心扫描】理解直理解直线线与平面所成角的概念与平面所成角的概念能能够够利用向量方法解决利用向量方法解决线线线线、线线面、面面的面、面面的夹夹角角问题问题体会用空体会用空间间向量解决立体几何向量解决立体几何问题问题的三步曲的三步曲向量法求解向量法求解线线线线、线线面、面面的面、面面的夹夹角角(重点重点)线线线线、线线面、面面的面、面面的夹夹角与向量的角与向量的应应用用(难点难点)12312课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动想一想想一想：当一条直线当一条直线l

2、与一个平面与一个平面的夹角为的夹角为0时，这条直时，这条直线一定在平面内吗？线一定在平面内吗？提示提示不一定，这条直线还可能与平面平行不一定，这条直线还可能与平面平行自学导引自学导引投影投影夹夹角角0课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动空间中的角空间中的角角的分角的分类类向量求法向量求法范范围围异面直异面直线线所成的角所成的角设设两异面直两异面直线线所成的角所成的角为为，它，它们们的方的方向向量分向向量分别为别为a，b，则则cos _直直线线与与平平面所面所成的成的角角设设直直线线l与平面与平面所成的角所成的角为为，l的方向的方向向量向量为为a，平面，平面的法向量的法向量为为n，则

4、也可两条同也可两条同时时平移平移)，使，使它它们转们转化化为为两条相交直两条相交直线线，然后通，然后通过过解三角形解三角形获获解解名师点睛名师点睛1直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜几何法：找出斜线线在平面上的射影，在平面上的射影，则则斜斜线线与射影所成与射影所成角就是角就是线线面角，可通面角，可通过过解由斜解由斜线线段、垂段、垂线线段和射影段和射影线线段构段构成的直角三角形成的直角三角形获获解解2课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动二面角的求法二面角的求法(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通几何法：作出二面角的平面角，然后通过过解三角形解三角形获

5、获解解(2)向量法：向量法：设设二面角二面角 l的两个半平面的法向量分的两个半平面的法向量分别为别为n1，n2.当平面当平面、的法向量与的法向量与、的关系如的关系如图图所示所示时时，二面角，二面角 l 的平面角即的平面角即为为两法向量两法向量n1，n2的的夹夹角角n1，n23课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动当平面当平面、的法向量与的法向量与、的关系如的关系如图图所示所示时时，二面角，二面角 l 的平面角与两法向量的平面角与两法向量n1，n2的的夹夹角角n1，n2互互补补课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动题型一题型一求异面直线的夹角求异面直线的夹角正方体正方体AB

6、CDA1B1C1D1中，中，E、F分分别别是是A1D1、A1C1的中点，求异面直的中点，求异面直线线AE与与CF所成角的余弦所成角的余弦值值【例例1】解解不妨不妨设设正方体棱正方体棱长为长为2，分，分别别取取DA、DC、DD1所在直所在直线为线为x轴轴、y轴轴、z轴轴建立如建立如图图所示空所示空间间直角坐直角坐标标系，系，则则课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动规律方法规律方法在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法

7、时一定要注意向量所成的角与异面直法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别线所成角的区别课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动四棱四棱锥锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角所成的角为为60，在四，在四边边形形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐建立适当的坐标标系，并写出点系，并写出点B、P的坐的坐标标；(2)求异面直求异面直线线PA与与BC所成的角的余弦所成的角的余弦值值【变式变式1】解解(1)如如图图，建立空，建立空间间直角坐直角坐标标系系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.

8、A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动思路探索思路探索利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取定义找出线面角，取A1B1的中点的中点M，连结，连结C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平所成的角；另一种是利用平面面A1ABB1的法向量的法向量n(，x，y)求解

9、求解题型题型二二求线面角求线面角【例例2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动规律方法规律方法用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算求平面法向量与斜线夹角，再

10、进行换算课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【变式变式2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 (12分分)如如图图所示，正三棱柱所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的所有棱长长都都为为2，D为为CC1的中的中点，求二面角点，求二面角AA1DB的余弦的余弦值值题型题型三三二面角的求法二面角的求法【例例3】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动规范解答规范解答如如图图所示，取所示，取BC中点中点O，连连结结AO.因因为为ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AO

11、BC，因，因为为在正三棱柱在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BCC1B1.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【题后反思题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两或两向量向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空所成

12、的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性间向量的巨大优越性课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【变式变式3】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动空空间间向量的具体向量的具体应应用主要体用主要体现为现为两种方法两种方法向量法向量法和坐和坐标标法法这这两种方法的思想都是利用空两种方法的思想都是利用空间间向量表示立体向量表示立体图图形中的点、形中的点、线线、面等元素，建立立体、面等元素，建立立体图图形和空形和空间间向量之向量之间间的的联联系，然后系，然后进进行空行空间间向量的运算，最后把运算向量的运算，最

13、后把运算结结果回果回归归到几何到几何结论结论这样这样就把立体几何就把立体几何问题转问题转化化为为空空间间向量来向量来研究，体研究，体现现了化了化归归与与转转化思想化思想方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)证证明：直明：直线线MN平面平面OCD；(2)求异面直求异面直线线AB与与MD所成角的大小所成角的大小思路分析思路分析建系建系求相关点坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量向量运算运算结论结论解解作作APCD于点于点P，分，分别别以以AB，AP，AO所在的直所在的直线为线为x，y，z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系Axyz，如，如图图所示，所示，【示示例例】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动

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