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1、第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法新课导入实例引领 思维激活实例: (1)高二五班共有48名同学,每位同学都有自己的一个学号,这些学号依次为:1,2,3,48.(2)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出现一次,那么从发现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,2072,.(4)圆周率是一个无理数,它精确到1,0.1,0.01,0.001,时的不足近似值依次为:3,3.1,3.14,3.141,.想一想 观察实例,它们都涉及了一些数,这些数的呈现有什么特点?(按照一定的顺序排列)知识探究自主梳理 思考辨析1.数列的概念按照 排列
2、的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为an.2.数列的分类(1)按项的个数分类一定顺序一定顺序类别含义有穷数列项数 的数列无穷数列项数 的数列有限有限无限无限项项(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起,每一项都 它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都 它的前一项的数列常数列各项 的数列摆动数列从第2项起,有些项 它的前一项,有些项小于它的前一项的数列大于大于小于小于相等相等大于大于3.数列的通项公式如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.思考1:(1)数列1,
3、2,3,4和数列4,3,2,1是相同数列吗?(2)数列1,2,3,4和数列1,2,3,4,是相同数列吗?提示提示: : (1)(1)不是不是, ,数相同而顺序不同时不是同一个数列数相同而顺序不同时不是同一个数列. .(2)(2)不是不是, ,前者是有穷数列前者是有穷数列, ,后者是无穷数列后者是无穷数列. .思考2:an与an表示的含义相同吗?提示提示: : aan n 与与a an n表示不同的含义表示不同的含义,a,an n 表示数列表示数列a a1 1,a,a2 2, ,a,an n, , ,是数是数列的一种简记形式列的一种简记形式. .而而a an n只表示数列只表示数列aan n 的
4、第的第n n项项,a,an n与与aan n 是是“个体个体”与与“整体整体”的从属关系的从属关系. .序号序号n n题型探究典例剖析 举一反三题型一 数列的分类【例1】 已知下列数列:(1)2014,2016,2018,2020,2022;(6)9,9,9,9,9,9.其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,常数列是,摆动数列是.解析解析: :分析可知分析可知:(1):(1)是有穷递增数列是有穷递增数列; ;(3)(3)是无穷递减数列是无穷递减数列; ;(4)(4)是摆动数列是摆动数列, ,是无穷数列是无穷数列; ;(5)(5)是摆动数列是摆动数列, ,是无穷数列是无穷数列;
5、;(6)(6)是常数列是常数列, ,是有穷数列是有穷数列. .答案答案: : (1)(6)(1)(6)(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(1)(2)(3)(3)(6)(6)(4)(5)(4)(5)题后反思题后反思 (1)(1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的主要分析它的项数是有限的, ,还是无限的还是无限的. .(2)(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系大小关系. .跟踪训练1-1:下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列
6、?哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?(2)1,3-1,3-2,3-63;(3)1,-0.1,0.12,(-0.1)n-1,;(4)10,20,40,1280;(5)-1,2,-1,2,;(6)6,6,6,.解解: : (2)(2)、(4)(4)是有穷数列是有穷数列,(1),(1)、(3)(3)、(5)(5)、(6)(6)是无穷数列是无穷数列,(4),(4)是递是递增数列增数列,(1)(2),(1)(2)是递减数列是递减数列,(3)(5),(3)(5)是摆动数列是摆动数列,(6),(6)是常数列是常数列. .题型二 根据数列的前几项写出数列的通项公式【例2】 写出下列数列的一个通项公
7、式,使其前几项分别是下列各数:(1)-2,-4,-6,-8,(2)0,3,8,15,(4)9,99,999,9999,(5)2,-2,2,-2,解解: : (1) (1)每一项都是负数每一项都是负数, ,且每一项的绝对值恰好是项数的两倍且每一项的绝对值恰好是项数的两倍, ,因此因此它的一个通项公式是它的一个通项公式是a an n=-2n.=-2n.(2)(2)将数列变形为将数列变形为1-1,4-1,9-1,16-1,1-1,4-1,9-1,16-1, ,亦即亦即1 12 2-1,2-1,22 2-1,3-1,32 2-1,4-1,42 2-1,-1, ,所以它的一个通项公式是所以它的一个通项公
8、式是a an n=n=n2 2-1.-1.(4)(4)将数列变形为将数列变形为10-1,1010-1,102 2-1,10-1,103 3-1,10-1,104 4-1,-1, ,因此它的一个通项公因此它的一个通项公式是式是a an n=10=10n n-1.-1.(5)(5)这是一个摆动数列这是一个摆动数列, ,符号可由符号可由(-1)(-1)n+1n+1来调节来调节, ,每一项的绝对值都等每一项的绝对值都等于于2,2,故它的一个通项公式为故它的一个通项公式为a an n=(-1)=(-1)n+1n+12.2.题后反思题后反思 根据数列的前几项写通项公式的方法根据数列的前几项写通项公式的方法
9、. .(1)(1)统一项的结构统一项的结构, ,如都化成分数、根式等如都化成分数、根式等. .(2)(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分分析这一结构中变化的部分与不变的部分, ,探索变化部分的变化规探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式律与对应序号间的函数关系式. .(3)(3)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况, ,可观察其绝对值可观察其绝对值, ,再以再以(-1)(-1)n n或或(-1)(-1)n+1n+1(n(nN N* *) )调节符号调节符号. .(4)(4)对于周期出现的数列对于周期出现的数列, ,可考虑拆成几个简单数列和的形式可考虑拆成几个简单数列和的形
10、式, ,或者利或者利用周期函数用周期函数, ,如三角函数等求通项如三角函数等求通项. .跟踪训练2-1:根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.(1)-1,7,-13,19,;(2)0.8,0.88,0.888,;解解: : (1) (1)第一项为负且所有项正负相间隔第一项为负且所有项正负相间隔. .因此符号可用因此符号可用(-1)(-1)n n调节调节, ,其其各项的绝对值的排列规律为各项的绝对值的排列规律为: :后面的数的绝对值总比前面的数的绝对后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大值大6,6,故它的一个通项公式为故它的一个通项公式为a an n=(-1)=(-1)n n(6n-5
11、).(6n-5).名师导引名师导引: : (1) (1)通项公式已知通项公式已知, ,怎样求怎样求a a4 4,a,a7 7?(?(令令n=4,7n=4,7代入通项公代入通项公式即可式即可) )(2)(2)如何说明一个数是否是某数列中的项如何说明一个数是否是某数列中的项?(?(令第令第n n项等于这个数项等于这个数, ,解关于项数解关于项数n n的方程的方程. .若能求得正整数解若能求得正整数解, ,那么这个数就是数列中那么这个数就是数列中的项的项, ,否则不是否则不是) )跟踪训练3-1:已知数列an的通项公式是an=-n2+6n+1.(1)求an的第5项;(2)-26是否是an中的项?(3
12、)数P(PR,P10)是否是an中的项?解解: : (1)a(1)an n 的第的第5 5项项a a5 5=-5=-52 2+6+65+1=6.5+1=6.(2)(2)令令a an n=-26,=-26,即即-n-n2 2+6n+1=-26,+6n+1=-26,所以所以n n2 2-6n-27=0,-6n-27=0,解得解得n=9(n=-3n=9(n=-3舍去舍去),),故故-26-26是是aan n 中的项中的项, ,且是第且是第9 9项项. .(3)(3)令令a an n=P,=P,即即-n-n2 2+6n+1=P,+6n+1=P,所以所以n n2 2-6n+(P-1)=0,-6n+(P-
13、1)=0,由于判别式由于判别式=(-6)=(-6)2 2-4(P-1)=40-4P,-4(P-1)=40-4P,P10,P10,所以所以0,10),P10)不是不是aan n 中的项中的项. .备选例题【例1】 下列说法是否正确,为什么?(1)数列1,2,3和数列3,2,1是同一数列.(2)数列1,2,2,3和数列1,2,3实质上是相同的.(3)数列1,2,3与数列1,2,3,是同一数列.(4)数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.解解: : (1)(1)错错. .因为数列中的项是有次序的因为数列中的项是有次序的. .(2)(2)错错. .因为数列中的项可以是相同的因为数列中的项可以
14、是相同的, ,同一个数在不同位次意义不同同一个数在不同位次意义不同. .(3)(3)错错. .因为数列因为数列1,2,31,2,3与数列与数列1,2,3,1,2,3,项数不同项数不同. .(4)(4)错错. .因为如果因为如果a=c,a=c,那么它们就是同一个数列那么它们就是同一个数列. .【例2】 已知数列an的通项公式为an=2n2-n,判断45是否为an中的项,3是否为an中的项?解解: :令令2n2n2 2-n=45,-n=45,得得2n2n2 2-n-45=0,-n-45=0,达标检测反馈矫正 及时总结1.下面三个结论:1,1,1,1,是数列cos0,sin1,tan2不是数列-3,
15、-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列其中正确的有()(A)0个 (B)1个(C)2个 (D)3个解析解析: :正确正确, ,是按一定次序排列的一列数是按一定次序排列的一列数, ,符合定义符合定义. .错误错误.cos0,sin1,tan2.cos0,sin1,tan2都是数都是数, ,而且是按一定次序排列的而且是按一定次序排列的, ,所以它是数所以它是数列列. .错误错误. .因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成, ,但但x,yx,y不一定不一定为数为数. .故选故选B.B.B B答案答案: :3.填表:课堂小结1.1.对通项公式的认识对
16、通项公式的认识(1)(1)并不是所有的数列都有通项公式并不是所有的数列都有通项公式, ,如由如由的精确度的数值排列的精确度的数值排列: :3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,. .就没有通项公式就没有通项公式. .2.2.根据数列前几项写出数列的通项公式根据数列前几项写出数列的通项公式(1)(1)要注意观察每一项的特点要注意观察每一项的特点, ,找出各项共同的构成规律找出各项共同的构成规律: :横向看横向看各项之间的关系结构各项之间的关系结构, ,纵向看各项与序号纵向看各项与序号n n的关系的关系, ,必要时可使用必要时可使用添项、还原、分割等办法添项、还原、分割等办法, ,寻找规律寻找规律. .(2)(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法, ,它蕴涵着它蕴涵着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想的思想. .