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1、习习 题题 一一第一章第一章 函数与极限函数与极限9.(9)1lim(1)tan2xxx100000lim(1) tanlimtan()2222coscos222limlimsinsin22222limlimcos2sin2xtttttxxttttttttttt1,1,xtxt 令 则 9.(10)3033002220002tansinlimsinsinsin (1 cos )coslimlimcos2sinsinsinsin122limlimlim22( )2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx9.(11)211limxxx221101220limlim(1)lim(1)xtx
2、tttxtte1,1,xtxt 令 则 9.(13)11112121(2)22112lim ()lim ()1122lim (1)lim (1)1122lim (1)lim (1)112lim (1)1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxex 9.(14)001100110011ln(1)ln(1)limlim13ln(1)3ln(1)lim1 ln(1) 1 lnlim(1) 1 ln13lnlim3ln(1) 3lnlim(1) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexx9.(15)31ln(2)lim121xxx 令1+x = t3310031ln(1)ln(2)ln(1
3、)limlimlim1121211(211)xtttxttxttt 233203332330( 21211)lim( 211)( 21211)( 21211)3lim22tttttttttttt033001lim ln(1)ln121 1lim ( 21 1)limttttettttt 9.(16)112111222112223212lim()lim()212122lim(1)lim(1)212122lim(1)lim(1)2121xxxxxxxxxxxxxxxxxexx 10.10.已知已知 , 试确定试确定 b 的值的值解：当解：当 x1 时极限存在时极限存在, 因分母因分母0, 所以分子
4、所以分子0.（否则极限不存在）（否则极限不存在） 即即 所以当所以当 x=1 时必有时必有 以以 x=1 代入得代入得 b = -7 216lim51xxbxx21lim(6)0 xxbx260 xbx 11.11.己知极己知极限限 由于极限存在由于极限存在, 分子的分子的 x2 的系数必为零的系数必为零. a=42lim(21)xxaxx222222222lim (21)(21)(21)lim214(1)(4)1limlim2121xxxxxaxxxaxxxaxxxaxxxaxxa xxxaxxxaxx 222lim (241)11 1/1limlim4241241/1/xxxxxxxxxx
5、xxx 存在存在, 试确定试确定 a 的值的值, 并求出极限值并求出极限值.解解:12.(5)12.(5)当当 x0 时时, 函数函数 与与 x 进行无穷小量比较进行无穷小量比较)1(2cosx0000cos(1)cos()222limlimsinsin222limlim22xxxxxxxxxxxx)1(2cosx因此因此 与与 x 为同阶无穷小量为同阶无穷小量12.(6)12.(6)当当 x0 时时, 函数函数 与与 x 进行无穷小量比较进行无穷小量比较xxsin1tan10001 tan1 sinlim( 1 tan1 sin )( 1 tan1 sin )lim( 1 tan1 sin
6、)tansinlim1( 1 tan1 sin )xxxxxxxxxxxxxxxxxx所以所以 与与 x 等价无穷小等价无穷小xxsin1tan113.已知当已知当 x0 时时, 与与 sin2x 是是 等价无穷小等价无穷小, 求求 a 值值因此因此 a=22( 11)ax2222002222222200222200( 11)( 11)limlimsinsin( 11)( 11)limlimsin( 11)11limlim12( 11)11xxxxxxaxaxxxxxaxaxxxxaxaxaaxaxax14.14.设设 解：解：f(x) 在在 x=0 处连续，因此处连续，因此 x=0 处左右极
7、限处左右极限 存在且相等。存在且相等。,0( )ln(1),0 xexf xaxx0000lim( )lim1lim( )limln(1)xxxxxf xef xaxa在在(-,+)(-,+)内连续内连续，试确定试确定 a 的值的值因此有因此有 a =1.=1.15.15.讨论函数讨论函数解解: : 因因1,0( )001sin0 xexf xxxxx10000lim( )lim01lim( )limsin0(0)0 xxxxxfxefxxxf在点在点 x=0 =0 处的连续性处的连续性所以所以 f(x) 在在 x=0 处连续处连续.16.16.讨论函数讨论函数解解: :0, 10,1sin)
8、(xxxxxf001lim( )lim sin0(0)1xxf xxxf而 在在 x=0 =0 点处的连续性点处的连续性所以所以 f(x) 在在 x=0 处不连续处不连续1818. .确定下列函数的间断点与连续区间确定下列函数的间断点与连续区间间断点间断点: x=2, x=3, 连续区间连续区间(-,2), (2,3), (3,+)(1)lnxyx22256(2)(3)xxyxxxx21,0( )sin,0 xxf xxxx 间断点间断点: x=1, 连续区间连续区间(0,1), (1,+)(2)间断点间断点 x=0, 连续区间连续区间 (-,0), (0,+)(3)18.(4)当当 x11(
9、 )lim11nnf xx1( )lim,(0)1nnf xxx1( )lim0,(1)1nnf xxx连续区间连续区间: 0,1), (1,+ )1919. f(x) 在在 a,b 上连续上连续, 且且 f(a)b, 证明证明: 方程方程 f(x)=x 在在 (a, b )内至少有一实根内至少有一实根.证明: 令令 F(x)=f(x)-x, 则有则有 F(a)0由定理由定理 1-4 定存在一点定存在一点 , 使得使得 F( )=0即有即有 F( )=f( )- =0 , f( )= 点即为满足方程的一实根点即为满足方程的一实根20.设函数设函数 f(x) 在在 a, b 上连续上连续, 且且 f(a)g(a), f(b)0; F(b)=f(b)-g(b)0 由定理由定理1-4, 在在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 F( )=f( )-g( )=0. 也即也即 使使 f( )=g( ) 成立成立 点即为点即为 y=f(x) 与与 y=g(x) 的交点的交点.