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1、反函数和反三角函数反函数和反三角函数一、反函数一、反函数二、反三角函数二、反三角函数一、反函数一、反函数二、反三角函数1.反正弦函数反正弦函数2.反余弦函数反余弦函数3.反正切函数反正切函数4.反余切函数反余切函数xarcsinarcsinxarccosarccosxarctanarctanxarc cotcot(1)什么样的函数有反函数什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系互为反函数图象之间有什么关系关于直线关于直线y=x对称对称(4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？(3)正
2、弦函数正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗? 余弦函数y=cosx在0， 上有反函数吗？正切函数y=tanx在 上有反函数吗？,2 2 (,)2 2 xyo-2 - 2 3 4 1-1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxy22 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxysin (, )2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对
3、应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。1.反正弦反正弦函数函数 （1）定义）定义：正弦函数正弦函数 的反函数的反函数sin (, )2 2yx x 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作arcsinxyarcsinyx 习惯记作习惯记作 1,1, 2 2xy 1,1,arcsin ,xaya 若有理解和掌握理解和掌握 符号符号arcsin (1)a a 表示表示一个角一个角这个这个角的范围是角的范围是,2 2 arcsinaarcsin,.2 2a 即21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin , 1,12 2y
4、x xy arcsin , 1,1,2 2yx xy （2）反正弦函数）反正弦函数 的图象的图象与与性质：性质：yxyx22定义域定义域:-1，1。值域值域:,22单调性单调性: 是增函数是增函数。o 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cs si in n xxy奇函数奇函数有界函数有界函数(1)arcsin1 _(2)arcsin( 1)_1(3)arcsin0_(4)arcsin_212(5)arcsin()_(6)arcsin_2223(7)arcsin()_(8)arcsin_223(9)arcsin()_2 （3）熟记）熟记特殊值的反正弦函数值特殊值的反正弦函数值22064
5、64332-2-22O1EF22 只有正弦函数主值区间只有正弦函数主值区间 上的角才能用上的角才能用反正弦表示反正弦表示ax=?arcsinax1x2（4）已知）已知三角函数值求角三角函数值求角2,2,sinxxy3x4x,2 2 例例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。：判断下列各式是否正确？并简述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33 对错13错错13 2 21 1arcsinarcsin 总结总结 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cs si in n xxy,22 yxyo-2 - 2
6、3 4 1-1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？cos ()yx xRcos (0, )yx x 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。2.反反余弦函数余弦函数（1）定义）定义：余弦函数余弦函数 的反函数的反函数cos (0, )yx x 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arccosxyarccosyx 习惯记作习惯记
7、作 (矫正反函数矫正反函数) 1,1,0, xy 1,1,arccos ,xaya 若有理解和掌握理解和掌握 符号符号arccos(1)a 表示表示一个角一个角这个这个角的范围是角的范围是0,arccosaarccos0,.即54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arccosx,x-1，1y0，-11（2）反）反余弦余弦函数函数 的的图图象与性质象与性质oxyyx定义域定义域：-1，1。值域值域:0，。单调性单调性:是减函数。是减函数。 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cc co os s xxy有界函数有界函
8、数(1)arccos1 _(2)arccos( 1)_1(3)arccos0_(4)arccos_212(5)arccos()_(6)arccos_2223(7)arccos()_(8)arccos_223(9)arccos()_2 （3）熟记）熟记特殊值的反正弦函数值特殊值的反正弦函数值20342334656只有余弦函数主值区间0，上的角才能用反余弦表示2-2-22O1 EFaxarccosax1x2x3-arccosa2-arccosa2+arccosa, 0,cosxxy（4）已知）已知三角函数值求角三角函数值求角例题：判断例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。下列各式是否正确？并简述
9、理由。1(1)arccos231(2)arccos32(3)arccos02()2kkZ(4)arccos()arccos33对错13错错13 总结总结 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cc co os s xxy y0，。tan (,)2yx xkkz 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？tan ,(, )2 2yx x 正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角
10、函数值只对应一个角。223.反反正切函数正切函数（1）定义）定义：正切函数正切函数 的反函数的反函数tan (, )2 2yx x 叫反正切函数，记作叫反正切函数，记作 (本义反函数本义反函数) arctanxyarctanyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) ,(, )2 2xR y ,arctan ,xaRya 若有理解和掌握理解和掌握 符号符号arctan ()a aR 表示表示一个角一个角这个这个角的范围是角的范围是(,)2 2 arctanaarctan(,).2 2a 即32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-11234（2）反）反正切函数正切函数y=arctanx,xR的图象与性质的图象与性质22Ryxxy)2,2(,tan22)2,2(,arctanyRxxy定义域定义域R值域值域: (,)22 单调性单调性:是增函数是增函数yx奇函数奇函数有界函数有界函数(1)arctan1 _(2)arctan( 1)_(3)arctan0_(4)arctan 3_3(5)arctan(3)_(6)arctan_33(7)arctan()_3 （3）熟记）熟记特殊值的反正切函数值特殊值的反正切函数值30446364.反余切函数（类似前三种函数的理论）) ), ,0 0( (, ,cotcot xxarcy56.