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1、3.3.3 3.3.3 点到直线的距离点到直线的距离3.3.4 3.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离1.1.了解点到直线距离公式的推导；（了解点到直线距离公式的推导；（难点难点）2.2.点到直线的距离公式及其应用；（点到直线的距离公式及其应用；（重点重点）3.3.会求两条平行线之间的距离会求两条平行线之间的距离. .两点间的距离公式是什么？两点间的距离公式是什么？已知点已知点P P1 1（x x1 1，y y1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2），则），则 22122121.PPxxyyxyO1P2P1M2NQ2M1NM地地N地地P地地铁路铁路问题：在铁路问题
2、：在铁路MNMN附近附近P P地要修建一条公路使之连接起来地要修建一条公路使之连接起来, ,问问: :如何设计才能使公路最短如何设计才能使公路最短? ? M M地地N N地地P P地地得到简化图形得到简化图形: :过过P P点作点作MNMN的垂线的垂线, ,设垂足为设垂足为Q,Q,则垂线则垂线段段PQPQ的长度就是点的长度就是点P P到直线到直线MNMN的距离的距离. . Q即求即求P P到到MNMN上上的最短距离的最短距离x xy yP P0 0 (x(x0 0,y,y0 0) )O O|y|y0 0| |x|x0 0| |x x0 0y y0 01.1.点到直线的距离公式点到直线的距离公式
3、x xy yP P0 0 (x(x0 0,y,y0 0) )O O|x|x1 1-x-x0 0| |y|y1 1-y-y0 0| |x x0 0y y0 01yyy y1 11xxx x1 1点到点到直线的距离直线的距离公式公式已知点已知点 , ,直线直线 ，如何求，如何求点点 到直线到直线 的距离？的距离？ 000,Pxy0:lAxByC0PlxyO0PlQ探究一：探究一：直接法直接法直线直线l的方程的方程直线直线l的方程的方程直线直线P P0 0Q Q的方程的方程交点交点点点P P0 0、Q Q之间的距离之间的距离|P P0 0Q Q |（ P P0 0到到l的距离）的距离）点点P P0
4、0的坐标的坐标直线直线P P0 0Q Q的斜率的斜率点点P P0 0的坐标的坐标点点Q Q的坐标的坐标两点间距离公式两点间距离公式xyO0PlQ思路简单思路简单运算繁琐运算繁琐直线直线l的斜率的斜率lP P0 0Q QP P0 0（x x0 0，y y0 0）l:Ax+By+CAx+By+C=0=0Ax+By+CAx+By+C=0=0 Bx-Ay-BxBx-Ay-Bx0 0+Ay+Ay0 0=0=0Q(x,yQ(x,y) )满足满足: :20022ABxA yBCyAB 20022BxAByACxAB 00022()A AxByCxxAB 00022()B AxByCyyAB 22000022
5、2200222200|PQ|()()()()|xxyyA AxByCB AxByCABABAxByCAB 结论：点结论：点P P0 0( (x0 0 , , y0 0) )到直线到直线 l: : A Ax+B+By+C+C=0=0的距离为的距离为: :0022|AxByCdAB 探究二：探究二：间接法间接法xyO0PlQ面积法求出面积法求出|P0Q|求出求出|P0R|求出求出|P0S|利用勾股定理求出利用勾股定理求出|RS|S SR求出点求出点R的坐标的坐标求出点求出点S的坐标的坐标xO0PlQdSRy如图，设如图，设0,0AB则直线则直线l与与x轴和轴和y轴轴都相交，过点都相交，过点P P0
6、 0分别作分别作x x轴与轴与y y轴的平行线，交轴的平行线，交直线直线l于于R R和和S.S.R 的坐标为的坐标为 00(,)ByCyA 的坐标为的坐标为 S00(,)AxCxB则直线则直线 的方程为的方程为 0P R0yyP0（x0，y0）l:Ax+By+C=0直线直线P P0 0S S的方程为的方程为x=xx=x0 0于是有于是有00000AxByCByCP RxAA 00000AxByCAxCPSyBB 22220000ABRSP RPSAxByCA B设设0,PQd由三角形的面积公式得由三角形的面积公式得00d RSP RPS于是得于是得000022P RPSAxByCdRSAB.|
7、2200BACByAxd的距离为的距离为到直线到直线由此我们得到点由此我们得到点000(,)P xy:0l AxByC当当A=0A=0或或B=0B=0，此公式也成立，此公式也成立. .注意注意1.1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.2.此公式是在此公式是在A A、B0B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.3.如果如果A=0A=0或或B=0B=0，此公式恰好也成立；此公式恰好也成立；4.4.如果如果A=0A=0或或B=0B=0，一般不用此公式；一般不用此公式；5.5.用此公式时直线要先化成一般式用此公式时直线要先化成一般式. . 1P1,2.1 2xy100
8、 ;2 3x2.例求点到下列直线的距离102 5.5解解: :（1 1）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得22|212 10|21d （2 2）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得22|312|5330d 3513223201xxdyx所以轴平行与因为直线251.33d 因为直线因为直线3x-2=03x-2=0平行于平行于y y轴轴 ，所以，所以当当A=0A=0或或B=0B=0时，也可直接利用图形的性质求距离时，也可直接利用图形的性质求距离. .求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离：(1)(0,0),:32260;(2)(0,0),:;(3) ( 2
9、,0), :3430;(4) (1,0),:330;(5) (1, 2),:430.OlxyOl xyAlxyBlxyClxy答案：答案：32(1)2 13;(2)0;(3);(4)0;(5).55 例例2 2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积133110ABC，ABC解：解：如图，设如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则ABh1.2ABCSAB hy1234xO-1123ABCh223 11 32 2 .AB 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离ABhCAB 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：AB311 33 1yx，即：即：40 .xy 点点 到直线到直线 的距离
10、的距离40 xy10C ，221 045.211h 因此，因此，152 25.22ABCSy1234xO-1123ABCh若点若点P P在直线在直线3x+y-5=03x+y-5=0上，且点上，且点P P到直线到直线x-y-1=0 x-y-1=0的距离的距离为为 ，则点，则点P P的坐标为的坐标为( )( )(A)(1,2) (B)(2,1)(A)(1,2) (B)(2,1)(C)(1,2)(C)(1,2)或或(2(2，-1) (D)(2-1) (D)(2，1)1)或或(-1(-1，2)2)解：解：选选C .C .设点设点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，则有，则有 解得
11、解得 或或200003xy50 xy12200 x1y200 x2.y1 则点则点P P的坐标为（的坐标为（1,21,2）或（）或（2 2，-1-1）. .2.2.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离（1 1）两条平行直线间的距离）两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长段的长.（2 2）探究：）探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？已知两条平行直线已知两条平行直线112212:0,:0,.lAxByClAxByCCC0020020,.AxByC
12、AxByC 即设设 是直线是直线 上的任意一点，则上的任意一点，则00(,)P xy2l00122|AxByCdAB2221BACC|1l2l就是直线就是直线和和间的距离间的距离注意：注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为两条平行直线的方程必须化为一般式，即为1122:0,:0 .lAxByClAxByC l1 1与与l2 2是否平行？若是否平行？若平行，求平行，求l1 1与与l2 2间的距离间的距离. .例例3 3 已知直线已知直线01216:0872:21yxlyxl解：因为解：因为l1 1，l2 2的的斜率分别为斜率分别为12262,.7217kk所以所以l1 1，l2 2平行平行
13、. .先求先求l1 1与与x x轴的交点轴的交点A A的坐标，易得的坐标，易得A A（4,04,0），），点点A A到直线到直线l2 2的距离为的距离为226 421 0 1232353,1593 53621 d所以所以l1 1，l2 2间的距离为间的距离为2353.1591 1点点(0(0，5)5)到直线到直线y=2xy=2x的距离是（的距离是（ ）（A A） （B B）（C C） （D D）5232525B B2 2点点P(xP(x，y)y)在直线在直线x+yx+y4=04=0上，上，O是原点，则是原点，则| |OP| |的最的最小值是（小值是（ ）（A A） （B B）（C C） （D
14、D）2 2102 26B B3 3点点P(2P(2，3)3)到直线到直线ax+(aax+(a1)y+3=01)y+3=0的距离等于的距离等于3 3，则，则a a的值的值等于等于 . .337或4 4设点设点P P在直线在直线x+3y=0 x+3y=0上，且上，且P P到原点的距离与到原点的距离与P P到直线到直线x+3yx+3y2=02=0的距离相等，则的距离相等，则P P点坐标为点坐标为 . .313 1( ,)(, )555 5或5 5求经过点求经过点P P(2(2，1)1)，且到点，且到点Q Q(1(1，2)2)的距离为的距离为 的直线的直线方程方程. .2解：解：x xy y1=01=
15、0或或7x+y7x+y15=015=06.6.求下列两条平行线的距离：求下列两条平行线的距离：(1)(1) l1 1:2x+3y-8=0 :2x+3y-8=0 ，l2:2:2x+3y+18=02x+3y+18=0(2)(2) l1 1: : 3x+4y=10 3x+4y=10 ，l2:2: 3x+4y-5=0 3x+4y-5=022|-5-(-10)|d =13 +4解解：22|18-(-8)|26d = 2 13132 +3解解：1.1.了解点到直线的距离公式的推导过程；了解点到直线的距离公式的推导过程；2.2.能用点到直线的距离公式进行计算；能用点到直线的距离公式进行计算；3.3.能求有关平行线间的距离能求有关平行线间的距离. .作业：课本P109,习题A组5,10，B组2不相信自己的意志，永远干不成大事。