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1、3.3.33.3.3点到直线的距离点到直线的距离3.3.43.3.4两条平行直线两条平行直线间的距离间的距离1当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A=0A=0时：时：x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0)Q Q.l：By+C=0By+C=0，y=-y=-C CB B|y|y0 0-y-yQ Q|=|=|By|By0 0+C|+C|B|B|x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0)Q Q.当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中B=0B=0时：时：l：Ax+C=0Ax+C=0，x=-x=-C CA
2、 A|PQ|=|PQ|=C CB B=y y0 0+|x|x0 0-x-xQ Q|=|=|Ay|Ay0 0+C|+C|A|A|PQ|=|PQ|=x x0 0+C CA A=2当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x(x0,y,y0).d dQ QS SR R过过P P0 0分别作分别作x x轴和轴和y y轴的平行线，交直线轴的平行线，交直线l于点于点R R，S S3当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0
3、 0(x(x0,y,y0).d dQ QS SR R过过P P0 0分别作分别作x x轴和轴和y y轴的平行线，交直线轴的平行线，交直线l于点于点R R，S S则则P P0 0R R的方程为的方程为y=yy=y0 0，R R的坐标为：的坐标为：则则P P0 0S S的方程为的方程为x=xx=x0 0，S S的坐标为：的坐标为：)ByBy0 0+C+C A A-，y y0 0(AxAx0 0+C+C B B-x x0 0,)(4当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x0,y0)(x0,y0).d
4、dQ QS SR R于是有：于是有：|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|A|A|P|P0 0R|=R|=ByBy0 0+C+C A A-x-x0 0=|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|B|B|P|P0 0S|=S|=AyAy0 0+C+C B B-y-y0 0=|RS|RS|=|P|P0 0R|R|2 2+|P+|P0 0S|S|2 2=A A2 2+B+B2 2|A|B|A|B|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|5当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x0
5、,y0)(x0,y0).d dQ QS SR R设设|P|P0Q|=dQ|=d，由三角形面积公式可得：，由三角形面积公式可得：d d|RS|=|P|RS|=|P0 0R|R|P|P0 0S|S|于是得：于是得：=A A2 2+B+B2 2|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|d=d=|P|P0 0R|R|P|P0 0S|S|RS|RS|6点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0)到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式：的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|当直线方程中的当直线方程中的A=0A=0时：时
6、：|d|=|d|=|By|By0 0+C|+C|B|B|当直线方程中的当直线方程中的B=0B=0时：时：|d|=|d|=|Ax|Ax0 0+C|+C|A|A|7点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0)到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式：的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C|+C|求点求点(-1(-1，2)2)到直线：到直线：3x=23x=2的距离的距离?解：解：d=d=3 32 2+0+02 2|3(-1)-2|3(-1)-2|=5 53 38练习：求下列点到直线的距离：练习：求下列点到直线的距离：(1)A(-
7、2(1)A(-2，3)3)，l：3x+4y+3=0 3x+4y+3=0(3)C(1(3)C(1，-2)-2)，l：4x+3y=0 4x+3y=0(2)B(1(2)B(1，0)0)，l：3x+y-3=0 3x+y-3=0 9 95 50 02 25 59例例1.1.已知点已知点A(1A(1，3)3)，B(3B(3，1)1)，C(-1C(-1，0)0)，求，求ABCABC的面积的面积解：设解：设ABAB边上的高为边上的高为h h，ABAB边所在的直线方程：边所在的直线方程：点点C C到到x+y-4=0 x+y-4=0的距离：的距离：x xy yo o1 12 23 31 12 23 3-1-1A
8、AB BC Ch h则：则：S SABCABC=1 12 2|AB|AB|h h|AB|=|AB|=(3-1)(3-1)2 2+(1-3)+(1-3)2 2=2 ,2 ,2 2 y-3y-31-3 1-3 x-1x-13-1 3-1=,即即x+y-4=0 x+y-4=0。因此，因此，S SABC ABC=1 12 22 2 2 2 2 2 5 5=5=5h=h=|-1+0-4|-1+0-4|1 12 2+1+12 2=2 2 5 510例例2(1)2(1)已知点已知点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=ax+1y=ax+1的距离为的距离为1 1，求，求a a的值的值(2)(2)已知点已知
9、点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=-x+ay=-x+a的距离为的距离为1 1，求，求a a的值的值解：解：(1)(1)直线方程直线方程y=ax+1y=ax+1即即ax-y+1=0 ax-y+1=0 d=d=a a2 2+(-1)+(-1)2 2|a(-2)+(-1)|a(-2)+(-1)3+13+1|=1=1a a2 2+1+1|-2a-2|-2a-2|=解出：解出：a=a=3 3-4+-4+7 7或或 a=a=3 3-4-4-7 7(2)(2)直线方程直线方程y=-x+ay=-x+a即即x+y-a=0 x+y-a=0 d=d=1 12 2+1+12 2|1(-2)+1|1(-2)+
10、13-a3-a|2 2|1-a|1-a|=1=1=解出：解出：a=a=1+1+7 7或或 a=a=1-1-7 711例例3：求平行：求平行线线和和的距离的距离 思考思考8 8：这两条平行直线间的距离是否为固定的：这两条平行直线间的距离是否为固定的？如何求这两条平行直线间的距离？可以选择？如何求这两条平行直线间的距离？可以选择哪个点？哪个点？变形变形解：在直解：在直线线上任取上任取一点，例如一点，例如则则到直到直线线就是两平行就是两平行线间线间的距离因此的距离因此的距离的距离思考思考9：是否可以在直：是否可以在直线线上取一般的点上取一般的点来求距离？来求距离？12求证：两平行直线求证：两平行直线
11、 的距离的距离 为为 评价反思，推广到一般结论：评价反思，推广到一般结论：13求下列两条平行线间的距离：求下列两条平行线间的距离：(1)2x+3y-8=0(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 2x+3y+18=0(2)3x+4y=10(2)3x+4y=10，3x+4y=03x+4y=02 21313 2 2 14某市现有自市中心某市现有自市中心O通向正西和东北方向的通向正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取的公路上选取A A、B B两点，使环城公路在两点，使环城公路在A A、B B间为间为线段，要求线段，要求ABAB环城路段与中心环城路段与中心O的距离为的距离为10km10km，且使且使A A、B B间的距离最小，请你确定间的距离最小，请你确定A A、B B两点的最两点的最佳位置佳位置东东南南西西北北x xy yA AB Bo o15