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1、20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺， 严格遵守竞赛章程和参赛规则， 以
2、保证竞赛的公正、 公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：25001113所属学校（请填写完整的全名）：云南大学参赛队员 (打印并签名) ：1.林博文2.张竞文3.方春晖指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李海燕（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改
3、。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化摘摘要要嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器， 包括着陆器和玉兔号月球车。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，
4、 要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆， 关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。针对问题一， 我们首先对嫦娥三号着陆准备轨道进行分析，给出着陆准备轨道的具体参数，包括轨道半长轴、轨道偏心率、着陆准备轨迹圆锥曲线方程、陆准备轨道的倾角、生交点黄道经度、和历元平近点角；然后利用万有引力定律与牛顿第二定律， 求得着陆准备轨迹的圆锥曲线方程，根据能力守恒定律求出得出近月点速度为/s，远月
5、点速度为/s，方向均与着陆准备轨道相切。先以近月点、着陆点和月球形心三点构成的平面为基准做二维分析， 通过卫星软着陆的过程由着陆点位置对近月点位置进行逆推，得出结论：近月点投影的位置约为西经 20度， 北纬 30 度， 与着陆点地面距离为， 着陆准备轨道近日点幅角为 31 度 32 分，远月点投影位置为东经 160 度，南纬 30 度。最后，我们以月球形心为中心，正东方为 x 轴，正北方为 y 轴建立三维坐标系，得出近月点投影的轨迹方程：（sin2sinsinsincos222-sin19.51cos44.12）（3cos19.51 ）（3sin44.12）1222远月点投影坐标即为近月点坐标
6、的相反数。针对问题二， 我们先将嫦娥三号整个着陆过程分为几个阶段，分别计算其最优控制策略； 利用动力学方程将嫦娥三号运动过程的参数系统化，将燃料消耗量作为控制策略优劣性的评判标准，通过遗传算法查找最优解,得到结论：在最优控制策略控制下，在距地面至处，燃料消耗为，飞行时间 t=473.135s；在距地面至处，燃料消耗为，飞行时间t=98.368s；在距地面至处，燃料消耗J 为，飞行时间 t=13.529s；在距地面至处，燃料消耗J 为，飞行时间t=7.838s。各阶段的卫星距月球形心距离和横向速度变化情况如图 5-8 所示。 最后汇总各个阶段的计算结果， 给出嫦娥三号运动过程参数的变化曲线示意图
7、，得出在最优控制策略下嫦娥三号共消耗燃料 990.409kg，着陆用时 597.795s。针对问题三， 我们考虑卫星水平位移所消耗的燃料导致的误差、数据量级差异导致运算过程中产生的误差、 卫星悬停过程以及持续的时间长短导致燃料消耗的变化产生的误差及月球自身运动引起的着陆点的误差， 然后采用控制变量的方式对逐个因素计算其针对问题二中给出的结果所产生的误差， 并通过计算其误差率来反映各个因素对于着陆轨道和控制策略的敏感程度， 最终得出结论为嫦娥三号在悬停过程的持续时间对燃料优化的影响最大，敏感性最强，其误差率为2.304%，在实际规划中需尽量减少悬停时间。关键词：天体力学关键词：天体力学工程优化工
8、程优化遗传算法遗传算法误差分析误差分析敏感性分析敏感性分析一问题重述嫦娥三号于 2013 年 12 月2日1 时 30分成功发射， 12 月6 日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。 在四周安装有姿态调整发动机， 在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。 嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下， 要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆
9、，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。 其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二问题分析1.问题一：计算远、近月点的位置以及卫星相对速度，首先我们以月球为参考系，考虑
10、着陆准备轨道的轨迹方程，对远近月点做一个初步的分析；其次利用天体力学和牛顿定律的相关物理知识计算得出远、近月点相对速度；对近月点位置的判断，我们从已知出发，通过着陆轨道对近月点位置进行逆向推理，先考虑二维情况下的特殊情况， 再向三维情况下的一般情况进行推广， 最后给出近月点位置的方程，远月点位置可通过近月点得出。 2.问题二：确定嫦娥三号着陆轨道的轨迹， 首先要给出卫星在整个着陆过程中的最优控制策略； 我们将整个着陆过程分为曲线运动和竖直运动两个阶段，以卫星燃料消耗的多少作为单纯的优劣性评判标准，通过卫星的动力学方程，以及各个阶段的状态特征求出优化参量和约束条件，利用遗传算法查找最优解，并返回
11、问题一对问题一得出的结论做误差分析。 3.问题三：要分析问题二中设计的着陆轨道控制策略的误差，首先要尽可能列举出所有可能导致误差产生的因素，对其中可以定量分析的因素，我们维持其他因素不变，计算出单一因素改变下产生的误差量，并计算出误差率；对其中定量分析过于复杂的因素做适当的定性分析.利用误差分析中得出的各因素误差率做敏感性分析，并给出合理的建议。三问题假设 1.假设卫星运行的轨道均为标准的圆锥曲线； 2.由于月球质心位移相对于月球平均半径要小得多， 假设月球的形心与质心重合1； 3.假设月球为一标准球体，即球面上的点到球心的距离相等。 4.忽略其他星体对卫星的影响，忽略月球自身运动； 5.假设
12、月球表面为真空状态， 卫星在运动的过程中不存在大气阻力；四符号说明符号aeGrrRmMgV 近V 远tsdV法说明轨道半长周轨道偏心率万有引力常数月球平均半径近月点距地距离远月点距地距离卫星质量月球质量月球引力常量近月点卫星速度远月点卫星速度主减速段时间卫星水平位移卫星至月球形心的距离极角卫星法向速度卫星横向速度主发动机推力方向角主发动机推力加速度主发动机推力V横A（t）Fam燃料消耗率主发动机比冲燃料消耗量优化参量个数种群规模某个因素使计算结果产生的误差相对于实际结果的变化率，简称误差率IspJnNP五模型建立与求解（一）问题一：1.嫦娥三号着陆准备轨道分析：要分析嫦娥三号着陆准备轨道， 首
13、先分析其轨道根数的六个参数，其中轨道倾角题目中未给出，而升交点黄道经度、 近日点幅角和指定历元平近点角都需要由轨道倾角确定2，这里先不予考虑和假设；余下可以通过计算得出的结果如下：（1）轨道半长轴 a：2r Dd1794.513 （km）2（1）（2）轨道偏心率 e：a（- r d） 0.0237 （保留三位有效数字）a（2）根据轨道半长轴 a 和轨道偏心率 e，可得着陆准备轨迹圆锥曲线方程，结果如下：x2y2（保留整数）132202783218471（3）根据嫦娥三号登月直播视频3中得出的信息， 卫星的着陆准备轨道与着陆轨道基本与月球西经 20 度所在平面处在同一平面上，卫星由南向北运动，即
14、着陆准备轨道与月球赤道垂直.由于月球的黄赤交角为 1 度 32 分， 故着陆准备轨道的轨道倾角为 88 度 28 分，生交点黄道经度为 20 度，指定历元平近点角为 180度。 2.嫦娥三号着陆准备轨道近、远月点速度分析：要计算嫦娥三号着陆准备轨道近、 远月点速度分析，我们从能量守恒的角度进行分析。第一步，在卫星的初始状态中，卫星通过降轨进入环月轨道，我们将其看做半径为远月点距月球形心的匀速圆周运动， 卫星与月球之间的万有引力充当向心力，根据万有引力定律与牛顿第二定律，可得出如下算式：2V远mMG2 mRR（4）求解可得远月点卫星速度为 1633.362m/s（保留小数点后三位），速度方向为与
15、圆周轨道相切。第二步，卫星通过降轨进入着陆准备轨道，首先从远月点进行调整，随后根据步骤 1 中得出的着陆准备轨迹圆锥曲线方程做椭圆运动， 由远月点前往进月点；在这个过程中， 除降轨需要由卫星发动机提供能量外，卫星可以自主在椭圆轨道上运动，即在这个过程中系统能量守恒，卫星距月球形心距离缩小，卫星引力势能减小，动能增大（如图 1 所示）。根据能量守恒定律，可得出如下算式：GMr2GMR21122mg（R-r）dgmV远mV近22（5）求解可得近月点卫星速度为 1643.434m/s（保留小数点后三位），速度方向为与圆周轨道相切，与远月点速度方向相反。图 1卫星绕月运动轨迹示意图 3.近月点相对月球
16、表面的位置分析：对于近月点相对月球表面的位置， 我们通过其垂直于月球形心产生的投影在月球上的经纬度对于其位置进行表示； 考虑到轨道倾角未给出， 我们先以近月点、着陆点和月球形心三点构成的平面为基准做二维分析， 通过卫星软着陆的过程由着陆点位置对近月点位置进行逆推，其示意图如下：图 2卫星着陆轨道几何图卫星运行到距离月面 3000m 时，基本位于着陆点上方，故我们假设卫星在距离月面 3000m 这一时刻水平速度为 0，竖直速度为 57m/s， 自 3000m 至 0m 这一运动过程为垂直于地面直线下落；因着陆点海拔为-2640m， 我们取月球平均半径为海平面， 故卫星运行至距离月面3000m即为
17、卫星处在着陆点正上空海拔359m处。在主减速段（即 15000-3000 阶段），卫星通过主发动机与姿态调整发动机的不断变化来实现减速，因卫星需要安全、稳定的减速方式2，故我们将主减速段的运动模式假设为水平和竖直方向上均为匀变速运动的类平抛运动以方便计算，具体的控制方案在问题二进行讨论。如 图 所 示 ， 卫 星 在 主 减 速 段 下 降 的 高 度 即 竖 直 运 动 距 离 实 际 为15000-359=14641（m），故卫星在主减速阶段所用时间为：t 21464157 513.68 （s）卫星在水平方向上的位移为：s 1V近t 422443.497 （m）2（6）s 422356.2
18、06 （m）根据相似三角形，可得出近月点投影相对于图中海平面点的水平距离为：由勾股定理，可得：ssin 0.24315r近月点投影到着陆点对应海平面的地面距离为：arcsino2 r 424432.37 （m）其中arcsin14360o（7）根据嫦娥三号登月直播视频3中得出的信息，卫星在整个着陆过程中飞行距离大约为 400500 公里， 时间约为 720s， 其中主减速段用时约为 7 至 8 分钟，计算结果基本与之吻合，故问题假设造成的误差基本属于合理范围.由于卫星着陆过程中是由南向北飞行，着陆轨道与西经 20 度平行，故近月点投影的位置约为西经 20 度，北纬 30 度，与着陆点地面距离为
19、 424432.337m，着陆准备轨道近日点幅角为 31 度 32 分；由此可知远月点投影位置为东经 160度，南纬 30 度。4.模型的一般性推广：考虑轨道倾角不确定的一般性情况， 即着陆准备轨道仅是其焦点与月球形心重合，这里只能确定出近月点投影与着陆点在月面上的距离，不能确定其方向，故近月点投影位置的集合为以着陆点（即 19.51W，44.12N）为轴心，着陆点对应海平面与近月点投影的直线为母线旋转与月球与表面相交而成的圆周上点的集合。下面我们计算这个圆周的轨迹方程。首先，我们以月球形心为中心，正东方为 x 轴，正北方为 y 轴建立三维坐标系，根据着陆点经纬度，可以得出着陆点在三维坐标系中
20、的向量坐标：x -rsin19.51cos44.12y rcos19.51z rsin44.12因为近月点投影位置的集合为以着陆点为轴心， 着陆点对应海平面与近月点投影的直线为母线旋转与月球与表面相交而成的圆周上点的集合， 故近月点投影-向量模值为着陆点对应海平面与近月点投影的直线长度， 与 x 轴夹角为。 设2月点投影向量旋转角为 ，可以得出月点投影向量坐标：2y 2rsincossin22z 2rsincoscos22x 2rsin2将两向量求和，可以得出近月点投影坐标；代入球面方程，得出近月点投影的轨迹方程：（sin2sinsinsincos222-sin19.51cos44.12）（3
21、cos19.51 ）（3sin44.12）1222远月点投影坐标即为近月点坐标的相反数。（二）问题二根据嫦娥三号着陆过程的六个阶段的特征， 我们将其着陆轨道和运动策略分为两个阶段进行求解:第一阶段为距地面15000m至3000m这一过程在这一过程中卫星存在水平速度，主发动机推力与竖直方向存在不断变化的角度；第二阶段为 3000m 至着陆这一过程这一过程中卫星的水平位移我们将其假设为全部由姿态调整发动机完成，主发动机只提供竖直向上的推力。这一过程我们又将其分为三个阶段，即以 57m/s 的速度由 3000m 运动至 100m 悬停这一阶段、100m悬停至 30m 悬停这一阶段和 30m 至着陆这
22、一阶段。 1.距地面 15000m 至 3000m 卫星运行轨道和最优策略分析：以月球形心为原点建立极坐标系，给出卫星在该极坐标系下的动力学方程4：d V法V横d2gV横V法 -2AsinddV法V横V横 -Acosd(7)其中，主发动机推力加速度A（t）Fm-amt。(9)卫星在极坐标系上各物理量的示意图如下：图 3卫星极坐标形式的动力学方程物理量示意图下面给出卫星在这一过程中的初始状态和终止：V法 0V横 V近d r 15000初始状态V法 57m/sV横 0d r 359终止状态我们将最优控制策略的评判标准定义为燃料消耗的多少，即在保障安全着陆的前提下， 只以燃料消耗最少作为选取最有控制
23、策略的目标；下面给出燃料消耗的计算公式：FFJ dt t末0I gISPgspt(10)关于最优控制策略的选取，我们采用遗传算法进行求解将卫星的时间变量 t、推力幅值变量 F 和推力方向角作为优化参量； 将卫星在初始和终止时刻动力学方程中 4 个物理量的状态和推力幅值的范围作为约束条件；优化参量数n=3，种群规模 N=20，优化参数交叉概率为 0.6，编译概率为 0.05，进化次数为 10000，通过 matlab 进行计算，具体步骤如下：（1）初始化：根据约束条件随机生成 N 个个体作为初始种群，将其按浮点数编码原则排列；（2）个体评价：计算种群中各个个体的适应度，选择出其中适应度满足条件的
24、个体进行遗传；（3）交叉运算：将选出的个体随机配对，根据交叉概率进行运算；（4）变异运算：对交叉运算产生的个体，根据变异概题率进行运算；（5）终止条件判断：判断由变异运算产生的个体是否满足收敛条件，若存在满足条件的个体则输出最优解并终止算法，否则重复步骤（2）-（5）.遗传算法程序设计结果图：图 4遗传算法 matlab 程序运行结果图计算结果如下：在最优控制策略下，这一过程的燃料消耗 J 为 945.128kg，飞行时间t=473.135s， 推力方向角， 卫星距月球形心距离 d， 法相速度V法和横向速度V横的变化情况示意图如下：推力方向角卫星距月球形心距离 d横向速度V横法向速度V法图 5
25、 推力方向角、卫星距月球形心距离、横向速度和法向速度变化图 2.距地面 3000m 至 100m 卫星运行轨道和最优策略分析：在这一运动过程中， 由于我们假设卫星的水平位移均是由姿态调整发动机完成的， 故这一运动过程包括后面的运动过程均可看做竖直方向上的运动，所以我们可以得出卫星的水平速度为 0，推力方向角为/2。沿用第一阶段的计算方法， 首先给出这一阶段卫星在极坐标下的动力学方程、初始状态和终止状态：d V法V法 -gA2d(11)极坐标下的动力学方程V法 57m/sd r 359初始状态V法 0d r -2541终止状态将卫星的时间变量 t 和推力幅值变量 F 作为优化参量； 将卫星在初始
26、和终止时刻动力学方程中 2 个物理量的状态和推力幅值的范围作为约束条件； 优化参量数 n=2，其余参数不变，通过 matlab 进行计算，结果如下：在最优控制策略下， 这一过程的燃料消耗J为41.874kg， 飞行时间t=98.368s，卫星距月球形心距离 d 和横向速度V横的变化情况示意图如下：卫星距月球形心距离 d横向速度V横图 6 卫星距月球形心距离和横向速度变化图 3.距地面 100m 至 30m 卫星运行轨道和最优策略分析：这一运动过程与上一运动过程基本相似， 仅卫星的初始和终止状态发生改变：V法 0d r -2541初始状态V法 0d r -2611终止状态优化参量与算法参数不变，
27、约束条件根据初始和终止状态进行调整，通过matlab 进行计算，结果如下：在最优控制策略下， 这一过程的燃料消耗J为2.031kg， 飞行时间t=13.529s，卫星距月球形心距离 d 和横向速度V横的变化情况示意图如下：卫星距月球形心距离 d横向速度V横图 7 卫星距月球形心距离和横向速度变化图 4.距地面 30m 至 0m 卫星运行轨道和最优策略分析：这一运动过程中距地面 30m 至 4m 与前两个运动过程一致，其卫星初始和终止状态变为d初 r-2611d终 r-2637，V法不变，通过 matlab 进行计算，结果如下：在最优控制策略下， 这一过程的燃料消耗J为1.376kg， 飞行时间
28、t=7.838s，卫星距月球形心距离 d 和横向速度V横的变化曲线如下：卫星距月球形心距离 d横向速度V横图 8 卫星距月球形心距离和横向速度变化图在距地面 4m 至 0m 这一阶段，卫星由静止做自由落体运动，主发动机关闭，故不消耗燃料；这一过程的时间为：t 2d 4.925 （s）g（12） 5.结论分析：将上述 4 个阶段分别得出的燃油消耗和飞行时间进行求和，得出：J总 990.409 （kg） t总 597.795 （s）将各个阶段的燃油消耗与飞行时间相除， 得出各个阶段燃油的消耗率，通过对比，第一阶段的燃油的消耗率明显高于其他阶段，第二阶段次之，这是由于在主减速段需要较大的推力使得卫星
29、速度能够快速下降， 故使用较小的推力可以有效地减少燃油消耗的速率，但会导致推力作用时间的增长。将第一阶段得出的飞行时间与问题一得出的主减速段飞行时间作对比， 二者相差 40.545s，故在问题一的假设前提下误差率为 8.569%。（三）问题三：着陆轨道的误差分析 1.导致误差产生的因素归纳：（1）卫星水平位移所消耗燃料对卫星总质量的影响：由于卫星制动燃料是统一的，不存在不同发动机使用不同种燃料的情况，故由姿态调整发动机导致的水平位移所消耗的燃料同样会导致卫星总质量的变化。（2）数据量级差异导致运算过程中产生的误差：在数据状态变量的量级存在显著差异的情况下，由于计算机运算的过程中所有数据精确度一
30、致，所以会导致一些量级较大的数据有效位数的丢失，从而导致计算过程产生误差。（3）卫星悬停过程持续的时间长短导致燃料消耗的变化：在着陆过程中，卫星一共经历两个悬停阶段，期间对降落环境进行拍摄和数据处理；在问题二中，我们假设卫星在悬停点不做停顿，仅在悬停一瞬间竖直速度为 0。（4）月球自身运动及其对卫星引力变化对卫星着陆轨迹的影响：在问题二中， 我们假设月球为一静止的球体，并且忽略了随着卫星与月球形心距离的变化月球引力常量的改变；在实际过程当中，月球的自身运动会导致卫星受到的引力产生细微变化， 月球引力常量的改变会使卫星所受重力的变化更加复杂。 2.各个因素所产生误差的分析计算：（1）卫星水平位移
31、所消耗的燃料导致的误差计算：在卫星的着陆过程中， 不考虑主减速段，完全由姿态调整发动机控制水平运动的阶段为粗避障段和精避障段.期间在卫星通过光学敏感成像与高分辨率三维成像的过程中， 因为路面的不定性会导致悬停时间不定项，所以能在粗避障阶段进行与精避障进行匹配，这样能减少悬停时间，并使不定性减小，我们通过MALTAB 编程把附件三和附件四中的高程图进行匹配，迅速找出合适着陆点，减少悬停时间并节省燃油消耗，同时加大落地的安全可靠性。程序结果图如下：图 5高程图图片匹配 matlab 运行结果图卫星在精避障过程中，卫星对距离月面 100m 处的数字高程图做数据处理，选出最适合的着陆点.我们将附件四导
32、入到 matlab 中，将其转化为 10001000的高程矩阵； 将矩阵分割为 100 成 100 的形式， 对分割后的每一个子矩阵求其方差，找出其中方差最小的子矩阵，即为卫星最适合的着陆点；计算结果为距离月面 100m 处的数字高程图中心点右侧 20m，上侧 16m， 面积为 1 平方米的正方形区域。卫星在避障过程中的水平移动， 其驱动的姿态调整发动机的比冲未给出，但其水平位移的范围大致在 2km 以内， 若假设姿态调整发动机的比冲与主发动机相同， 由于月球表面几乎不存在气体，卫星的水平移动只需要通过姿态发动机给予其一个初速度，并在移动结束时减速，这一过程所消耗的燃料相对很少，对最终结果产生
33、的误差相对不大。（2）数据量级差异导致运算过程中产生的误差分析：对问题二中的所有数据做归一化处理之后， 按照问题二的计算方法重新计算，分别得出每一段过程的计算结果与整个过称总的结果，性能指标公式如下：J Ft末Isp（13）与归一化之前相比， 飞行器消耗燃料与指标 g 无关。 由于在卫星着陆的过程中，卫星与月球表面的距离时刻在变化，重力加速度也时刻在变化，在上述求解过程中，虽取了各个不同距离的重力加速度的平均值，但是结果仍然存在误差。在作归一化处理之后，公式中不存在含误差的变量 g,因此所得出的燃料消耗数值也更为精确。归一化后，通过遗传算法得出的结论为：J总 993.426kg故由该因素所造成
34、的误差的误差率为：|J总-J总|P 100% 0.304%J总（14）（3）卫星悬停过程以及持续的时间长短导致燃料消耗的变化产生的误差计算：根据嫦娥三号登月直播视频3中得出的信息， 卫星在距地面 100m 处做第一次悬停的持续时间为 30s；在距地面 4m 处做第二次悬停时仅是速度为零，不做持续停顿.故先给出悬停阶段主发动机推力公式：F （m-amt）g（15）根据比冲的定义式，卫星悬停阶段所消耗燃料为：（m0-amt）gm 23.357(kg)0vsp30（16）加入悬停阶段后得出的最终结论为：J总1012.621 （kg）P 2.304% (4) 月球自身运动引起的着陆点的误差:月球在绕地
35、球公转的同时进行自转，周期 27.32166 日，经计算，在卫星软着陆的过程中，597.795s 的时间之内，月球自转角度约为 0.091，即卫星最终着陆点沿西经方向偏离预定轨道 2.1713km。 3.各个因素的敏感性分析：在误差分析中，我们可以看出卫星水平位移与月球自身运动对卫星着陆控制的优化指标影响很小，故这两个因素所造成的误差率很低，即其对卫星着陆控制的优化指标的敏感性相对很低；数据量级差异所造成的误差率为 0.304%，卫星悬停过程所造成的误差率为 2.304%，故卫星悬停过程对卫星着陆控制的优化指标的敏感性相对较高， 在卫星着陆轨道的实际规划中需要尽量加快卫星对三维图像的处理速度，
36、减少悬停时间 从而减少燃料的消耗。六模型优缺点及推广1.问题一：（1）模型假设合理，得出的初步结论与实际情况相符，并通过问题二中、得到的最优控制策略对结论进行误差分析；（2）针对不同着陆准备轨道的情况给出了一般性结论，具有一定的推广型；（3）模型不能直接给出卫星的着陆轨迹，需要通过问题二得出的最优控制策略进行进一步优化；2.问题二：（1）使用遗传算法可以相对准确地查找到最优解，更加适合优化参量较多的情况；（2）仅仅将燃料消耗的尽可能小作为单一的优化目标，没有考虑诸如卫星实际可承受加速度、时间优化等方向；3.问题三：（1）考虑并分析了所有可能导致误差的因素，并对各个因素造成的误差做了客观的定量分
37、析；（2）有些导致因素的误差计算过于复杂与深奥，只能做适当的定性分析；七参考文献1孔祥远、李建成等，地心与月心引力常数及月球形心与质心的确定J-大地测量与地球动力学，P109-P114，2006.5，Vol.26，No.2；2刘林，王歆，月球卫星轨道力学综述J-天文学进展，P281-P288,2003.12，Vol.21，No.4；3中国中央电视台， “嫦娥三号”登月之旅直播特别报道，2013.12.15；http:/ matlab 实现，北京：清华大学出版社，2011.9.八附录：问题二遗传算法求最优控制策略程序设计子程序：function pop=initpop(popsize,chrom
38、length)popsize=20;chromlength=10;pop=round(rand(popsize,chromlength);function pop2=decodebinary(pop)px,py=size(pop);for i=1:py pop1(:,i)=2.(py-1).*pop(:,i); py=py-1;endpop2=sum(pop1,2);function pop2=decodechrom(pop,spoint,length)pop1=pop(:,spoint:spoint+length-1);pop2=decodebinary(pop1);function obj
39、value=calobjvalue(pop) temp1=decodechrom(pop,1,10);x=temp1*10/1023;objvalue=10*sin(5*x)+7*cos(4*x);function fitvalue=calfitvalue(objvalue)global Cmin;Cmin=0;px,py=size(objvalue);for i=1:pxif objvalue(i)+Cmin0 temp=Cmin+objvalue(i);else temp=0.0;end fitvalue(i)=temp;endfitvalue=fitvalue;function newp
40、op=selection(pop,fitvalue)totalfit=sum(fitvalue);fitvalue=fitvalue/totalfit;fitvalue=cumsum(fitvalue);px,py=size(pop);ms=sort(rand(px,1);fitin=1;newin=1;while newin=pxif(ms(newin)fitvalue(fitin) newpop(newin,:)=pop(fitin,:); newin=newin+1;else fitin=fitin+1;endendfunction newpop=crossover(pop,pc)px,
41、py=size(pop);newpop=ones(size(pop);for i=1:2:px-1if(randpc) cpoint=round(rand*py); newpop(i,:)=pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py); newpop(i+1,:)=pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py);else newpop(i,:)=pop(i); newpop(i+1,:)=pop(i+1);endendfunction newpop=mutation(pop,pm) px,py=size(pop); newpop=ones(
42、size(pop);for i=1:pxif(randpm) mpoint=round(rand*py);if mpointbestfit bestindividual=pop(i,:); bestfit=fitvalue(i);endend主程序： clf popsize=20; chromlength=10; pc=0.6; pm=0.005; pop=initpop(popsize,chromlength); for i=1:10000 objvalue=calobjvalue(pop);fitvalue=calfitvalue(objvalue); newpop=selection(p
43、op,fitvalue); newpop=crossover(pop,pc); newpop=mutation(pop,pc); bestindividual,bestfit=best(pop,fitvalue); y(i)=max(bestfit); n(i)=i; pop5=bestindividual; x(i)=decodechrom(pop5,1,chromlength)*10/1023; pop=newpop; end fplot(x*473.135/(2940*1.632),0 10) hold on plot(x,-y,r*) hold off问题三误差分析优化匹配图程序设计：
44、clear;clc;reference_img=imread(附件 3 距 2400m 处的数字高程图.tif);%提取原始图片作为基准target_img=imread(附件 4 距月面 100m 处的数字高程图.tif);%要求进行匹配的图像subplot(2,3,1);imshow(reference_img);title(原始图像);subplot(2,3,2);imshow(target_img);title(目标图像);Ix,Iy=size(target_img);x=160,103,102,209;y=116,246,160,299;u=87,35,34,141;v=21,151
45、,66,204;Px=polyfit(x,u,1);Py=polyfit(y,v,1);for i=1:Ix for j=1:Iy m=i*Px(1,1)+Px(1,2); n=j*Py(1,1)+Py(1,2); m_integer=floor(m); n_integer=floor(n); m_decimal=m-m_integer; n_decimal=n-n_integer;if(ge(m_integer,Ix)|ge(n_integer,Iy)|lt(m_integer,0)|lt(n_integer,0)|m_integer=0|n_integer=0) result_img(i,
46、j)=0; result_img3(i,j)=0; else result_img(i,j)=target_img(m_integer,n_integer);result_img3(i,j)=(1-m_decimal)*(n_decimal*target_img(m_integer,n_integer+1)+(1-n_decimal)*target_img(m_integer,n_integer)+m_decimal*(n_decimal*target_img(m_integer+1,n_integer+1)+(1-n_decimal)*target_img(m_integer+1,n_int
47、eger); end if result_img(i,j)=0 result_img2(i,j)=reference_img(i,j); else result_img2(i,j)=result_img(i,j); end if result_img3(i,j)=0 result_img4(i,j)=reference_img(i,j); else result_img4(i,j)=result_img3(i,j); end endendsubplot(2,3,3);imshow(result_img,);title(未插值图像匹配);subplot(2,3,4);imshow(result_img2,);title(未插值图像匹配组合)subplot(2,3,5);imshow(result_img3,);title(双线性插值后图像匹配);subplot(2,3,6);imshow(result_img4,);title(双线性插值后图像匹配组合);