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1、全国数学建模赛 A题获奖论城市表层壤重属污染分析摘要本旨在对城市壤地质环境的重属污染状况进分析，建模型对属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进有效的描述、评价和定位。对于重属空间分布问题，先基于克插值法，应Surfer 8软件对各数据点的分布情况进模拟，得到了直观的重属污染空间分布图形；随后，分别内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重属的污染程度进了评判。对于属污染的主要原因分析问题，基于因分析法、问题的结果和对各个属污染物的来源分析等因素，判断出属污染的主要原因有：业产、汽车尾排放、油加并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同属的污
2、染贡献率。针对污染源位置确定问题，我们建了两个模型：模型以流程图的形式出现，基于污染传播的般规律建模型，求取污染源范围，模型作更倾向于确定污染源的位置；模型基于最乘法原理，建了拟合次曲程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进了评价，同时建了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从反映了地质的演变。综上所述，本模型的特点是从简单的模型建起，强更准确的数学模型发展，逐步达到标期望。关键词：重属污染，克插值最乘法因分析流程图、问题重述问题背景随着城市经济的快速发展和城市的不断
3、增加，类活动对城市环境质量的影响显突出。对城市壤地质环境异常的查证，以及如何应查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究类活动影响下城市地质环境的演变模式，益成为们关注的焦点。评价和研究城市壤重属污染程度，讨论壤中重属的空间分布，研究城市壤重属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市态环境良性发展，有利于类与然和谐，也有利于类社会健康和城市可持续发展1。按照功能划分，城区般可分为活区、业区、区、主道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受类活动影响的程度不同。现对某城市城区壤地质环境进调查。为此，将所考察的城区划分为间
4、距1公左右的格区域，按照每平公1个采样点对表层（010 厘深度）进取样、编号，并GPS记录采样点的位置。应专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另，按照2公的间距在那些远离群及业活动的然区取样，将其作为该城区表层壤中元素的背景值。标任务(1) 给出8种主要重属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重属污染的主要原因。(3) 分析重属污染物的传播特征，由此建模型，确定污染源的位置。(4) 分析所建模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进步探索怎样利收集的信息建模型及解决问题。、 模型假设1
5、）忽略地下矿源对污染物浓度的影响；2）认为海拔对污染物的分布较，故只在少数模型中讨论其作； 3）认为题中的采样式是科学的，能够客观反映污染源的分布。三、 符号说明第问中的符号说明i p 污染物i 的环境污染指数 i C 污染物i 的实测值 i S 污染物i 的背景值max (/)i i C S 壤污染指数的最值 (/)i i avg C S 壤污染指数的平均值i x i 区域壤的平均值max()i x i区域壤评价因素上限 min()i x i区域壤评价因素下限问题三中模型的符号说明,x y z 采样点空间坐标值 q 所在功能区L 污染源 C 浓度 R 基准半径rr 污染源范围半径 问题三中模
6、型的符号说明,x y 采样点坐标值 Z 浓度 C 模型系数 Q 总误差 问题四符号说明t 城市历史时间统计值()it Y 第i 种元素在t 时刻的污染浓度；（i=1,2,8,依次代表As 、Cd 、Cr 、Cu 、Hg 、Ni 、Pb 、Zn ）ilV 第i 种元素在液态载体中的迁移量；igV第i 种元素在态载体中的迁移量；isV第i 种元素在固态载体中的迁移量；()igt 、()il t 、()ist 第i 种元素在、液、固三种状态下在t 时刻的加权值()N t 其他因素四、 模型的建与求解问题4.1.1 属元素在该城区的空间分布针对题中对于地理坐标的要求，我们选Surfer 8软件对各数据
7、点的分布情况进直观的图形求解。先将数据采集进该软件，接下来对数据点进格化处理。在这我们采的是克（Kriging ）插值法。该插值法是种地质统计格化法。它先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布，确定对个待插值点有影响的距离范围，然后此范围内的采样点来估计待插点的属性值。由于它考虑了采样点的形状、及与待估计地段相互间的空间位置等集合特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、偏和最估计差的估计，对每个采样点赋予定的系数，最后加权平均来估计块段品位的法。 2同时由于克插值法是种光滑插值法，相对于多元回归插值法以及最曲率插值法等其他插值法在解决像本题这类数据点较多的问题内插的结果可信度较，且在空间问题上
8、具有合理的解决式，所以采该插值法。最后进制图和统计，具体法如下：（1）利该软件的地图中的等值线图和线框图功能制作出属浓度地理分布图；（2）综合等值线图及线框图对重属浓度区域进标注，分别求出其维坐标范围；（3）从统计数据中分理处该范围内的取样点数据，得到该城区8种主要重属元素在该城市的空间分布。图1 各取样点的As 含量分布图以上为各取样点的As 含量分布图（其余元素分布图见附件1），通过分析可得该元素主要分布在如下三个区域：（1）3703以上组合图形，弥补了中略去的统计数据，另也更为直观的显出了重属元素浓度范围区域。为接下来浓度划分区域提供了直接的依据。、Cd 、Ni 、Pb 的变异系数均较，
9、变异系数超过100 % ；Cr 达76% ，均达强变异程度，说明壤中Zn 、Pb 、Cd 、Hg 受外界扰较明显，空间分异较；其余元素的变异系数为27%-58% 之间，变异强度属中等，说明它们受外源影响相对轻微或更普遍更均匀。 412 污染指数模型这我们先采壤重属的单项污染指数评价法，在此基础之上采内梅罗综合污染指数法并参照壤污染平分极标准国家级标准（GB15618-1995）。其中i p 为污染物i 的环境污染指数，i C 为污染物i 的实测值，i S 为污染物i 的标准值，max (/)i i C S为壤污染指数的最值，(/)i i avg C S为壤污染指数的平均值。单项污染指数模型：内
10、梅罗综合污染指数：将各个功能区的内梅罗综合污染指数计算出来的值见表3综合污染指数可分为以下等级：（1）综合污染指数 3 为重污染；（2）综合污染指数 2-3 为中污染；（3）综合污染指数 1-2为轻污染；（4）综合污染指数 为警戒级；（5）综合污染指数 为安全级。从表中我们可以直观的看到，五个功能区的环境污染都分的严重，最轻的也为轻度污染，交通区和业区的污染尤其严重所有元素都为，居民区的铅和锌污染很严重，区的污染程度最轻。但是这组数据评判标准有些问题：某些污染指数如Hg 超标分严重，超出标准百倍且在区也为重污染，这不禁使我们感到这套评价体系很可能并不使于该地区的壤环境评估。对此，我们引模糊评价
11、标准和模型，并以Hg 为例说明其使数据的评价作更符合实际。4.1.3 壤环境标准属函数模型壤清洁度的属函数:其中i x 为i 区域壤的平均值，max()i x为i 区域壤评价因素上限，min()i x 为i 区域壤评价因素下限。其中max()i x和min()i x 可由国家评价标准结合本题的背景数据共同完成。以Hg 为例，其国家标准见表4改为我们的背景值，同时，为了更加清晰的看到各区的污染程度，我们采五级标准制，见表 5Hg 壤环境标准属函数：为清洁，较符合我们的实际情况。同样的法，我们求的了其他七种元素的污染等级，见表7的建有所帮助。问题对于问题，意在说明重属污染的主要原因。4.2.1基于
12、因分法判断重属污染的主要原因多变量研究中，由于变量的个数很多，并且彼此往往存在定的相关性，因此使观察的数据反映的信息在定程度上重叠。因分析则是通过种降维法进简化得到综合指标。综合指标之间既互不相关，能反映原来的观察指标的信息。因分析从变量的相关矩阵出发将个m 维的随机向量X分解成低于m个且有代表性的公因和个特殊的m维向量，使其公因数取得最佳的个数，从使对m维随机向量的研究转化成对较少个数的公因的研究。3题中壤单点样重属元素含量的数据特征完全符合因分析的要求，在这以 Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn种重属元素指标作因分析，这样在解释各指标变化异常时可以着重讨论综合指标因，同时为题中
13、重属污染成因的解释提供定的理论依据。下对各功能区壤采点样重属元素含量的数据标准化处理后，经 for windows统计软件进因分析，可得出以下结果。1）给出题中表层壤Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn种重属原始含量数据的相关系数矩阵。表8 相关系数矩阵表中可见，Ni和Cr的相关系数最，为，相关性最好，从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有定的关联。其原因肯能是：1.业产的相互关联性，镍和铬合是业上常的合。2.考虑到表7中区也含有很浓度的镍，可以推断该城区富含镍矿，对镍矿的开采和镍铬合的冶炼是其污染的主要原因。其次为Pb和Cd，相关系数为0660，这确实出乎我们的意料，
14、因为般镍镉合出现在起较多，但了解了Pb和Cd的物理性质后，我们不难发现这两种属的些共同点：1.它们都泛于蓄电池的制造且易于以态的式进传播2.它们都是业废的主要组成部分4 。所以推断其污染原因是业废的排放。另外，我们从表7中可以看到Pb的污染等级很平均，那是因为像铅在油中含量很，故在业区中其污染原因是油能源的燃烧与化产品的产；汽车也以油为动源，故在交通区，其也有泛的分布；化产品的使，活区的铅含量有时会很，这在附件数据中也有反映，铅的最浓度出现在活区。以下依次是Cr和Cu，Pb和Cu，相关系数分别为，其它元素之间的相关性并不是很好。2）利相关系数矩阵求出相应的因的特征值和累计贡献率，见表9表9 特
15、征值和累计贡献率从表中可见，在累积差为 (85 )的前提下，分析得5个主因，可以看到5个主因提供了源资料的信息，满因分析的原则。从上表可以看出旋转前后总的累计贡献率有发变化，即总的信息量没有损失。且，表中显旋转之后，主因 1和主因2的差贡献率均为22左右，主因2到主因5的差贡献率的范围为到之间。这可以解释为因1和因2可能为本市壤重属污染的最重要的污染源，从推测出属污染的原因主要是本市重属污染的贡献最，因3、因4、因5对本市重属污染有重要作。从上分析和下的因组成可知因1和因2主要是业污染和交通废污染，故更加确定了污染原因。 3）因的相关分析因分析的主要的是将具有相近的因荷载的各个变量置于个公因之
16、下，正交差最旋转使每个主因只与最少个数的变量有相关关系，使够多的因负荷均很，以便对因的意义作出更合理的解释。输出结果见表。表10正交差最旋转后的矩阵基于旋转理论：变量与某个因的联系系数绝对值(载荷)越，则该因与变量关系越近。正交因解说明：因1为Cr 、Ni 和Cu 的组合，这说明这种壤重属污染物可能是同来源或相似来源；因2为Cd 和Pb 的组合表明两者可能有相似的来源；因3为Hg ；因4为As ；因5为Zn 。这，我们对Hg 的污染原因作出分析。Hg 在壤的污染严重，污染区域多处于某业区或某型污染企业，其来源较单，废和废是其污染的主要来源。56来源重属矿产开采、冶炼、加排放的废、废和废渣Cr
17、Hg As Pb Ni Mo煤和油燃烧过程中排放的飘尘Cr Hg As Pb 电镀业废Cr Cd Ni Pb Cu Zn 塑料、电池、电业排放的废Hg Cd Pb Ni ZnHg 业排放的废Hg 染料、化制业排放的废Cr Cd 汽车尾 Pb 农药、化肥As Cu Cd4.3.1 模型综述对于问题的第三问我们主要采取了两个模型：是以全体坐标为研究对象，通过假设污染源来进较和检索，从确定污染源的范围。是以第问中的图像和污染源范围为基础，利已经筛选了的数据，基于最乘法的原理，作出其污染源的标函数，直接求出污染源的空间坐标。 4.3.2模型根据第问所得出的8种主要重属元素在该城区的空间分布图，以及统计
18、得出的种元素的浓度排序，先在元素浓度集中分布区选择个浓度较点(,)i i i i L x y z q，其中,x y z为其空间坐标，q 为其所在功能区，由于题中所提到的采样特点，我们可以找到其相邻的两个采样点 1111(,)i i i i L xy z q -和 1111(,)i i i i L x y z q + ，我们根据污染物扩散的基本原理，认为般情况下：污染物浓度与距污染源的空间距离成反关系，反映到所选的浓度最点上，即：我们在这设这个最初距离为1i R 。所以我们要做的第步是：若现实情况下1i i C C ，我们则保留(,)i i i i L x y z q，若不然，我们就1i C 中
19、较的点代替(,)i i i i L x y z q，并重复上的较。接着我们进第步，将1i R 中的较值赋值给R 作为基准值，其编号赋值给m 随后顺藤摸，找到另个与1111(,)i i i i Lx y z q 相邻的采样点1111(,)m m m m L x y z p ，计算它与(,)i i i i L x y z q的距离r 。在第三步中，我们对R 与r 进较，若R r 1m C ，则将1m 赋值给m ，r 的值赋值给R ，继续顺藤摸。若m C 1m C ，我们则考虑这可能是个意外因素，如1m C 处的地势较低或是顺风区等等，仍将1m 赋值给m ，r 的值赋值给R ，继续顺藤摸；若i C
20、，则直接对1m C 和i C 进较，若i C 1m C ，则则将1m 赋值给m ，r 的值赋值给R ，继续顺藤摸，若不然则重复第步中有关置换浓度最点的法。第四步中，我们要对这个循环算法选个终条件，在参照了第问图中污染物聚集区的体范围后，我们以 3i m -，即以个在其相邻上下三个采样点中浓度保持递减的采样点为污染源范围基准点。同时，我们以 rr 为半径来划定污染源的范围。下，我们个流程图来形象的描述我们的求解过程：图3 流程图（见下页）由于要输投的数据量较，在这，我们仅以As 为例作出其污染源范围，相关程序附于附件上。所得到的污染源范围是以（74，781，5）为原点，以1042m 为半径的区域
21、范围。4.3.3 模型我们建这个模型的基本思路是：依照各元素的浓度与坐标点的关系，利最乘法拟合曲程。同时，通过对所求的曲程求极值，得到的极值点可以在空间上反映重属元素的分布，另可结合极值点附近的元素浓度分布，来判断污染源的位置。1.曲程的规范化形式及其系数本题中，我们采次曲程表各浓度与坐标点的关系。次曲程可表为 7201102100100,00222()i j i i j i j i jZ C x C xy C y C x C y C C x y -=+= ，2.曲程的拟合对于给定的组数据点k k ,y ,z k（x ），k=1,2,N，求作m 次(m=N)多项式使总误差为最。这Q 可看作是关
22、于Cij (i,j 0,1,m)=?的函数，共有(m+1)(m+2)/2个未知量ij C ,所以上述拟合多项式的构造问题可以归结为求多元函数的极值问题，即i,j-i C 应满,0i j iQC -?=?，因得化简并交换求和符号后得，100i,j-i 1C N k N I J I J j I i I i k k k k k j m i j k x y z x y =?-+-+=8本题中以Cu 元素为例，在其空间分布图的基础上，缩范围拟合其浓度与坐标的关系。（1）求出坐标x 、y 、四次对应的值（见附录）；（2）计算z 与坐标x 、y 平的乘积（见附录）；（3）列出包含6个未知系数的程组，利mat
23、lab 求解出的系数为： C=+003 *即所拟合的次曲程为：221.0e 003*(0.77760.20400.1115 3.5721 1.80030.0071)Z x xy y x y =+-+-+对于污染源，我们可以考虑对曲程求极值，相当于对221.0e 003*(0.77760.20400.1115 3.5721 1.80030.0071)Z x xy y x y =+-+-求极值。也即22min 0.77760.20400.1115 3.5721 1.8003Z x xy y x y =-+（忽略了共同例和常数项）问题四4.4.1模型的优缺点在此我们针对第三问中的模型进评判。对于模型
24、，其优点是： 1)层次分明，易于理解； 2）覆盖的数据全；3）考虑因素全，如考虑进了海拔的影响。其缺点是：1）数据量，输繁琐枯燥；2）污染源表为以采样点为中的圆形区域，法精确到点。对于模型，其优点是： 1）数学模型清晰；2）可以将污染源确定到点，进步缩了污染源范围； 3）数学原理明确；4）需要处理的数据量。其缺点是：1）所取的拟合点有限，且模型不可能通过所有采样点； 2）忽略了海拔对采样点的影响。对于这两个模型，由于受资料的限制，法讨论污染源扩散与时间，天，温度的关系。 4.4.2地质环境演变模型研究城市地质环境的演变环境先要对该城市在不同时期内的陆分布有初步的坐标定位以便作出较。从壤分类上可
25、分为饱和壤和饱和壤。饱和壤的意思是壤中所有孔隙全部充满。般情况下，壤都是出于分不饱和状态的。只有在淹渍条件下，才会出于分饱和状态。所以假设城市壤绝部分为饱和壤。将壤视为饱和多孔介质 , 描述饱和多孔介质中多种迁移场量耦合的热质迁移机制, 与污染物在壤中对流- 弥散迁移规律相结合, 并且考虑壤固体架对重属污染物吸附的影响因素, 建相关的数学模型.得出有益的结论.总体上，可以将壤中重属迁移式分为以下种：1）壤中迁移 2）流中迁移 3）中沉降及降。以上三种形式中重属分别是夹杂在液固三种形式的载体上被壤吸附。第步，根据性质建程：（1）连续性程饱和壤中, 存在液相的蒸发或蒸汽的冷凝, 因在连续性程中出现
26、蒸发率或冷凝率m ?；混合体中包含空和蒸汽; 蒸汽的迁移是在整体体迁移gV 上，叠加了蒸汽的扩散运动VV，从呈现gVV V+液相：()()llNll lm V +=-?:； （1）混合体：()()ggNgg gm V +=-?:； （2）蒸：()gVg V g V N m V V+=? ?:； （3） （2）动量程在饱和壤中, 液相流动受到细抽吸、Darcy 阻和重的作; 将孔隙中的空和蒸汽看作为理想混合, 不仅考虑混合的整体迁移, 且也考虑蒸汽相对于空的扩散运动, 混合体除了受到相压差、黏性、重作外, 还要克服固体架对它的达西阻。1）液相：2._gl lllll l l llg l llgl
27、 l m g g g D V g N V N V V V V VN V K K K ?+-=-+- ? ?:-（4）2）相：2._ggggg g g V lglgggg g gmg g V P g N V V N V V V V V V N V K K?+=-+- ? ? ?:（5）（3）蒸汽扩散程在蒸汽随空迁移的同时, 由于温度梯度和湿分的变化, 引起蒸汽相对于空的扩散，因此蒸汽迁移的速度应为者的迭加值,即:,Vg V dTV LV l V dV V V N NT D D V=+=-:（6）（4） 能量程固、液三相处于局部热学平衡态, 即有: T = T l = T g = Ts ,建能量平
28、衡程如下:（7）在以上程中, 下标l 、g 、v 、d 、m 分别表液体、体、蒸汽、空和表观量;T 、P 、V 分别表温度、相含量、压和速度量; 量、压和速度量; ,V dV为蒸汽相对于空的扩散速度; 这体压采分压不分容的原理, p c、v 分别表定压热容、密度和运动黏度; 、g、g 分别表时间、重加速度和重量;vD、l D 、l K 、g K 、m分别表蒸汽向空的质扩散率、液向多孔架的扩散率、饱和导率、饱和导率和表观导热系数; TV D 、LV D 分别为温度梯度和湿分梯度引起的蒸汽扩散运动的扩散系数。（5）重属污染物在壤中的对流- 弥散-吸附程重属污染物在壤中的迁移受壤中液态流体流动即对流
29、、污染物在壤中的扩散 , 以及壤中固体架对污染物吸附的影响. 综合以上因素, 建以下对流- 弥散- 吸附程:2222111sCXCYsq C C C C C u vc D D y x x y+=+-（8）壤中重属污染物在壤固体架和壤溶液中的吸附平衡程:1sq bc q bc=+ （9） 将吸附平衡程( 9)结合于程( 8)中, 得出:()()()()()2222/21/11CXCYlls s s yy Cx Cu C x v C D D C q b bC+-=+-+ ?（10）在以上程中, C 为重属污染物在壤溶液中的浓度; CXD、CYD分别是溶液中的重属污染物在平向和竖直向的扩散系数;q
30、、s q 、s 分别表重属污染物在壤固体架上的吸附量、最吸附量和壤固体架的相对含量; b 为吸附常数;lu、lv 分别是壤中液相流体在平向和竖直向的速度; x、y 分别为平和竖直向的坐标。本题中可以将壤视为饱和壤, 以Philip 和deV ries 、Whitaker 、Lu ikov 3种理论为基础, 结合了污染物在壤中对流- 弥散-吸附特性, 建了描述重属污染壤的热质迁移数学程. 程组( 1) ( 7),以及程( 10)共有8个程, 含有8个物理场量（T 、P 、l、lV 、gV、vV、m ?、C ），故程组封闭, 具有可解性。9第步，建污染特性程参数说明：t:城市历史时间统计值()it
31、 Y ：第i 种元素在t 时刻的污染浓度；（i=1,2,8,依次代表As 、Cd 、Cr 、Cu 、Hg 、Ni 、Pb 、Zn ）ilV ：第i 种元素在液态载体中的迁移量；igV：第i 种元素在态载体中的迁移量；isV ：第i 种元素在固态载体中的迁移量；ilV、igV、isV与取样点和该元素污染源的三维坐标有关；()igt 、()il t 、()ist 依次为第i 种元素在在、液、固三种状态下在t 时刻的加权值，与该段时间城市的地表陆范围有关。N （t ）：其他因素，例如：重属矿由地下开采地上导致的地表重属含量变化；商业的发展导致业区及其他区域的迁移。通过均匀取样以及前三问的算法确定()
32、it Y ，进求出()igt 、()il t 、()ist 的数值，说明重属污染物的三种传播途径在不同时刻所占的重的差异，最终分析出该地区随时间变化产的地质演化。五、参考献1 Kim K Myung J H，Ahn J S ，et a1Heavy metal contamination in dusts and stream sediment in the TaejonareaJKorea J Geochemical Exploration,1998，64：409-41 92 闫昊明. Surfer8绘图指南. 2006年-06?第版3王雄军，赖健清，基于因分析法研究太原市壤重属污染的主要来源
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