全国数学建模大赛B题.pdf

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1、2 20 01 14 4高高教教社社杯杯全全国国大大学学生生数数学学建建模模竞竞赛赛承诺书承诺书我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和 全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参

2、赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致， 只是电子版中无需签名。 以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）赛区评

3、阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要摘要折叠与伸展也已成为家具设计行业普遍应用的一个基本设计理念， 占用空间面积小而且家具的功能又更加多样化自然会受到人们的欢迎，着看创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，也可以变成很有创意的桌子，就像是变魔术一样，真的是创意无法想象。这样的一个有创意的家具给我

4、们的生活带来了无限的乐趣，问题一：问题二：运用几何模型，对折叠桌平铺和完全展开后两个状态进行分析，得到各个变量之间的几何关系，因为折叠桌的设计要考虑产品的稳固性、加工方便、用材最少等方面的因素， 但产品稳固性的权重选大于其它方面， 所以优先满足产品的稳固性最好的情况， 在已知折叠桌高度和圆形桌面直径的条件下，经过实际分析得到，当折叠桌完全展开后，四个最外侧着地的桌腿构成的正方形与桌面圆形外切时，稳固性最大，由此可以通过几何关系求得最外侧桌腿的长度l，进而得到平板的最有尺寸的长度x，再通过考虑对折叠桌进行受力分析，得到钢筋的位置，距离桌脚的距离M，通过Matlab和C语言进行编程，得到每根桌腿到

5、中心的距离r和每根桌腿的开槽长度L0，问题二得以解决，结果见表 1。问题三：关键字：关键字：几何模型一、问题重述一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2 所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：1.给定长方形平板尺寸为 120cm50cm3cm， 每根木条宽 2.5cm， 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置

6、，折叠后桌子的高度为 53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4 中红色曲线）的数学描述。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、 钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70cm，桌面直径 80cm 的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件， 根据客户任意设定的折叠桌高度、 桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优

7、设计加工参数， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型， 并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。 要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。二、问题分析二、问题分析针对问题一：针对问题二：建立几何模型，得到折叠桌的高度、圆形桌面的直径、长方形平板的尺寸、钢筋的位置和开槽长度之间的几何关系，将折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最小转化为几何意义，并作为目标函数， 空间图形中的几何关系作为约束条件， 建立求解折叠桌的最优设计加工参数的数学模型。在满足几何关系的情况下，折叠桌的体积越小、开槽长度越大，则用材最

8、少；桌腿的横截面积越大、与竖直方向的夹角越小（即与地面越垂直）折叠桌的稳固性越好，承力越大；桌子的设计越简单加工越方便。 并在此理解基础上对折叠桌进行受力分析。 对于给定的具体桌高和桌面直径，运用Matlab和C语言进行求解，得到折叠桌的最优设计加工参数的确定值。针对问题三，建立合适的数学模型，使得设计的软件可根据设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 得到所需平板材料的形状尺寸和最优设计参数， 并在问题一的基础上，将桌面的形状设计为菱形和椭圆两个形状，在给出相应的设计加工参数的情况下，用Matlab做出动态变化过程的示意图。三、模型假设三、模型假设1、2、假设桌面圆形

9、边缘的小矩形的长度为 5cm3、假设只考虑折叠桌的四分之一部分进行讨论与分析（折叠桌为完全对称图形）4、假设折叠桌的厚度保值不变四、符号说明四、符号说明符号描述平板的长平板的宽平板的高折叠桌完全展开后的桌高五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解5.15.1 问题一：问题一：5.1.15.1.1 模型的建立与求解模型的建立与求解5.1.25.1.2 模型评价模型评价5.25.2 问题二：问题二：问题中要求使产品稳固性好、加工方便、用材最少，所以在满足几何关系的情况下， 折叠桌的体积越小、开槽长度越大，则用材最少；桌腿的横截面积越大、与竖直方向的夹角越小（即与地面越垂直）折叠桌的稳固性越好， 当

10、外侧四个桌腿形成的正方形与桌面圆形外切时，承力越大；桌子的设计越简单加工越方便。 并在此理解基础上对折叠桌进行受力分析。 对于给定的具体桌高和桌面直径，运用Matlab和C语言进行求解，得到折叠桌的最优设计加工参数的确定值。5.2.15.2.1 模型的建立与求解模型的建立与求解1、符号说明：D：桌面直径、平板的宽l：最外侧桌腿的长度：最外侧桌腿与水平桌面方向的夹角M：平铺时钢筋位置距桌脚的水平距离L0：任意桌腿的开槽长度L：任意桌腿长度x0：完全展开时钢筋到桌腿顶端的距离折叠桌的立体图如下：图 2.1：折叠桌的立体图平铺时的平面图如下：图2.2：桌子长方形平铺图其中，EE表示钢筋位置；ST表示

11、任意一根桌腿的位置；M表示钢筋位置到水平桌面左侧的距离；L0表示桌腿ST开槽长度；L表示桌腿ST的长度；x0表示任意桌腿ST的开槽左端到连接桌面圆的距离；则完全折叠后侧面的平面图如下：图 2.3：桌子折叠后横截面其中，AB表示水平桌面横截面；CD表示最外侧桌腿记l CD；表示水平桌面与最外侧桌腿的夹角；E表示钢筋位置，DJ表示地面；OO表示桌子中心线位置；ST表示任意一根桌腿的位置；CO、IO表示最外侧桌腿CD与桌面连接处到桌面中心线的距离；则CO IO 2.5cm。考虑到产品稳固性好，则最外侧四个桌腿够成正方形，且与桌面圆形相外切，此时有ABDDO,DI DOIO，则22其中，D表示桌面直径

12、；H表示桌子折叠后的高度；z表示桌子的厚度；x表桌子水平放置时的长度；由和可知，任意桌腿ST的开槽左端到连接桌面圆的距离为：以及钢筋位置到平铺桌面左侧的距离为：由勾股定理有：且由几何关系有：即而其中，R表示桌面圆半径的微小变化量；a表示桌面圆半径以 2.5cm 为间隔的累加。从而任意桌腿ST的长度为最外侧桌腿的受力分析：图 2.4：最外侧桌腿的受力分析其中，表示水平桌面与最外侧桌腿的夹角；点Q表示最外侧桌腿CD的中点；DE表示钢筋位置到桌脚的距离；Fx，Fy表示桌面对桌腿的作用力；F1表示地面对桌腿的支持力；F2表示钢筋对桌腿的作用力；G表示桌腿的重力；则对C点由力矩的平衡方程，有：CDGco

13、s F2(CD DE)sin F1CDcos(1)2对P点由力矩的平衡方程，有：CDFx(CD DE)sin Fy(CD DE)cos F1cos(2)2对最外侧桌腿CD由平衡条件，可得：F2 Fx(3)F G Fy1将式（3）带入式（2）中可得：3CD DE)cos(4)2由式（1）和式（4）对比（以等式左侧为例，右侧相同）可得：即G(CD DE)cos F2(CD DE)sin F1(因此，钢筋位置点E为最外侧桌腿CD的中点，即点E与点Q重合。2、当桌高H 70,桌面直径D 80时的具体求解：解得当平板长x 163.8238cm，高z 3cm，由 C 语言程序得钢管的位置距离桌脚的距离M

14、39.706cm时满足最优设计参数的要求，此时根据r的不同求得每根桌腿的开槽长度分别为：表 2.1：1/4 桌面圆边缘各桌腿上的开槽长度2.500014.142119.525623.452126.575329.154831.324933.16620.00007.650612.362116.315319.772222.830425.540227.933234.731136.055537.165238.078938.810439.370039.764940.000030.031731.852233.407834.708635.762736.576537.154537.50005.2.25.2.2

15、模型评价模型评价在模型的求解过程中，对于题目中的要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。 结合生活中的实际情况优先考虑了产品稳固性好的因素， 没有对加工方便和用材最少做出很好的诠释，会对结果造成一定的误差。 平板的高没有约束条件，故假设与问题一中的高相同，这样也会造成一定的误差。5.35.3 问题三：问题三：建立数学模型，对桌面形状分别为椭圆和菱形的设计进行作图。5.3.15.3.1 模型的建立与求解模型的建立与求解软件设计的数学模型：创意平板折叠桌的设计：椭圆的设计参数：折叠后桌面高H=80cm，椭圆的长轴长a 80cm，短轴长b 50cm，厚度h 3cm，钢筋固定在桌腿最外

16、侧木条的中心位置。由问题二的模型可求得最优平板长x 180cm用Matlab编程得到椭圆动态变化过程的示意图：菱形的设计参数：折叠后桌面高H=60cm，菱形桌面对角线c 50cm,厚度h 3cm，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。由问题二模型可求得最优平板长x 134cm用Matlab编程得到菱形动态变化过程的示意图：5.3.25.3.2 模型评价模型评价为了简化模型求解， 将钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置， 钢筋的任意性会使模型的建立完整性不足，但是最终结果还是比较准确的，用Matlab编写出来的动态图能很好的体现折叠桌折叠过程中在三维空间的立体变化，是结果更加直观和准确。六、模型评价

17、六、模型评价模型优点：模型缺点：模型改进：对桌子的合理性进行考虑，例如，保证人在坐着的时候，木条尽量不要阻挡人伸腿。七、参考文献七、参考文献编号作者，书名，出版地：出版社，出版年。编号作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。编号作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。八、附录八、附录程序程序 1 1：运行结果运行结果：程序程序 2 2：运行结果：运行结果：程序程序 3 3：运行结果：运行结果：程序程序 4 4：运行结果：运行结果：程序程序 5 5：运行结果：运行结果：程序程序 6 6：运行结果：运行结果：程序程序 7 7：运行结果：运行结果：程序程序 8 8：运行结果：运行结果：程序

18、程序 9 9：#include#include#defineN16#defineR40.07804885voidmain()inti,D=80,H=70;floata=0;doublex=163.823802,M,CD,H0;doubleSON,S0N,x0N,LN,L0N;printf(n1/4 圆上各点到直径的距离:n);for(i=0;iN;i+,a+=2.5)SOi=sqrt(pow(R,2)-pow(a-40,2);printf(ttSO%d=%fn,i+1,SOi);printf(n-nn);CD=(x-5)/2;M=CD/2;printf(钢筋到桌脚的距离:M=%lfnn,M);

19、H0=(CD-M)*(H/CD);printf(1/4 桌腿开槽长度:n);for(i=0;iN;i+)S0i=SOi-2.5-(CD-M)*sqrt(1-pow(H/CD,2);x0i=sqrt(pow(H0,2)+pow(S0i,2);Li=(x-2*SOi)/2;L0i=x0i-(Li-M);printf(ttL0%d=%lfn,i+1,L0i);printf(n+nn);printf(任一侧 1/4 桌腿每根桌腿的长度:n);for(i=0;ifn）%其 中 fn表 示 第 n根 木 条 槽 尾 到 木 板 底 边 距 离1. 1.求求 最最 外外 侧侧 木木 条条 旋旋 转转 角角

20、度度 a0a0%实 现 目 标 1L2=L1-d1;%最 外侧木条长度a0=asin(h1/L2);%得 到 a02. 2.求求 第第 n n根根 木木 条条 开开 槽槽 最最 低低 位位 置置 fnfn%实 现 目 标 2%在 两 根 钢 筋 所 在 平面 ， 以 两 根 钢 筋 对 称轴 为 x 轴 ，%两 根 钢 筋 中 点 连 线为 y 轴 ，%垂直地面向上为 z 轴方向建坐标系%n 表 示 中 间 偏 x 轴正向的木条序号forn=1:10nPnx=n*TK0%P 点 x 坐 标Pny=sqrt(R02-Pnx2)%P点 y 坐 标Pnz=h1/2%P 点 z 坐 标Qnx=n*TK0%Q 点 x 坐 标Qny=L2*cos(a0)/2+d1%Q点 y 坐 标Qnz=0%Q 点 z 坐 标PQ=sqrt(Pnx-Qnx)2+(Pny-Qny)2+(Pnz-Qnz)2)fn=L1-Pny-PQend