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1、11正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 第一章第一章第第1课时正弦定理课时正弦定理富顺一中 李其凤 珠穆朗玛峰的“身高”珠穆朗玛峰是世界最高峰，作为世界群山之首，屹立在欧亚板块和印度板块碰撞造就的喜马拉雅山脉群峰之中.200年来，人们关于珠峰高度的争论从未停止事实上，人类对珠峰的认识就是从测量其高度开始的，珠峰的历史从某种意义上来说就是一部测绘史.2005年，我国科学工作者历经艰难险阻，成功改写了世界最高峰珠穆朗玛峰的“身高”：8 844.43 m同时宣布1975年公布的珠峰高程数据8 848.13 m停止使用权威专家认为，这是迄今国内乃至国际上历次珠峰高程测量中最为精确的数据你知道吗？在每
2、次测量珠峰过程中，科学工作者们都用到一种重要的理论知识解三角形在数学发展历史上，解三角形理论是受到天文测量、航海测量和其他地理测量等实践活动的推动不断发展起来的，并被用于解决许多测量问题，在人类探索自然的实践过程中起到了重要作用本章我们就来探索解三角形的奥秘！问题提出问题提出1.1.在直角三角形中，三边在直角三角形中，三边a a，b b，c c，及锐，及锐角角A A，B B之间有怎样的数量关系？之间有怎样的数量关系？ A AB BC C a ab bc c知识探究（一）：正弦定理的形成知识探究（一）：正弦定理的形成 思考思考1 1：在在RtRtABCABC中，中，C C9090，BCBCa a
3、，ACACb b，ABABc c，则，则sinAsinA，sinBsinB，sinCsinC分别等于什么？分别等于什么？C CA AB Ba ab bc c思考思考2 2：将上述关系变式，边长将上述关系变式，边长c c 有哪几有哪几种表示形式？由此可得什么结论？种表示形式？由此可得什么结论？si nsi nsi nabcABC=C CA AB Ba ab bc c思考思考3 3： 可变形为可变形为 , 在锐角在锐角ABCABC中，该等中，该等式是否成立？为什么？式是否成立？为什么？si nsi nabAB=si nsi naBbA=C CA AB Ba ab bD思考思考4 4：若若C C为钝
4、角，为钝角， 是否成立？是否成立？若若A A为钝角，为钝角， 是否成立？是否成立？若若B B为钝角，为钝角， 是否成立？是否成立？ si nsi naBbA=si nsi naBbA=si nsi naBbA=C CA AB Ba ab bC CA AB BabDD思考思考5 5：在任意三角形中，同理可得，在任意三角形中，同理可得， , 因此有因此有该连等式称为正弦定理该连等式称为正弦定理.如何用文字语言如何用文字语言描述正弦定理？描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等弦之比相等.sinsinbcBC=si nsi nsi nabcABC=
5、知识探究（二）：知识探究（二）：正弦定理的向量证明正弦定理的向量证明 思考思考1 1：在在ABCABC中，向量中，向量 ， ， 之间有什么关系？之间有什么关系？ C CA AB Bab思考思考2 2：若若AA为锐角，过点为锐角，过点A A作单位向量作单位向量i，使，使 , ,则向量则向量i与与 , , , , 的夹角分别是什么？的夹角分别是什么？C CA AB Babi思考思考3 3：由由 可得可得什么结论？什么结论？C CA AB Babisi nsi nabAB=思考思考4 4：若若A A为钝角，上述推理过程有为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？什么变化？所得结论如何？C CA
6、AB Babisi nsi nabAB=思考思考5 5：若证明若证明 ，应如何作，应如何作单位向量单位向量i？ sinsinbcBC=C CA AcbB Bi边正弦比角几个元素其他元素在ABC中，已知A45，B30，a2，解此三角形分析利用ABC180及正弦定理可解解析根据三角形内角和定理知：C180(AB)180(4530)105.根据正弦定理，得已知两角和任一边，解三角形 点评已知三角形的两角和任意一边，这个三角形是确定的由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边答案2在ABC中，解三角形：(1)b4，c8，B30； 分析已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形会出现一解、两解、无解的情况已知两边和其中一边的对角，解三角形 点评已知三角形两边及一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况，要注意讨论答案D边正弦比 总结总结sinA sinB sinC 角几个元素其他元素作业：作业：P4 P4 练习练习 ：1, 2.1, 2.