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1、第八章第八章矩阵矩阵一 内容概述1 基本概念1 矩阵 设 p 是一个数域，是一个文字， 则称以数域 P 上的多项式作为元素的矩阵为矩矩阵的运算：加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，矩阵的秩。可逆阵，记为 A（）,B()等。2矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的等价。3行列式因子：设 m*n 的 矩阵 A()的秩为 r，对于正整数 k,1kr 在 A()中所有 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式称为 A() 的 K 级行列式因子。记为 DK().4矩阵的标准形，不变因子d1xd2x.drxr1,di()(i=1,2.r)是首项系数为1 的多项式且0.0di()|di1()(i=1,2
2、,r-1)称为 A() 的标准形。d1(),d2(),dr()称为 A()的不变因子。5)行列式因子与不变因子的关系：DK()=d1dk()=()dk()k=1,2,r.d1()=D1()DKDK1K=2,3r6)初等因子，设 A 与 n*n 矩阵，把 A 的每个次数大于 0 不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A 的初等因子。A 的初等因子和不变因子相互唯一决定。J17）若当标准形J2Ji为若当块.JS2.矩阵等价的充分必要条件：设 A与 B都是 sn 的-矩阵则 AB=PAQ=B其中 P和 Q都是可逆矩阵A与 B有相同的标准形=
3、A与 B有相同的行列式因子=A与 B有相同的不变因子3矩阵相似的充分必要条件：设 A,B 都是 n 阶方阵则=E-AE-B=A 与 B 有相同的初等因子=A 与 B 有相同的不变因子=E-A 与E-B 有相同的标准形4 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件：（1）有个线性无关的特征向量（2 2）初等因子全是一次的（3 3）最小多项式无重根5 如何求矩阵 A 的若当标准形。方法步骤；（1）利用出倒变换把E-A 化成对角形，分解主独角戏上的多项式就得到E-A 的全部初等因子（2 2）相应于每个初等因子0作出一个 m 阶若当块m（3 3）把全部若当块合起来既求得矩阵 A 的若当标准形.二 例题选讲
4、。例 1 下列 阶矩阵 是否为满秩矩阵？是否可逆矩阵？若可逆试求其逆。1（1）A=01解（1）A=00110111 1;(2)A=121322 2（2）A=-2！=0 秩A=3 但不可逆2=2!=0秩A=2 且可逆21 21A1= =1A*= =122 2亦可用初等变换法求逆。111例 2 求矩阵 A=12解； 因为222的标准形1A012221002201002001002002200所以，的标准形为 diag(1,+)0010013 求矩阵 A=000000an0an10an2的不变因子与行列式因子a21 a10解 由于 A的左下角有一个 n-1 阶子式等于非零常数从而 d1=d2=dn1
5、=1 而A=故 dn=Dn=f1n1n1故 Dn1=1n+a1+an1+an=f例 4 证明 A 与 A相似从而有相同的特征值，但特征向量不一定相同 （东北师范大学）证： 设 A 为 n 阶矩阵， 且E-A的不变因子为 d1,d2,dn.那么存在可逆矩阵 P,Qd1 d2使 PE AQ= dn12例 5 求 A=34234345的最小多项式4565673 4 111 211 23 415111解E-A= 3 1 456 111 4567 4567010 2110 2111 4 23300 231 14 233000010由 (1)有00(1)3 6 2 14 43 20001301=1D2=1
6、 即 d1=d2=1从(1) 还可以得到 D3=而 D4=E A=221620d4=1620=-16-20232故 A 的最小多项式为3-162-20例 6 求 A 的全体零化多项式集，其中01A=01解：101010（大连理工大学）101010A3=4A 令 g(x)=x-4x 则 g(x) 是 A 的一个零化多项式x-4x 而x23设 A 的最小多项式为 m(x)则 m(x)|3x-4x=x(x+2)(x-2)因此 g(x) 首项系数为 1 的一切因式 x,x+2,x-2,而这些因式中零化多项式只有+2x.,3x2-2x,x2-4,x-4x3x2-2x,和x3-3xm(x)=x-2x再设
7、A 的零化多项式为 M则 M=hx2x| h px22xx例7证明：相似矩阵有相同的最小多项式（湖北大学）证设 AB 即存在可逆矩阵 T使 B=T1AT设 m1,m2分别为 A 与 B 的最小多项式且设m2=s+bs1ss1+b1+b010=m2B=B+bs1Bs1+b1B+b0E=TAbss1As1b1Ab0ETm2A=0,m2是 A 的零化多项式，而 m1是 A 的最小多项式同理可证 m2|m1又由其首项系数均为 1，故 m1=m2例 8 设 A=2 21证明：有理数多项式 f(X)使 F(A)=0 的充分必要条件是 f(x)为33x-5x+3 的倍式。证：先求 A=1 21x 1的最小多
8、项式 XE-A=D1x=1d1=1x 33331x 3=x2-5x+3d2=x 23即 A 的最小多项式为 x -5x+3有理系数多项式 f(x)使 f(A)=0(x -5x+3) |f(x)即 f(x) 为 x2-5x+3 的倍式2210例 10 求 C=00234123的若当标准形0120013 4 1 201 23解E-C= 001 2 0001 2由于 3 阶子式1=13 2 41232=103=-41,3=01 20101341,2=1D3=1d1=d2=d3=1d4=E C=1114即 A 的初等因子为1故 A 的若当标准形为000001001100113 400 4500的若当标
9、准形例 11求 A=003 20021400 3 4500解E-A= 0032 00 213由于 3 阶子式1= 440050=3 4 15 4150352=002=51003 212由于1,2=1D3=1d1=d2=d3=1而 D4=E A=d4=D41 4 15 4 15=14 154 1522例 12 设 4 阶方阵 A 满足 A+A*-E=0 且A=2 求 A 的 Joedan 标准形。解由 AA = A A=AE 可得 A +A -E变为*A-A-2E=0 得22-2=0A 的最小多项式 m|_-2 即 m|122故最小多项式 m无重根。故 A 与角矩阵相似又 A+E!=0A-2E!
10、=0 而(A+E)(A-2E)=0 A的特征根为-1，2 又A=-2 得 A 的特征根不可能为 -1 两个 1只能是-1，-1，-1，和 2故A 的 Jordan 标准形11为12d1d2两边取转置得 QE AP= dn从而E-A 与E-A 有相同的不变因子 ，所以 AAE A=EA=E A这说明 A 与 A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。但特征向量不一定相同，比如设A=当1110, 则 A=0 111=1 时 由(E-A)=0 得线性无关的特征向量为1=(1,0) 则 A 属于 1 的全部特征向量为 k其中k 为 P 中非零的任意常数。当=1 时 由(E-A)=0 得线性无关的特征向
11、量为=(0,1) 则 A属于 1 的全部特征向 l其中 l 为 P中非零的任意常数。显然 特征向量 k与 l是不同的，因而它们具有不同的特征向量。08 3例 9 求矩阵 A=316的不变因子初等因子和若当标准形 205解 因为 010E-A=08 331620508 3111205031 13812 201330100312101383101003110112100220102故 d1=1.d2=1d3=1A 的初等因子为1,1210201 2100021000 10A 的若当标准形为010011例 13写出以23为特征多项式23为最小多项式的所有可能的互不相似4242的若当标准形解由题设知所
12、求矩阵的阶数为5，而且D5=23,d5=232或2从而只能有两种类型d=23, d=2, d=d=d=1d=23.d=2d=2d=d=1于是 d4=5222432125432120201212因此互不相似的若当标准形 有两种：20与212233例 14 判断下列复方阵那些是相似的：201 26010 3A=103B=011C= 210114001111解先分别计算矩阵 A,B,C 的特征地下室得fA=E A=fC1=E C=133fB=E B=12只有矩阵 A 与 C 才可能相似11再求 A 与 C 的标准形得E AE C21三个矩阵中仅 A 与 C 相似,B 与 A, B 与 C 均不相似。
13、例15证明下列三个方阵任何两个都不相似a00a00a10A=0a0B=0a1C=0a100a00a00a证若 a=0易见 A,B,C 的秩互不相同。故任何两个矩阵都不相似若 A!=0 易见 A,B,C 的初等因子分别为-a,-a,-a;-a,a,a23其中任二组初等因子均不相同，故 任何两个矩阵都不相似。例16在有理数域。实数域，复数域中，查明下列矩阵是否相似于对角矩阵？523 475425 (1)45 4(2) 450(3)64964 41945375解 (1) 234=123在有理数域内相似于E A= 465 4 4100020003 4(2)75032=-5+17-13=0得1=1,2=
14、2+3,3=2-3E B=4159 4由于 B 有三个相异的复特征根，所以 B 在复数域上与对角矩阵相似，但由于它仅有一个实根。所以B 在实数域上不能相似于对角矩阵，因而更不能在有理数域相似于对角矩阵。5 4 2 49=3-2-50+20=0(3)E A=653 7fC(-5)0fC(4)0f=- limf=+limCCfC在 (-,-5),(-5,4)(4,+)内各有一个实数根，从而C 在实数域上可与对角矩阵相似，因而在复数域上也与对角矩阵相似。又 fC无有理根，B 在有理数域上无特征根， 因而 C 在有理数域上不能与对角矩阵相似200 例 17设 A=a20是复矩阵i）求出 A 的一切可能
15、的若当标准形。ii）给出 A 可以对角化的bc1一个充分必要条件。解i）|E-A |=(2)(+1)若 a0 可以验算(A-2E)(A+E)02A 的最小多项式是(2)2200 (+1)不计若当快的次序，A 的若当标准形为120001200 若 a=0A 的最小多项式是 (-2)(+1)不计若当快的次序 A 的若当标准形为020001ii）A 可对角化A 的最小多项式无重根即 A 的最小多项式为(-2)(+1)a=0例 18 设 A 是一个 n 阶矩阵， 如果多项式 g(x)使 g(A) =0 称 g(x)为 A 的零化多项式。 记mA()或 m()为 A 的最小多项式。证明f(A)=0m()
16、|f()证： “” 若f()=m()q ()+r()其中(r()(m()或r()=0.0=f(A)=m(A)q(A)+r(A)又 m()是 A 的最小多项式，若 r()0而 r(A)=0.(r()(m()与 m()是最小多项式矛盾，故 r()=0m()|f()“”若 m()|f ()则 f()=m()q()f(A)=m(A)q(A)=0q(A)=0例19设 A 为 n 阶方阵,证明 A 的最小多项式 m()是最后一个不变因子,证:A 的特征多项式为 f()=|E-A |=特征矩阵E-A 的伴随矩阵为D2n()=*Dn1()dn()(1)(EA)=Dn 1M() (2)其中 M（）是 n 阶-矩
17、阵 其(E-A)n个元素的最大公因式为 1将(1)(2)代入()(EA)=f()EDn 1*得(E-A)(E-A) M()=M()=Dn1()dnDn1()0dn() E(3)于是由-矩阵的余式定理得dn(A)=0所以dn() = M()q()(4)另一方面因为 m(A)=0.所以存在 n 阶-矩阵使 m()E=(E-A)()(5)有(3)(4)(5)得(E-A) M()=(E-A)() q()从而 M()=()q()然后 M() 中n个元素的最大公因式为 1.于是 q()=1,因此 m()=d2n()例 20设 f()是 n 阶阵 A 的特征多项式，m()是 A 的最小多项式，证明1）是 A
18、 的特征根是是 m()的根2）若 A 的特征根两二互异，则f()=m();3）f()|(m()n证：1）充分性 显然真。必要性因为 A 的特征矩阵E-A 的秩是 n，易知 f()=|E-A| =d()d12()dn()任取 A 的一个特征根0。由 f(0)=0知必存在d(), 使d()=0 (1in) , 但ii0nd()|din()于是d()=0,但 m()=() , 故 m()=dno12ni(),0是 m()的根2） 由题设知 f()=(m()=()()()这里(i=1,2, n) 两二互异，由 1）有n)()()=f()123 ）因 为dn()=m(),但 每 个 不 变 因 子nnd
19、()i都 是dn() 的 因 式 ， 故d1()d2()dn()|dn()即 f()|(m()例21证：1）口零矩阵可以对角化2）口零矩阵不能与对角化矩阵相似证（1）设对角化（2）反证法， 若 A 与是某一对角矩阵相似，那么存在可逆矩阵P，使 A=Ak=E，g(x)=xk-1. 则 g(A)=0m()|g()g()无重根，m()无重根因此 A 可以P1DPA P D=k1KP而Ak=0,P D1KP=0DK=0D 为对角矩阵因而 D=0例 22如复数域 F 上的 n 阶方阵域，如何？Am=A（1m n）求证： A 必与一个对角矩阵相似，若限于实数证由题设条件知A 有零化多项式 g()= m-,
20、 而 (g(x),g(x) =1最小多项式 m()无重根A 必与一个对角矩阵相似。0110在实数域上结论不一定成立，比如A=000000则000000000000000A5=A但 | E-A |=(2+1)3而在实数域上相似于对角矩阵，必须A 有 5 个实特征根，由上式知 A 只有 3 个实特征根，故 A 在实数域上不能与对角矩阵相似。选取适当的 a0.使得|aE-因 A(aE-(aE-T11|0. 于是，可将T1表成为 aE- ( aE-T1), 其中 aE-T1为非退化矩阵，T1) = (aE-T11)A, 又 因 数 量 矩 阵 aE 可 与 任 一 矩 阵 交 换 ， 故 有 A(aE
21、)-AT1)=(aE)A-( aE-T)A即AT=T11A则 A 可与任一矩阵交换，因而A 是数量矩阵。例 25三阶复方阵 A B C D有相同的特征多项式，试证其中必有两个相似。证：因为三阶方阵的特征多项式为三次多项式11） 若它们的特征多项式的三个根为123互异 ，则 A ,B ,C, D都与对角矩阵似，相似关系是等价关系，所以结论成立。2相312）若它们的特征多项式有一单根1和二重根2，则它们与由抽屉原则及相似关系是等价关系。所以结论成立。21或2211相似，2，113）若它们的特征多项式为三重根1，则它们或相似于 11或相似于11或相似于1111。仍由抽屉原则及相似关系是等价关系知结论
22、成立。1例 26 设 A,B 都是 n 阶方阵。AB=BA 且 A 有 n 个不同的特征根，证明B 相似于对角矩阵.1证因 A 有 n 个不同的特征根12,n.所以存在可逆矩阵 p,使 P1AP=(P1AP)(P1BP)=P1(AB)P=P1(BA)P=(P1BP)(P1AP)因此 P1BP 也是对角矩阵。即 B 与对角矩阵相似。例27设 A 是 n 阶可逆矩阵。 证明 A1可以化成次数小于 n 的多项式证设 A 的最小多项式 mA()=+a1则 m(A)=A+a1A于是 A(Am1mm1mm12于是n+am1+an+am1A+amE=0+am1E)=-anE+a1Am2因为 A 可逆.所以
23、A 的特征根全不为零，即mA()无零根.因而 am!=0因此 A1=-1m1m2(A+a1A+am1E).amnn例 28 设 A BC形AB=BA 且 AB 都可对角化证明存在可逆矩阵 T 使 T1AT与 T1BT 同时为对角1En11证由于 A 可对角化从而存在可逆矩阵P使 PAP=2En2(1)其中sEns,12,1s互不相同1n+n+n=n 由于 AB=BA12s1所以PAPPBP=PBPP1（2）及AP（2）由（1）,12,s互不相同所B11以 PBP=B2(3)Bs为准对角矩阵，其中BK为 nKnK矩阵由于 B 可对角化，则它的初等因子都是一次的再由(3)知 BK的初等因子也都是一
24、次的所以存在可逆矩阵 RK(K=1,2,s)使 RkBKRK为对角矩阵1R1再令 R=阵R2则 R1RsB1B21R=BK2为对角矩n然后令 T=PR则 T 可逆，且T1AT=R111R2Rs1sEns1En12En2sEnsR1R21En1=Rs2En2为对角矩阵T1BT=R1(P1BP)R=R1B11B21R=Bs12n故存在可逆矩阵 T 使 TAT与 TBT 同时为对角矩阵。2例 30 设 A 是数域 P 上的 n 阶非零矩阵秩 A=rA =A 证明:对于满足 1sn-r 的整数 S存在矩阵B使得 AB=BA=0并且(A+B)s1=(A+B) !=(A+B)SS1（华中师范大学）Er21
25、证因为 从而存在可逆矩阵 使 TAT=00101其中 J= 10Er111TABT=TATTBT=000T11B=T r n10J0J0rr1BT=ssT0000=0AB=0J00T1BAT=T1BTT1AT=J即 AB=BA=0另外 JS=0而 JS1!=0Er0=0BA=00T1(A+B)ST=T1(A+B)TT1(A+B)TT1Er(A+B)T=0JSEr=00T1(A+B)S1T=T1(A+B)S1T(A+B)S= (A+B)S1ErT1(A+B)S1T=0 1JS1=!=0(A+B)S1!= (A+B)S0S1J0 122例 29若 n 阶方阵 A, B, A =B =I.AB=BA.试证有非奇异方阵 P 存在。使 PA证因为 g(x)是2P1与 PBP1同时化为对角线上都是-1 和 1 其余的都为 0 的方阵x-1 是 A,B 的零化多项式,g(x)无重根。从而最小多项式无重根。因此A,B都可对0000角化。又由于 AB=BA, 由上题知，存在可逆矩阵P11 0使 PAP=0022200101PBP=00n0002i000200000n0由于A =B =I 所以12i1(i=1,2,n) 1ii 1(i=1, 2n)