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1、第 1 章 随机变量及其概率1,写出下列试验的样本空间:(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次,记录投掷的次数。连续投掷一枚硬币直至正而出现，观察正反而出现的情况。抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T,则再抛一颗骰子，观察岀现的各种结果。解：(1) S = 2,34567； (2) S = 234j; (3 ) S = H.77A777A777W,;(4)S = iHH.H7TXT2,T3,T4、T5T6 2,设人3是两个事件，已知P(A) = 0.25,P(B) = 0.5,P(AB = 0.125,
2、求P(AB)屮(AuBXAB)。解：P(AuB) = P(A) + P(B)-P(AB) = 0625,P(瓦B) =P(S一AB = P(B) - P(AB) = 0.375 ,P(AB) = 1-P(AB)-0.875 P|(A u B)(A3) = P(AAB) = P(AuB)-P(AuB)(AB) = 0.625一P (AB) =0.53,在100, 101, .t 999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在wo, 101, .t 999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8x9x9 = 648.所以所求得概率为斗729004,在仅由数字0, 1
3、, 2, 3, 4,5组成且每个数字之多岀现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：仅由数字0, 1, 2, 3, 4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5x5x4 = 100个。（1）该数是奇数的可能个数为4x4x3= 48个，所以出现奇数的概率为 = 0.48100（2）该数大于330的可能个数为2x4 + 5x4 + 5x4 = 48,所以该数大于330的概率为5,袋中有5只口球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1） 4只中恰有2只口球，1只红球，1只黑球。（2） 4只中至少有2只红球。（3）
4、4只中没有口球。解：（1）所求概率为弩諾;（2 ）所求概率为g +UC；+C：=竺=竺:495165（3）所求概率为于砺窃6,公司向M个销售点分发nnM张提货单，设每张提货单分发给 侮一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一 特定的销售点得到kk ）张提货单的概率。解：根据题意，血!M）张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到kkn张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到kkn张提货单的概率为AT7,将3只球（3号）随机地放入3只盒子（13号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求3只球至少有1只配对的概率。（
5、2）求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3! =6种：223, 132, 213, 231, 312, 321；没有1只配对的放法有2种:312,231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以没有配对的概率为彳首至少有：L只配对的概率为 TW8, (1)设P(A) = 05J(B) = 03P(AB)=0丄，求P(ABIPBA.P(AAB),PABAJBP(AAB).(2)袋中有6只口球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到口球，放回，并放入1只口球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到口球且第三.四次取到红球的概率。解：
6、(1)市题意可得P(A= P(A) + P(B)-PAB = 0.7 ,所以W)M)3P(B) 0.33P(A) 0.55P A)=P|WS)- P(A)-5P(QB)PP (AS) 7円呦A)_ P)PA B)P(QB) 7PAB) PAB)(2)设4(2123.4)表示“第i次取到口球这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到口球且第三、四次取到红球可以表示为A/2瓦瓦，它的概率为(根据乘法公式)P(A/2瓦瓦)=P(AJP(A2 I AJP(4 M/JP(瓦I生瓦)存存存蟲=0.0408。9,9,一只盒子装有2只口球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，
7、已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A,“另一只 也是红球记为事件则事件A的概率为2 22 15P（A） = 2x-x- + -x- = -（先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为2 I一y一PW丿）-宀P(A) 55一医生根据以往的资料得到下而的讯息，他的病人中有5%的人 以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实 际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最 后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一 病人以为自己患癌症 m 以3表示事件“病人确实患了癌症”，
8、求下列 概率。10,10,(1) P(A),P(B);(2)P (BIA); (3)P (BIA)： (4)P(AIB)； (5)P(A IB) o解:（1）根据题意可得P(A) = P(AB) + P(AB) = 5% + 45% = 50% ;P(B) = P(BA) + P(BA) = 5% +10% = 15% ;（2）根据条件概率公式：P心鵲=嶷；(3)旳 g= - = 02*P(A) 1-50%(4) P歹)=PG耳)-45% _9P(B)一1-15%一17 (5)脚/)浹P(B) 15%311.在12张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列
9、结果为ginger的概率。解：根据题意，这个字母中共有2个g, 2个i, 3个m 3个e, 1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这张中抽岀2个g中的任意一张来，概率为11；第二次必须从剩余的W张中抽 岀2个i中的任意一张来，概率为 加0；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为36ZxZA丄丄=亠=丄；或者 gggII 10 9 8 7 6332640 9240924012,12,据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B,有20%的人只有症状A,有30%的人只有症状B,有10%的人两种症状都有, 其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求(1)该人两
10、种症状都没有的概率;(2)该人至少有一种症状的概率;(3)己知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状 都没有的概率为1-20%-30%-10% = 40%;(2)至少有一种症状的概率为1-40% = 60%;(3)已知该人有症状B,表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的W%的人群，总的概率为30%+10%=40%.所以在 己知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为鼎需斗23,在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额*1234
11、解：设“讯号通过通讯线j进入计算机系统”记为事件4(21234),“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有P(B)=工P(A-)P(B I 4) = 0.4X0.9998 + 0.3x0.9999 +0.1x0.9997 +0.2x0.9996 r-l24,种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。己知人群中有10%的人患有关节炎,问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A,“一名被检验者确实患有关节炎”
12、记为事件根据全概率公式有P(A) = P(B)P(AIB) + P(P)P(AlP) = K)%x85% + 90%x4% = 12l%,解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A,“一讯息是可信的”记为事件根据Bayes公式，所要求的概率为P(B)P(A IB)95%xl* A) = P(A) =P(B)P(A B) + P(RP(AB) = 95%xl + 5%x0.1%=如妙?%17将一枚硬币抛两次，以ABC分别记事件“第一次得H”，“第二次得HX“两次得同一而”。试验证A和B, B和C, C和A分别相互独立（两两独立），但A,BC不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为P(A) =
13、 P(B) =-,PUB) = -x- = -P(C) = X H- X = P(Q = P(CA) = -x- = -, PUBQ = -x- = -所以有P(AB = P(A)PB), P(AC) = P(AP(C, P(BC = P(B)P(C) o即表明A和B, B和C, C和A两两独立。但是PABC)P(A)P(B)P(C)所以ABC不是相互独立。18,设AbC三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为，设A,BC各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。解：设“ABC进球”分别记为事件M（心
14、123）。(1)设恰有一人进球的概率为门，则=P(NJP+P(NJ + P(NJP (心北“ (由独立性)=0.5 X 0.3x 0.4 + 0.5 x 0.7 x 0-4 + 0.5 x 0.3 x 0.6= 0.29(2)设恰有二人进球的概率为几，则卩2=2=卩弘万3 3+川兀川屮3 3+卩2 2弘=P(NJP(NJP(NJ+ PP(NJP(N2)P(NJ (itl独立性)=0.5 X 0.7 X 0-4 + 0.5 x 0.7 x 0.6 + 0.5 x 0.3 x 0.6= 0.44(3)设至少有一人进球的概率为几，则心=I-P皿凡;3=1-PWJP02)P(N3)=l-O5xO3xO
15、4=O94。19,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的ARH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供 血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人 能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个 人才验岀是AR屮型血。问题转化为最迟第4个人才验出是AR屮型 血的概率是多少因为 第一次就检验岀该型血的概率为;第二次才检验出该型血的概率为X；第三次才检验岀该型血的概率为X；第四次才检验岀该型血的概率为 所以病人得救的概率为+=20.一元件（或系统）能正常工作的
16、概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件:b 2, 3, 4, 5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为/八试求系统的可靠性。解：设“元件i能够正常工作记为事件A（/ = L23A5）O那么系统的可靠性为P(AAJ2(A3)5人A) = PG4/J) + P(A3)+ P(A/,)12= P（AJP（A）+ P（AJ+ P（A4）P（4）-P（A）P（A2）P（4）-P（AJPG42）P（/V）P（A,）第20-P(A3)PS)P(人)+P(A)P(A2)P(A3)PS)P(人)=p + p + p 一p - p _ p+ p =p + 2p -2p3 - 4 +21,
17、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真不含有杂质检验结果为不含有 的概率为，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率 分别为今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较堆，灵活应用全概率公式和Bayes公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件3。则要求的概率为PA IB根据Bayes公式可得PA)PBA)P(A I B) - p(A)P(B I4)+P(A)P(B
18、IA)又设“产品被检岀含有杂质”记为事件C,根据题意有P（A） = 04,而且P(CIA) = 08,P(CA) = M,所以P(B I A) = C； X 0.8- x(l-0.8) = 0.384 ;P(B I A) = C； x (1 - 0.9) x0.9 = 0.027故,PPA)PBA)0.4x0.384= P(AP(BA) + P(A)P(BA) = 0.4x0.384+0.6x0.027 = 0.1698 =（第1章习题解答完毕）随机变g及其分布设在某一人群中有40%40%的人血型是A A型，现在在人群中随机地选人來验血.直至发现血型是A A型的人 为止.以Y Y记进行验血的次
19、数求Y Y的分布律。解：駄然Y Y是一个离散型的馳机变Y Y取表明第个人是A A型血而前个人都不是A A型血.W W此有1-1-Py = k = 0.4X(1 -O4)z = 0.4X0,6 (k = 123,)上式就是随机变SY的分布律（这是一个几何分布儿水自A A处流至B B处有3 3个網门1. 2. 3.1. 2. 3.阀门联接方式如图所示。肖信号发出时各阀门以的概率打开, 以X X表示、”信号发出时水自A A流至8 8的通路条数求X X的分布律。设各阀门的工作相互独立。2.2.W： X只能取Ifl 0, 1. 2.设以人 （/=1,Z3）记第i个阀门没有扑开这一爭件。则PX=O = /
20、WH = P(4A2(A/3) = PA/2 + PAd-PA/J = P(A)P(A2)+= (1-0.8)- +(1-0.8)- -(1一08)=0072 =0.512 予类似有P(X =2| =卩(04/3) = P(A|A/3)= 8PX = l = l-PX=0-PX=2=0416,综上所述，可斜分布律为1PX=k3,3,20%20%15151515X X（1 1）3 3（2 2）2 232) = 1-P(X=1)-P(X =0) = 0-8329：据信有的英国人没有任何健康保险，现任意抽査个英 国人以X X表示个人中无任何健康保险的人数 （设各人是 否有健康保险相互独立） 。问 服
21、从什么分布写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：恰 有 人：至少有 人：不少于 人且不多于 人：多于5 5人。解：根据题随机变从二项分布分布律为刘(3)(3)(4)(4)4,4,P(1X 5) = 1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X= 0) = 0.0611设有一由川个元件组成的系统，记为k/nG.这一系统的运行方式是十且仅严I I畀个元件巾至少有k （Qkn）个元件正常工作时.系统正常工作。现有一3/5G系统它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为求这-系统的可靠性。解：对于3/5G3/5G系统，至少有3 3个元件正常工作时系统正
22、常丄作而系统中正常工作的元件个数X X服从一项分布B B（5, （5, 所以系统正常工作的概率为f P(X =k) = cf xO.y xOJH =0.99144*=3*=3Jt=3Jt=3某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制骷常出现气泡，以至产品成为次品.设次品率为，现取800080005.5.件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7 7的概率（设各产胡是否为次品相互独立 解：根据题意.次品数X X服从一项分布6 6（8000,.8000,.所以P(X7) = P(X设一天内到达某港口城市的油船的只数x-;r（10），求PX 15（2 2）已知随机变且有PX 0 = 05求PX2。解：(1)
23、(1)PX 15 = 1-PX 0 = 1 -PX =0 = l-e =0.5.御到2 = ln2.所以PX 2 = 1-PX =0-PX =1 = 1-05-/1 =(1-111 2)/2a0534 .一电话公司有5 5名讯息员，符人在t t分钟内收到讯息的次数X X托（2020（设补人收到讯息与否相互独 立人（1 1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率.（2 2）求在给定的一分钟内5 5个讯息员恰 有4 4人未收到讯息的概率。（3 3）写出在一给定的一分钟内.所有5 5个讯息员收到相同次数的讯息的概率7-7-解：在给定的一分钟内任总一个讯息员收到讯息的次数X - M2） OP
24、X =0=尸1353 :(1)(1)(2)(2)设在给定的一分钟内5 5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数川所以Y Y表示.Pr = 4 = C/0.1353x(1-0.1353) = 0.00145(3)(3)毎个人收到的讯息次数相同的概率为X Xz z5 5Jt-0Jt-0(归J(Z上附丿X X以X X表示铃响至& 一教授十下课铃扑响时.他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响E 字fJ（确定 4结束讲解的时间。设X X的概率密度为X）=-0其他1 1 2求求P2訐FY Y*0 0k3 3解：(1)(1)根据1 = J/(x)dx = JkP1 = J/(x)dx = JkP必=,得到k =
25、3iPX 1 1(3)(3)P-%-)=P-%-)=4 41 12 2(2)(2)r 丿”2”21/41/427j3x-dx =- - 2丿M4,OmiX-5X+40.从而要求X 4或者X1。W为1010P X 4 = J0.003x-Jx =0.936所以方程有实根的概率为存.10,10,设产品的寿命X X（以周讣）服从瑞利分布.其概率密度为X X厂2/2002/200 xQ0/W=uoo(1)(1)求寿命不到一周的概率:求寿命超过一年的概率s s已知它的寿命超过2020周，求寿命超过2626周的条件概率。PX5= 0= 027O4/2OO a 0 0000027O4/2OO a 0 000
26、00：52 100(3) PX 26X20=26 =- = -276/2ooQ25158.PX20 Y丄八Soo廿10011,11,设实验室的温度x x（以Ci|Ci|）为随机变量，其槪率密度为-(4-X-)-lx2/W = 1X 1时才能发生，求在实验室中这种化学反应(2)(2)发生的概帑。在1010个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的以Y Y表示1010个实 验室巾有这种化学反应的实验室的个数，求Y Y的分布律。(1)(1)(3)求Py = 2 PX2PX|=ji（4-xXv = A,5（2 2）根据题意y By B（i i（x x）所以其分布律为27(3)(3)
27、P(Y = 2) = C細X22! = 0.2998127丿1272 2r、J27丿8 8f、xnr0R = 0210p(r 2)= i-p(y=o)-p(y = 1)=0.5778.12,12,（1 1）设随机变SY的概率密度为r 0.2/(y) = s0.2 + Cy一1 y 00 * 1其他试确定常数G求分布函数F（y）,并求p（oro.5iy0.1）.（2 2）设馳机变fixfix的概率密度为1/8f(x) = x/80J2x4其他求分布函数并求Plx1IX3Y Y0 0I I解：(1)根据1= JO2dy + J(O2 + C)y0.4 + ,御到C =c0Vj0.2Jyy y-I-
28、Iy yy -1-1 y 0F(y)= j/(yXv = -0 0-X-XJO2dy + J(O2 + l0 y ly 002(y + l) -I y 00.6y + 02y + 0.20 y IP0 Y0.5 = PY05-Py0 = F(05)-F(0) = 045-02 = 0.25：1一只)=上空=0.7106I-F(O.l) 1-0.226x00 xQ(2)(2)-dr+ f-dr+ fdxdx2 12 14 .4 .2x4x/80 X 2X-/I62x4Plx3 = F(3)-F(l) =9/16-1/8 = 7/16：讣黠許卑評w在集合A=1,23A=1,23小中取数两次.每次任
29、取一数，作不放回抽样.以X X表示第一次取到的数.以Y Y表13,13,示第一次取到的数求X X和Y Y的联合分布律。并用表帘形式弓出!2323时X X和Y Y的联合分布律。 解：根据题取两次且不放回抽样的总可能数为nn-lbnn-lb因此PX =/；r =j = , (/工八且lLy)n( 1)取3 3时.PX =/y = /=_, (f =/y = /=_, (fH 八且lfj3lfj3儿表格形式为64 41 12 23 31 10 03/63/60 0ysysysys0 02 23 3设一加油站有两套用來加油的设备设备A A是加油站的工作人员操作的设备B B是有顾客自己操作的。A. BA
30、. B均有两个加油管。馳机取一时刻.A. BA. B正在使用的软管根数分别记为X. Y.X. Y.它们的联合分布律为14,14,0 01 12 20 01 11 12 2（1 1）(2)(2)(3)(3)求px =tr = 1,pXtri = i-Px = o.y=0 = 1-01 = 09(3)(3)PX = Y = PX =Y = 0 + PX = Y = + PX = Y = 2 =+=Px + r = 2)= p(x=o,y = 2+Px = ty = i + Px = 2,r = o)= o.280,15,15,设随机变S S （X, YX, Y）的联合概率密度为C 、E, x00/
31、（“T r 其他0,试确定常数C并求PX 2PX r).PX + Y 2) =PX Y= JJ/(x,y)dxdy=PX Y= JJ/(x,y)dxdy=JJJJf(x, y)dxdy =七+叫b =J J2八愉心=尸XJ J卜/寸 厂+ 心= 厂町、2e-edx = -*oc*oc0 02 2-KC-KC0 0.T.T-KC-KC8 82 22/2/407407dy=dy=0 01-x1-x0 01 10 0l-xl-x0 0I I3 3-2x-2x* *xyxy0 0P X+= JJ JJ/(X,y)(lxdy = J Jdx J J= J= J2eix J Jdy = (1 -水?)2x
32、+ylx+yl0 00 00 00 016,16,设随机变S (X. Y)S (X. Y)在由曲线y = xy = x2/2y = xy = x2/2=1 1所困成的区域G G均匀分布。求(X. Y)(X. Y)的概率密度:(1)(1)(3)(3)求边缘概率密度fx W W，fy(y)。根据题意.x. Y)x. Y)的槪率密度/(x,y)/(x,y)必定是一常数故由1 HJ6. gy)G1 =JIJIfg y) y)加/)=J Jf(.x,ydy = -f(x. y),得到0,办心“(3)心彳心昭0 xl+00+00其他(2)(2)66J J+00+00I I0 0.5/r(y)=/r(y)=
33、00006dx,6(7 - 77)，0 y = 6(1-77),6dx0.5 y 10.5jfx.y)dx.0,0.5 y 0, y 00,（1 1）(2)(2)，其他.求（x,y）关于X的边缘槪率密度fx（X）:求条件概率密度/nx（y I大），写出=的条件槪率密度:(4)(4)求条件概率p（r iix = 0.5）.AW = J/(AyXv = *宀叫y = 4二x0J 22Y其他-KC-KCwc 32M M：（：（1 1）(2)0(2)0时AW0,xe 1 y00,其他特别地，卅x = 05时0.5严y 0齐ix(y lx = 05)h0.其他-WO-WO-KC-KC(3) P Y 1丨
34、X = 0.5) = J仏(y IX = 0.5y/y = J050心%/)、=IICD在第14题中求在x=o的条件下y的条件分布律：在y = i的条件下X的条件分布律。(2)(2)在1616题中求条件概率密度/Vix(ylx)/Vix(ylx)fxY(x y) y) fxr(x0.5).砒砒 = =f,X =0,得到在X = 0的条件下Y的解：（1 1）根据公式PY = iX =0 =0）= =条件分布律PX =0YPYX=O0 01 12 2yi2yi2类似地，在y = i的条件下X的条件分布律为Xp(xir = i)0 01 12 2仇7 710/1710/17yi7yi7(2)(2)因
35、为f (%, y)=- (%, y)=-6, (X,y) eG0.其他J6dy =6(伍-五 0 y 0.50%1=fY(y) = 6(1-0.5 y 1 a3xSJ-/2J-/277),0其他a a,所以十0欠1时人1x（ylx） = 2 F/ /（儿刃（儿刃=丿乂 X X亍，x /2 y00,其他艸0y0.5时，办,rUly)=4= 7-77yy xyl2yfy(y)0,其他畑5.為（小）=儒=15yyXl0,其他fxM出y = 05时，AirUly) = 5 I-7oJ0,其他20,20,设随机变量（X, YX, Y）在由曲线y = xy =y = xy =所用成的区域G G均匀分布。(
36、1)(1)写出（X. YX. Y）的概率(2)(2)密度求边缘概率密度:fx UX(3)(3)/r（y）：求条件概率密度/nx（y I兀）并写出-1X =0.5根据题意时的条件概率密度。W W：（：（1 1）.（X. YX. Y）的概率密度/ /（X,yX,y）必定是一常数，故由I II1 = JJfa、3, (Ay)ydxdy = Jdx $ (x,ydy =-/(x,y),得到G/(x, y)=-0,其他4-004-00J3cly =fx M =“(圮刃d)= JX V 1 I 3(77 -x)r 0 V0, e+0C/y(y)= J /(Aydx0,其他= 96J 3d, 0 y I3(
37、V7-y2)，0 y I0,眦 s 心册特别地，肖x = 05时的条件概率密度为几xCv IO5) = p75-ll/4y 72/2其他21,21,设（X,YX,Y）是一维随机变S S，X X的概率密度为fxM = 60.0%2且半X = %（0 % 2）时y的条件概率密度为（1 1）(2)(2)(3)(3)* *i + 0 y n+x/2xy(X1求（x,y）联合概率密度:求（x,y）关于y的边缘概率密度:求在Y = y的条件下X的条件概率密度Air（XI刃-其他解：*1 + xy 0 A- 2,0 1/(兀刃=办W九(ylx) = j 3其他办0）=了/（兀,）必y 1 )33N + E
38、dx =(1 + y) 0 其他0=!丿(3(3小oyioy(2) 14(2) 14题中求0 0&(1一0)/2&(1-0)/2出边缘分布(1-卯律为1 10-/4&(1一0)/20-/4 1 12 20 0PX=i0 01 12 2P y=j 1 1很显然PX=O,Y= OHPX=OPY=O,所以x,yx,y不是相互独立。23,23,设X.YX.Y是两个相互独立的随机变虽X -. y. y的概率密度为0y.解：根据题X的概率密度为人（X X）n n0 X I其他所以根据独立定X.YX.Y的联合概率密度为/（%,y） = A（x）/,（y） = 0 X 1, 0 y yI = JJ/AyjiM
39、y = J Jxj8ye/x =xy0 y324.24.设随机变SXSX具有分布律X-2-2110 01 13 3V15V15ISOISOPk求Y = X +1的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为y y1 12 25 53/53/510101 1Pk於0 0城0 025,设随机变gX N（OJ）求U= X的概率密度。解：设X,U的概率密度分别为U的分布函数为Fug则 肖w 0时.Fy（H）=PU u = P X 0时.Fu（U）= Pu u = PlX u = P-u X 0 0严fM = 0其他求Y= 4X的概率密度。设馳机变sx-s-ij).求y =(x + i)/2的概率密度。(3)设
40、馳机变SX N(0)求Y = X的概率密度。解：设X.y的概率密度分别为fx fy(y).分布函数分别为Fx(xlFyy).则(1)0时.Fy(y) = PY y = Pyfx 0时Fy(y) = Pyy = P4x y = PX 0y01/2-lxl(2)此时办(x) = 40其他W为Fy(y) = PYy = P(X + )/2y = PX 2y- = F(2y-.故,齐(y) = Fy(y) =2/x(2y-l) = h -1 2y-l 0时./；(y) = Pyy = PX2 y = P X0027,所以/rO)= j 7其他设一圆的半径X是馳机变/(A)=其概率密度为(3x + l)
41、/8 0 x20其他求恻面枳A A的概率密度。解：圆面积A = 7dC-.设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则Gy) = P* y = PX 777 =Fx(77)，故心曲=冷斫=缶遥务=遐吾。时2卩+石0y0时代=PZz =卩2+厂才In zIn z=fx,y)dxdy=F+rwF(则01 - e 2b rdr = l-e。2加7-fz(Z)= Fz h故,CT029,29,设随机变SXU(-1J)SXU(-1J)随机变fiYfiY具有概率密度A(V)= -A(V)= - , -sV+8 , -sV+8龙(1 +)厂)设X X畀相互独立求z = x+yz = x+y,的槪率密度
42、。1/2 -lx00具他r相互独立。求z = x+yz = x+y的槪率密度。 解：根据卷枳公式得/10/10 x,Yx,Y其他Zz =J齐(刃办(z -y)dy = JyedyX X所以z = x+r的概率密度为其他设随机变SxySxy都在(0J)(0J)上服从均 且X,YX,Y相互独立求.z = x+yz = x+y的概率密度。匀分布. 解：因为x,Yx,Y都在(0,1)hat(0,1)hat从均匀分布.所以31.31./xW=1 0 xl0其他fl 0% 1AlAl-WO-WOfz(z)= jA(y)/x(2 - yMy =J kA 0 z 1Z,0zl*Zlz20,= 0,0 V 41
43、求边缘概率密度fx（X），/y （y）。求Z = maxX,y的分布函数e(4)(4)fx W =f/ W =f/(儿y Myy Myi 3i 3宀 /My =My = X X解：（1 1）0 03宀x003严/2厶，0 yA(y)= “Cv,y)dxn8 8 20,)/2, 0 y 20,（2 2） Z = maxXy Z = maxXy的分布函数为Fz = PZz = PnxixX.Yz = PlX z.Yz = PX zPYz = F FyFy(y) = * y/2 0 y 02 .0,Z 0 x00y 0所以，Fz=FxFYh守(1-严)0z24 24(3) Pl/2Z7+-6(3)
44、Pl/2Z7+-62233,33,（1 1）一条绳子长为2/2/将它随机地分为两段.以X表示短的一段的长两条绳子长度均为2/将它们独立地自分成两段.以y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证y的概率密度为2(/一刃/2, 0 y/（2 2）齐(y)h(y)h0,解：(1)(1)根据题随机变fixfixU(OJ)所以概率密度为0 x/fx(X)= V0其他设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为XpXXpX则它们都在(0J)(0J)上服从均匀分布(2)(2)Y = min其分布函数为耳(y) = i -1一耳e)Ii-耳所以密度函数为0,34,34,设随机变fixfix和Y Y的联合分布律为
45、求/=max(X,Y)的分布律。(1)(1)(3)(3)求U = min(X,Y)的分布律。(4)(4)求w = X + Y的分布律。U = mnx(X.y)的分布律为解：(1)(1)、0 00 01 12 21/121/121 12 29 91/241/24V6V61/201/200 01/1201/1203 30 00 0PU =k = Pmax(X,Y = k = PX =k.Yk + Piy = k.X k. = 0J23如PU =2 = PIX = ZY2 + PY = ZX k + PlY = k.X k. A: =0,1,2如PV = 2 = PX = 2,r2) + P(y =
46、 2,X 2)=0 + 0 = 0,余类似。结果写成表格形式为u0 0Pk2W02W0(3)(3)134013401 1W = X + Y的分布律为PW = /t = PX + r = /t = PX = /./=lU)R =0,12345如.PW = 2=PX=!=2-/ = 1/24+ 1/4 +1/8 = 5/12. r-O其氽类似。结果写成表格形式为0 01 1W12W122 2沁3 3/12/12PkV12V12(第2 2罩习题解答完毕)第 3 章随机变量的数字特征1,解：根据题意，有V5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4, 5, 6, 7, 7o所以分布律为X4
47、5671 1PkV5E（X） = -（4 + 5 + 6 + 7 + 7） = 29/552,解：5个单词字母数还是4, 5, 6 , 7, 7。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为YPk（y）=455/296$2971的9的9亦4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x14） = 175/29.3,解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0,2台的概率分别为pFpFPl =Pl =5 5 = * = *P 2 2CC,o _ 1C：222C|：22所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为4,解：根据题意，有堆的概率得分超过6,而且得分为7的概率为两个玩的乘积（第一次6
48、点，第2次1点），其余类似；有5的概率得分小于6。分布律为123457891011Y121Pk61i616I616I36136I36136136得分的数学期望为=丄(1 + 2 + 3 + 4 + 5) +丄(7 + 8 + 9 + 10+11 + 12) =空(点)。636125,解：(1)根据X;r(/t),可得PX=5= = PX=6,因5! 6!此计算得到2 = 6.即X;r(6)。所以(X)=6o(2)根据题意，按照数学期望的公式可得*1*1JIJI兀父 兀* *1 1k兀因此期望存在。(利用了ln(l +兀)=丈(-1)上二)(不符书上答案) + 16,解:(1)一天的平均耗水量为
49、F FY 2Y 2-K/3+X 2+X 2-v/3-v/3-wo-woE(X)= jxf(x)dx= Jdx= Jd(c3)= o+ J -dx= J-2Xd(水M)Y Y-WC-WC()9()90 03 30 03 30 0= 0+j2C叫x = 6(百万升)。0 0(2)这种动物的平均寿命为E(X)= J,vJF(x)= JxJ(l-)=J/A= 10 (年)。-X5X 5 X4407,解：(%)=-II= j42x-(l-x)5j.v = J-7xj(l-x/U0r1I =-1X- (1- JV)6： +J 14兀(1一= J-2款/(I - = _ 2x(1 - x)7 L + Je-
50、)8,解：E(X) = J(x)i/x = J2x(1 -1 /X)i/x = (x -= 3-21n2o21nx)|*00解:EX) =0 Q!= J (1 + X)Jx +J(1 -X)Jx=J (l-x)J.v+J(l-x)Jx = 0o12 0 210,解：(sin -) = V sisin X C* X / X (1- p)* 22 J=X p X(1-/?)+X/?x(l-/?) =4/7(1-pXl-2/9 +2/7-) O(不符书上答案11,解：R的概率密度函数为/(%) =1 /a,Qxa0,其他所以(V)= flxijr = J 6a 24-wc-wc-wc-wc12,解：