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1、人教人教A必修必修2第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系3 3种关系种关系3 3种问题种问题角度问题角度问题平行问题平行问题垂直问题垂直问题直线和平面的位置关系平面和平面的位置关系直线和直线的位置关系知识网络知识网络直线和直线的位置关系直线和直线的位置关系3 3种关系种关系分类位置关系定义公共点共面直线相交直线有且仅有一个公共点有公共点平行直线共面且没有公共点异面直线异面直线不同在任何一个平面内没有公共没有公共点点共面直线共面直线2 2个平面的位置关系个平面的位置关系3 3种关系种关系位置关系定义公共点个数两个平面平行没有公共点0个两个平面相交 有一条公共直线无
2、数直直线线和和平平面面的的位位置置关关系系3 3种关系种关系1、直线在平面、直线在平面外，则二者的公共点个数是（外，则二者的公共点个数是（ ）A.一个一个 B.至少一个至少一个 C.至多一个至多一个 D.无数个无数个C练习练习2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ）平行或异面平行或异面线面平行线线平行面面平行平行问题平行问题3 3种问题种问题判定判定1判定判定2性质性质1性质性质2线面平行线线平行面面平行平行问题平行问题3 3种问题种问题判定判定1判定判定2性质性质1性质性质2直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理ab/abbaa平行问题平行
3、问题3 3种问题种问题注意注意3个条件要写全个条件要写全a线线线的证明是关键！线的证明是关键！如何证明两条直线平行？如何证明两条直线平行？(1)利用三角形的中位线利用三角形的中位线; (3)平行的传递性平行的传递性(2)利用平行四边形；利用平行四边形；平行问题平行问题3 3种问题种问题平行的传递性：平行的传递性：a b， a c，则，则b c如何证明一个四边形是平行四边形？如何证明一个四边形是平行四边形？（1 1）一组对边平行且相等；）一组对边平行且相等；（2 2）两组对边分别平行）两组对边分别平行平行问题平行问题3 3种问题种问题四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是平是平行四边
4、形，行四边形，E、F是所在侧棱中点，是所在侧棱中点，求证：求证：EF平面平面PAB证明：设证明：设PA的中点为的中点为M，连接，连接ME,MB,在在PAD中，中，ME平行且等于平行且等于AD的一半，的一半，故故ME平行且等于平行且等于BF，故四边形，故四边形MEFB是是平行四边形，于是平行四边形，于是EFMB,又又EF在平面在平面PAB外，外，MB在平面在平面PAB内，内，故故EF平面平面PAB平行问题平行问题3 3种问题种问题典型例题典型例题1.1.平行于同一平面的二直线的位置关系是平行于同一平面的二直线的位置关系是( ( ）（A A） 一定平行一定平行（B B） 平行或相交平行或相交（C
5、C） 相交相交（D D） 平行，相交，异面平行，相交，异面D 2 2 判断：判断： 直线直线aa平面平面，则直线，则直线a a平行于平行于内的任意直线内的任意直线错错平行问题平行问题3 3种问题种问题练习练习3 3、平行问题平行问题3 3种问题种问题B平行问题平行问题4 4种问题种问题5、平行于同一平面的二直线的位置关系是、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）（A） 一定平行一定平行（B） 平行或相交平行或相交（C） 相交相交（D） 平行，相交，异面平行，相交，异面D平行问题平行问题4 4种问题种问题6、点、点A是平面是平面 外的一点，过外的一点，过A和和平面平面 平行的直线有平行的直线
6、有 条。条。无数无数平行问题平行问题3 3种问题种问题线线垂直线面垂直面面垂直性质性质1 1判定判定2 2性质性质2垂直问题垂直问题3 3种问题种问题判定判定1 1线线垂直线面垂直面面垂直性质性质1 1判定判定2 2性质性质2垂直问题垂直问题3 3种问题种问题判定判定1 1直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。则直线与平面垂直。n, m , m与与n相交，相交，l m, l n, l 1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直
7、线L性质定理性质定理2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行垂直问题垂直问题3 3种问题种问题线线垂直平面几何的方法平面几何的方法立体几何的方法立体几何的方法1、勾股定理、勾股定理2、等腰（边）三角形底边、等腰（边）三角形底边上的中线与底边垂直上的中线与底边垂直3、正（长）方形的特点、正（长）方形的特点两条平行线中的一条与两条平行线中的一条与某直线，则另一条也垂某直线，则另一条也垂直于该直线直于该直线直线直线a与平面与平面垂直，则垂直，则a垂直于垂直于内的任意直线）内的任意直线）4、直径对的圆周角为、直径对的圆周角为90度度垂直问题垂直问题3
8、3种问题种问题在正方体在正方体AC1中，中，O为下底面的中心，为下底面的中心，求证：求证：AC面面D1B1BD证明：证明：ABCD为正方形，所以为正方形，所以AC BD,又因为在正方体中，又因为在正方体中，BB1平面平面ABCD，所以，所以AC BB1, 又又BDBB1=B,故故AC面面D1B1BD垂直问题垂直问题3 3种问题种问题典型例题典型例题（1）l , m l m（2） n, m , l m, l n, l （3）l , m l m（4）l /m , l m / 判断判断对对错错对对对对垂直问题垂直问题3 3种问题种问题如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的
9、一条垂线，则这两个平面互相垂直则这两个平面互相垂直ABDC两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理AB AB 垂直问题垂直问题3 3种问题种问题线线面面得到面得到面面面在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，111ACC AA BD平面平面求证：求证：ABCDA1B1C1D1垂直问题垂直问题3 3种问题种问题典型例题典型例题证明：因为是正方体，所以证明：因为是正方体，所以ACBDACBD，又又AA1AA1平面平面ABCDABCD，故，故AA1BDAA1BD，因为因为ACBD=O,ACBD=O,所以所以BDBD平面平面ACC1A1ACC1A1故
10、命题得证故命题得证O四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，直线是平行四边形，直线SCSC平面平面ABCDABCD，E E是是SASA的中点，的中点， 求证：平面求证：平面EBDEBD平面平面ABCDABCD. . F E S D C B A证明：连接证明：连接ACAC，BDBD，交点为，交点为F F，连接连接EFEF，EFEF是是SACSAC的中位线，的中位线， EFEF/SCSC. .直线直线EF平面平面ABCD直线直线EF在平面在平面EBD内内故平面故平面EBD平面平面ABCD垂直问题垂直问题3 3种问题种问题（1）两条异面直线成的角）两条异面直线成的角将两条异面直线平移为相交直线，所
11、成的不大于将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于90的角即为二者所成的角的角即为二者所成的角ab（1）作，作出所求的角；）作，作出所求的角；（2）证明该角是所求；）证明该角是所求；（3）在三角形中计算该角）在三角形中计算该角的大小或用余弦定理计算余的大小或用余弦定理计算余弦；弦；若异面直线若异面直线a，b成的角为直角，则称成的角为直角，则称a垂直垂直b，记，记为为ab成角问题成角问题3 3种问题种问题特殊角度的三角函数值特殊角度的三角函数值角0o30o45o60o90o120o135o150osin 0cos tan 21222312322211232221021 22 23 03313在
12、在存存不不3 1 33 成角问题成角问题3 3种问题种问题在求解异面直线所成的角时有时需要用到在求解异面直线所成的角时有时需要用到余弦定理余弦定理abcbaC2cos222 ABC中，中，abcC成角问题成角问题3 3种问题种问题例：例： 如图，在正方体如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，异面直线异面直线AC与与BC1所成角的大小是（所成角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90解：在图形中，将解：在图形中，将AC平行移平行移动到动到A1C1，再连接，再连接A1B，则，则A1BC1是一个等边三角形，是一个等边三角形，A1C1与与BC1所成的角为所成的角为60,所所以以AC与与B
13、C1所成角的大小也是所成角的大小也是60，选，选C.成角问题成角问题3 3种问题种问题（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？例例 正方形ABCDA1B1C1D1求：BB1CC1,所以所以A A1 1BBBB1 1为所求，为所求，大小为大小为4545BB1CC1,所以所以A A1 1B B1 1B B为所求，为所求，大小为大小为9090（3）A1B与B1C所成的角是多少度？A1BD1C,所以所以D D1 1CBCB1 1为所求，易为所求，易知知D D1 1B B1 1C C为正三角形，故所求角大为正三角形，故所求角大小为小为6060（1）A1B与CC1所成的角是多少度？成角问题成角问题3 3种
14、问题种问题1111ABCDA BC D中12,1AAABBC2、四棱柱、四棱柱 45求异面直线求异面直线A1B与与AD1所成的角的余弦所成的角的余弦成角问题成角问题3 3种问题种问题正方体中，正方体中，E,ME,M为所在棱中点，求为所在棱中点，求AEAE与与BMBM所成角的余弦所成角的余弦11222A F=A E=5aEF=2a( 5a) +( 5a) -(2a)4cosEAF=525a5a，由余弦定理成角问题成角问题3 3种问题种问题（2）线面角）线面角-直线和平面所成的角直线和平面所成的角 AlOB直线直线L是是 的斜线时的斜线时,作作AB于于B，直线直线L与平面与平面的交点是的交点是Ol
15、AOB（锐角）即为（锐角）即为 与与 所成的角所成的角l成角问题成角问题3 3种问题种问题00la与 所成角为090la与 所成角为直线与平面所成角直线与平面所成角斜线与平面所成角斜线与平面所成角注意注意:0090,00090,0,/ 时或ll ,时l成角问题成角问题3 3种问题种问题判断判断两平行线和同一平面所成的角相等两平行线和同一平面所成的角相等两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线直线是平行直线一条直线和两个平行平面所成的角相等一条直线和两个平行平面所成的角相等成角问题成角问题3 3种问题种问题（1）A1B与平面与平面ABCD所成
16、的角所成的角在正方体中，求在正方体中，求（2）A1B与平面与平面BDD1B1所成的角所成的角A1BA=45A1EB=30E成角问题成角问题3 3种问题种问题EFG正三棱柱，正三棱柱，AC=1,AA=2,求求AC与平与平面面ABBA成的角的正弦成的角的正弦解：取解：取AB的中点为的中点为D,则则CD垂直垂直于平面于平面ABBA,角角CAD为所求的角为所求的角103CD152sinCAD=AC5成角问题成角问题3 3种问题种问题3 3、二面角、二面角成角问题成角问题3 3种问题种问题成角问题成角问题3 3种问题种问题ABCDO 以二面角的棱上任意一点为以二面角的棱上任意一点为O端点端点, 在两个面
17、内在两个面内分别作垂直于棱的两条射线分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成这两条射线所成的的AOBAOB叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角求二面角即求其平面角二面角的范围是二面角的范围是0,平面角的特征平面角的特征（1）顶点在棱上；）顶点在棱上；（2）两条边分别在）两条边分别在2个平个平面内，且均垂直于棱；面内，且均垂直于棱；二面角的平面角二面角的平面角成角问题成角问题3 3种问题种问题正方体棱长为正方体棱长为2，求二面角，求二面角A-BC-B的正切的正切解：取解：取BC的中点的中点O，连，连AO，BO,AB=AC,所以所以AOBC,又因为是正方体，所以又因为是正方体，所以BOBC；故故AOB为所求二面角的平面角为所求二面角的平面角ABtan AOB= 2BO成角问题成角问题3 3种问题种问题二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小(往往要用锐角的往往要用锐角的三角函数或余弦定理）三角函数或余弦定理）一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”成角问题成角问题3 3种问题种问题