23变量间的相关关系1.ppt

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1、问题提出问题提出t57301p21.1.函数是研究两个变量之间的依存关系函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式的一种数量形式. .对于两个变量，如果对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系的关系就是一个函数关系. .2.2.在中学校园里，有这样一种说法在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题理学习就不会有什么大问题.”.”按照按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数这种说法，似乎学

2、生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？系吗？3.3.我们不能通过一个人的数学成绩是我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系之间是一种不确定性的关系

3、. .类似于类似于这样的两个变量之间的关系有很多，这样的两个变量之间的关系有很多，比如：粮食产量与施肥量，商品销售比如：粮食产量与施肥量，商品销售收入与广告经费支出等。收入与广告经费支出等。知识探究（一）：知识探究（一）：变量之间的相关关系变量之间的相关关系思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的考察下列问题中两个变量之间的关系：关系：（1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经费；（2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量；（3 3）人体内的脂肪含量与年龄）人体内的脂肪含量与年龄. . 这些问题中两个变量之间的关系是函这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？数关

4、系吗？ 思考思考2 2：上述两个变量之间的关系上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为是一种非确定性关系，称之为相关相关关系关系，那么相关关系的含义如何？，那么相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系做相关关系. .变量之间的相关关系变量之间的相关关系不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系；的关系；而相关关系是一种而相关关系是一种非确定非确定关系关系. .相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点：相同点：均是指两个变量

5、的关系均是指两个变量的关系现实生活中存在许多相关关系，现实生活中存在许多相关关系，在下列两个变量在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与体重之间的关系；人的身高与体重之间的关系；人的身高与视力之间的关系；人的身高与视力之间的关系；商品销售收入与广告支出经费之间的关系；商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；匀速行驶的车辆的行驶距离与时间匀速行驶的车辆的行驶距离与时间通过收集两个变量的大量

6、数据，进行统计和数通过收集两个变量的大量数据，进行统计和数据分析，找出其中的规律，对其相关关系的程据分析，找出其中的规律，对其相关关系的程度作出一定判断度作出一定判断. .由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，和有代表性所以样本数据应较大，和有代表性. .才能对它们才能对它们之间的关系作出正确的判断之间的关系作出正确的判断. .如何判断两个变量之间是否具有相关关系如何判断两个变量之间是否具有相关关系以及相关程度的强弱以及相关程度的强弱知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题问题】在一次对人体脂肪含量和年龄在一次对人体脂肪

7、含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：本数据：年龄 2323272739394141454549495050脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄 5353545456565757585860606161脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，肪含量不一定随年龄增长而

8、增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性表现出一定的规律性. .观察上表中的数观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？脂肪含量怎样变化？年龄 2323272739394141454549495050脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄 5353545456565757585860606161脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 3

9、5.235.2 34.634.6思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象直观的印象. .以横轴表示年龄，纵轴表示脂肪以横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？应的图形吗？ 年龄 2323272739394141454549495050脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5

10、26.326.3 28.228.2年龄 5353545456565757585860606161脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考3 3：上图叫做上图叫做散点图散点图，你能描述一，你能描述一下散点图的含义吗？下散点图的含义吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图的两个变量的一组数据图形，称为散点图. . 思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？年龄与人体脂

11、肪含量具有什么相关关系？ 思考思考5 5：在上面的散点图中，这些点散布在在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为这种相关关系，我们将它称为正相关正相关. .思考思考6 6：如果两个变量成如果两个变量成负相关负相关，从整，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？散点图有什么特点？ 一个变量随另一个变一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到中的点散布在从左上角到右下角的区域右下角的区域. .思考思考7 7：你能列举

12、一些生活中的变量你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗成正相关或负相关的实例吗? ? O注：若两个变量散点图呈上图，则不具注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系。有相关关系。020406080100120020406080100思考思考8：若两个变量散点图的变化趋势呈下图，若两个变量散点图的变化趋势呈下图，则它们具有怎么样的相关关系呢？则它们具有怎么样的相关关系呢？例例2 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：价格和房屋的面积的数据：房屋面积（平方米） 616170701151151101108080135135105105销售

13、价格（万元） 12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222 画出数据对应的散点图，并指出画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关相关还是负相关. . 正相关正相关理论迁移理论迁移例例1 1 在下列两个变量的关系中，哪些是在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关

14、系降雪量与交通事故的发生率之间的关系. .散点图散点图3).3).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一直线附近直线附近，变量之间就有变量之间就有线性相关关系线性相关关系 . .1).1).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线上函数曲线上, ,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有间具有函数关系函数关系2).2).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近, ,变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系。说明说明 散点图的特点散点图的特点：用来判断两个变量是否具：用来判断两个变

15、量是否具有相关关系有相关关系. .散点图散点图说明说明1 1对于两个变量之间的关系，有函数关系对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系定性关系，相关关系是一种非确定性关系. .3.3.一般情况下两个变量之间的相关关系一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调成正相关或负相关，类似于函数的单调性性. .2 2散点图能直观反映两个相关变量之散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法图是简单可行的办法.

16、 . 小结小结知识探究（一）：回归直线知识探究（一）：回归直线 思考思考1 1：一组样本数据的平均数是样本数一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？如何确定？它一定是散点图中的点吗？ ( , )x y思考思考2 2：在各种各样的散点图中，有些散点图在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点

17、？点？ 这些点大致分布在一条直线附近这些点大致分布在一条直线附近. .思考思考3 3：如果散点图中的点的分布，从整如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直，这条直线叫做线叫做回归直线回归直线. . 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系 有关说明有关说明知识探究（二）：回归方程知识探究（二）：回归方程 在直角坐标系中，任何一条直线都有相在直角坐标系中，任

18、何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为应的方程，回归直线的方程称为回归方回归方程程. .对一组具有线性相关关系的样本数对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计对总体进行估计. . 思考思考1 1：回归直线与散点图中各点的位置回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？应具有怎样的关系？ 整体上最接近整体上最接近 整体上最接近整体上最接近 采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方

19、法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 在图中选取两点画直线，使得直线在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 5

20、0 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 在散点图中多取几组点，确定几条直线的在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（设已经得到具有线性相关关系的变量的一组

21、数据：（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n） 当变量当变量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n时，可以得到：时，可以得到： 它与实际收集得到的它与实际收集得到的 之间偏差是：之间偏差是： (x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)这样，用这这样，用这n n个偏差的和来个偏差的和来刻画刻画“各点与此直线的整体各点与此直线的整体偏差偏差”是比较合适的。是比较合适的。niabxyii,2, 1niabxyiyyiii, 2 , 1)(iy| )(|abxyiiabxy设所求的回归直线方程为设所求的回归

22、直线方程为 其中其中a，b是待定系数。是待定系数。abxxii,abxx11,abxx22, 符号符号21)(niiiabxyQ即：)()()(2211abxyabxyabxyQnn这这n个偏差的和：个偏差的和：为了方便运算，人们更喜欢用：为了方便运算，人们更喜欢用：根据有关数学原理分析，当根据有关数学原理分析，当 时，总体偏差时，总体偏差 为最小，这样为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .21()niiiQyy xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121（其中，

23、（其中，b是回归方程的斜率，是回归方程的斜率，a是截距）是截距）abxy估计值样本数值yx最小二乘法的步骤：最小二乘法的步骤：（1）收集样本数据，（）收集样本数据，（xi，yi).（2）作散点图，确定）作散点图，确定x、y具有线性相关关系具有线性相关关系.iii(3)ybxaxxi1 2nybxai1 2n设回归直线方程 ，令 （ ， ， ）得到 （ ，）iii4yyybxai12n（ ）求偏差：- -（ ）（ ， ， ， ）21(5).ab() ,ab.niiiQyy求偏差平方和 （ ， ）这是一个关于待定系数 、 的二次多项式6abab（ ）求 、 ，使Q（ ， ）为最小值.例例2、（、（

24、07广东）下表提供了某厂节油降耗技广东）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨吨)与与相应的生产能耗相应的生产能耗y(吨标准煤吨标准煤)的几组对应数据的几组对应数据.X 3 4 5 6y2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出求出y关于关于x的线性回归方程的线性回归方程y= ;（3）已知该厂技改前）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能吨甲产品的生产能耗为耗为90吨标准煤，试根据（吨标准煤，试根据（2）求出的线性回）求出的

25、线性回归方程，预测生产归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：（参考数值：32.5+43+54+64.566.5）axb求样本数据的线性回归方程，可按下求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 ybxa=+第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 练习练习2-12-1、

26、 观察两相关量得如下数据观察两相关量得如下数据: :101022110,0,110,330,110.iiiiiixyyyxx求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程. .解：列表：解：列表：计算得：计算得：1011022110110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb .yx所求回归直线方程为所求回归直线方程为注意：求回归直线方程的步骤：注意：求回归直线方程的步骤：,;iiiiyyxx22111,nnniiiiiiixyyyxx第一步：列表第一步：列表第二步：计算：第二步：计算：第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b b，a a的值的值第四步：列出直线方程。第四

27、步：列出直线方程。练习练习2-2、:给出施化肥量对水稻产量给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：影响的试验数据：施化肥施化肥量量x15202530354045水稻产水稻产量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)画出上表的散点图画出上表的散点图; ;(2)(2)求出回归直线并且画出图形求出回归直线并且画出图形. . 从而得回归直线方程是从而得回归直线方程是 3 .399,30yx777221117000,1132725,87175iiiiiiixyx y2573075. 43 .399,75. 430770003 .399307871752ab4.75257yx解

28、：解：(1)(1)散点图（略）散点图（略）(2)(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格表中的数据进行具体计算，列成以下表格20475180001557512150912569004950 xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i( (图形略图形略) )故可得到故可得到4 4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计练习练习2-32-3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关

29、系。如果已测得炉料熔化完毕冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量时，钢水的含碳量X X与冶炼时间与冶炼时间y y（从炉料熔化完毕（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：（1 1）作出散点图，找规律。）作出散点图，找规律。（2 2）求回归直线方程。）求回归直线方程。（3 3）预测当钢水含碳量为）预测当钢水含碳量为160160时，应冶炼多少分时，应冶炼多少分钟？钟？解解: (1) : (1) 作散点图作散点图. .从图可以看出从图可以看出, ,各点分布在一各点分布在一条直线附近条直线附近, ,即它们线形相关即它们线形相关. .(2

30、)(2)列出下表列出下表, ,并计算并计算10101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQybxa10110221101.26710iiiiixybyxxx30.51.aybx 设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为其中其中a,ba,b的值使的值使的值最小的值最小. .所以回归直线的方程为所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(3)(3)当当x=160 x=160时时, 1.267.160-30.51=172, 1.267.160-30.51=172 y y归纳：归纳：1.1.求样本数据的

31、线性回归方程，可按下列步骤进行：求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , (列表）列表） 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 ybxa=+第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近分布在回归直线附近. .对同一个总体，不同的样本对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有

32、数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性随机性. . 3.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具有线性相，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归回归方程方程”是没有实际意义的是没有实际意义的. .因此，对一组样本数据，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程求回归方程. .基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线形相关线形相关线形回归方程线形回归方程