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1、2.3等 比 数 列 2.3.1等比数列的概念一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加倍，问：分裂一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加倍，问：分裂5 5次后次后有多少个细胞？（如图）有多少个细胞？（如图）观察发现细胞分裂个数组成了下面的数列：观察发现细胞分裂个数组成了下面的数列： n2,8,4,2问题情境问题情境:情境一情境一庄子庄子天下篇天下篇中写到：中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”。情境二情境二: :设木棰长度为设木棰长度为1木棰木棰长度长度第一天取半第一天取半第二天取半第二天取半第三天取半第三天取半第四天取半第四天取半.121418116.第第 天
2、取半天取半n观察上述情境中得到的这几个数列，看有观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点何共同特点? 2, 4, 8, 16, ; ;81,41,21, 1共同特点：共同特点：从从第二项第二项起，每一项与起，每一项与前一项前一项 的的比比都等于都等于同一个常数同一个常数1, 20, 202, 203,； -2, 2, -2, 2, . 1. 等比数列的定义等比数列的定义: 一般地，若一个数列从一般地，若一个数列从第二项第二项起，每一项与它的起，每一项与它的前一前一项项的的比比等于等于同一个常数同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数列等比数列.这个这个常数常数叫等比数列的叫等比数
3、列的公比公比，用字母，用字母q 表示表示. (q0)知识探究知识探究1nnaqa(q为常数，且为常数，且q0 ；nN*)qaann 1(q为常数，且为常数，且q0 ；n22且且nN*)或或思考思考:(1)(1)等比数列中有为等比数列中有为0 0的项吗的项吗? ?(2)(2)公比公比q q能是能是0 0吗？吗？(3)(3)公比为公比为1 1的数列是什么数列？的数列是什么数列？(4)(4)既是等差数列又是等比数列的数列既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？存在吗？是什么样的数列？是什么样的数列？( (5 5) ) 常数列都是等比数列吗？常数列都是等比数列吗？(6) (6) 若一数列不是从第若一数
4、列不是从第2 2项起而是从第项起而是从第3 3项项或第或第4 4项开始，后项与前项的比值等于同项开始，后项与前项的比值等于同一个常数，此数列是等比数列吗？一个常数，此数列是等比数列吗？没有没有,每一项都不为每一项都不为0非零常数列非零常数列非零的常数列非零的常数列不一定，各项为不一定，各项为0的常数列除外的常数列除外不能不能不是不是思考：思考：如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，成等比数列，那么那么G应该满足什么条件？应该满足什么条件？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列.a, G, b成等比数列成等比数列,2abG 则则,G
5、baG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比数列得：成等比数列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数成等比数列，那么称这个数列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：2(0 )(0 )GabGa ba bGa ba b是、的等比中项即：即： 注意：注意：若若a，b异号则无等比中项；若异号则无等比中项；若a，b同号则有两同号则有两个等比中项个等比中项.14580（）求与的等比中项babccab求的等比中项，且与是）已知（,272603b练习练习： 以以a1为首项，为首
6、项，q为公比的等比数列为公比的等比数列an的通项公式为：的通项公式为：4.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：等比数列通项公式的推广：等比数列通项公式的推广：等比数列通项公式的应用：知三求一等比数列通项公式的应用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，等比数列的公比公式：等比数列的公比公式：1*11(,0)nnaaqa qnN；*(,0,)n mnmmaaqaqm nN； 例例1、一个等比数列的第、一个等比数列的第3项与第项与第4项分别项分别是是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q ，那么
7、，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1a1831qa1221qa探索性问题探索性问题这种解法这种解法错因何在错因何在?思考思考例例2 在在 2 和和 32 之间插入之间插入 3 个数个数 x,y,z, 使这使这5个数成等比数列个数成等比数列,求中间数求中间数 y错解错解 由等比中项得由等比中项得:8 8y y6 64 43 32 22 2y y2 2+正解正解8 8y y3 32 2z z, ,y y, ,x x, ,2 2, ,5 54 43 32 21 1a a, ,a a
8、, ,a a, ,a a, ,a a忽略忽略了等比数列的了等比数列的奇数项奇数项(偶数项偶数项)必然同号必然同号的特征的特征.反思反思0 0a a1 10 0a a5 50 0q q0 0q q1 13 3a aa a2 2q q思考思考探索性问题探索性问题忽略忽略了等比数列的了等比数列的奇数项奇数项(偶数项偶数项)必然同号必然同号的特征的特征.反思反思例例3 已知已知 a,b,c 成等比数列成等比数列,请判断关于请判断关于x的方程的方程根的情况根的情况.0 0c cb bx xa ax x2 2错解错解 a,b,c 成等比数列成等比数列.a ac cb b2 20 0- -3 3a ac c
9、4 4a ac cb b2 2该该方程有两个相等根或无实根方程有两个相等根或无实根.正解正解0 00 0c c0 0, ,a a该该方程无实根方程无实根.忽略忽略了等比数列的了等比数列的任意一项都不为零任意一项都不为零的特征的特征.反思反思例例2 在在 2 和和 32 之间插入之间插入 3 个数个数 x,y,z, 使这使这5个数成等比数列个数成等比数列,求中间数求中间数 y这种解法这种解法错因何在错因何在?思考思考课堂小结课堂小结等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数通项通项公式公式1通项通项公式公式2中项中项()nmaan m d*( ,)n mN从第从第2项起项起,每一项
10、与它每一项与它前前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d )d 可正、可负、可零可正、可负、可零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数公比公比(q )q可正、可负、可正、可负、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中项2(0)GabGabab是 、 的等比中项160a,20a63 在等比数列在等比数列an中，已知中，已知 求求an.变式、变式、等比数列等比数列an中中,a1=2,q=-3,求求a8与与an.变式变式2、等比数列等比数列an中中,a1=2, a9=32,求求q.变式、变式、等比数列等比数列an中中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求求q的值的值.变式、变式、等比数列等比数列an中中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求求n.等比数列中，等比数列中，a15, 且且2an13an，求，求an.变式变式5、 作业