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1、一、概念与公式一、概念与公式1.定义定义2.通项公式通项公式3.前前 n 项和公式项和公式二、等比数列的性质二、等比数列的性质 1.首尾项性质首尾项性质:有穷等比数列中有穷等比数列中,与首末两项距离相等的与首末两项距离相等的两项积相等两项积相等,即即:特别地特别地,若项数为奇数若项数为奇数,还等于中间项的平方还等于中间项的平方,即即:a1an=a2an-1=a3an-2=.若数列若数列 an 满足满足:=q(常数常数),则称则称 an 为等比数列为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m .na1 (q=1);Sn=a1-anq 1-q=(q1).a1(1-qn)1-q a1an
2、=a2an-1=a3an-2=a中中2.特别地特别地,若若 m+n=2p,则则 aman=ap2.2.若若 p+q=r+s(p、q、r、sN*),则则 apaq=aras.3.等比中项等比中项 如如果果在在两两个个数数 a、b 中中间间插插入入一一个个数数 G,使使 a、G、b 成成等等比比数列数列,则则 G 叫做叫做 a 与与 b 的等比中项的等比中项.5.顺次顺次 n 项和性质项和性质 4.若数列若数列 an 是等比数列是等比数列,m,p,n 成等差数列成等差数列,则则 am,ap,an 成等比数列成等比数列.6.若数列若数列 an,bn 是等比数列是等比数列,则数列则数列 anbn,也也
3、是等比数列是等比数列.anbnG=ab.若若 an 是公比为是公比为 q 的等比数列的等比数列,则则 ak,ak,ak 也成也成等比数列等比数列,且公比为且公比为 qn.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 7.单调性单调性 8.若数列若数列 an 是等差数列是等差数列,则则 ban 是等比数列是等比数列;若数列若数列 an 是正项等比数列是正项等比数列,则则 logban 是等差数列是等差数列.三、判断、证明方法三、判断、证明方法1.定义法定义法;2.通项公式法通项公式法;3.等比中项法等比中项法.a10,q1,a10,0q0,0q1,a11,an 是递减数列是递减数列;q=1 a
4、n 是常数列是常数列;q0)的的等比数列等比数列.(1)求使求使 anan+1+an+1an+2an+2an+3(n N*)成立的成立的 q 的的取值范围取值范围;(2)若若 bn=a2n-1+a2n(n N*),求求 bn 的通项公式的通项公式.(1)0q0.后三数成等比数列后三数成等比数列,其最后一个数是其最后一个数是 25,解得解得:a=16,d=4.故所求四数分别为故所求四数分别为 12,16,20,25.a-d+a+a+d=48,且且(a+d)2=25a.a-d=12,a+d=20.课后练习题课后练习题 2.在等比数列在等比数列 an 中中,a1+a6=33,a3a4=32,an+1
5、an.(1)求求 an;(2)若若 Tn=lga1+lga2+lgan,求求 Tn.解解:(1)an 是等比数列是等比数列,a1a6=a3a4=32.又又a1+a6=33,a1,a6 是方程是方程 x2-33x+32=0 的两实根的两实根.an+1an,a60,bn0,由由式得式得 an+1=bn bn+1.(1)证证:依题意有依题意有:2bn=an+an+1,an+1=bn bn+1.2222从而从而当当 n2 时时,an=bn-1 bn,代入代入得得 2bn=bn-1 bn+bn bn+1.22bn=bn-1+bn+1(n2).bn 是等差数列是等差数列.(2)解解:由由 a1=1,b1=
6、2 及及两式易得两式易得 a2=3,b2=2.32从而从而 bn=b1+(n-1)d=(n+1).22故故 an+1=(n+1)(n+2).12 an=n(n+1)(n2).12而而 a1=1 亦适合上式亦适合上式,an=n(n+1)(n N*).12 Sn=2(1-+-+-)n11212131 n+1 2n n+1=.8.设数列设数列 an 的前的前 n 项和为项和为Sn(其中其中,n N*),若若 Sn=(c+1)-can,其中其中 c 为不等于为不等于-1 和和 0 的常数的常数.(1)求证求证 an 是等比数列是等比数列;(2)设数列设数列 an 的公比的公比 q=f(c),数列数列
7、bn 满足满足:b1=,bn=f(bn-1)(其中其中,n N*,且且 n2).求数列求数列 bn 的通项公式的通项公式.13(1)证证:Sn=(c+1)-can(n N*),a1=(c+1)-ca1.(c+1)a1=c+1.c-1,a1=1.当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=can-1-can(c+1)an=can-1.an an-1 cc+1 =,这是一个与这是一个与 n 无关的常数无关的常数.c-1 且且 c 0,(2)解解:由由(1)知知q=f(c)=,cc+1bn=f(bn-1)=(n N*,且且n2).bn-1 bn-1+1 bn-11bn 1 =+1.bn-11bn 1即即 -=1.是以是以 =3 为首项为首项,1 为公差的等差数列为公差的等差数列.bn 1b1 1bn 1 =3+(n-1)1=n+2.an 是以是以 1 为首项为首项,为公比的等比数列为公比的等比数列.c+1cbn=.n+21