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1、向量的数乘运算向量的数乘运算1. 1.向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则作法:在平面中任取在平面中任取一点一点O,O,o回顾旧知回顾旧知:过过O作作OA= a过过A作作AB= b则则OB= a+b.a+bbaA如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a a+ +b b. .bBa首尾相接首尾连首尾相接首尾连2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点在平面中任取一点O,o以以OA,OBOA,OB为边作为边作平行四边形平行四边形C如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.baaAbB过过O作作OA= a过过
2、O O作作OB=OB= b ba+b则对角线则对角线OC= OC= a+ba+b共起点共起点3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在平面中任取一点在平面中任取一点o o,过过O O作作OA=OA= a a过过O O作作OB=OB= b boaAbB则则BA= BA= a-ba-ba-b共起点共起点实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3探索探索1:根据向量加法根据向量加法的法则可得的法则可得3a3a3aOaaaABC3a 由图
3、可知，向量由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a，即，即OC=3a. 显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.PQaMaNa3a由图可知，由图可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a)记作记作-3 a，即，即PN= - 3a显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。| | | |;aa（1
4、 1） 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：aa（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点那些不同点? a 是一个向量；是一个向量； a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。a)2
5、(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2探索探索2:设设 为实数，那么为实数，那么, ( (1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ;( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ;( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. .特别的，我们有特别的，我们有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = ( (- -a a) ), , ( (a a- -b b) )= = a a- - b b. .a a 、 b b第一分配律第一分配律第二分
6、配律第二分配律 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算向量的线形运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=例例1.计算：计算：( 3) 4 ;3() 2();(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3) 1122 5352ababc解：1 2 263 )3( 342 );(2)3()2(2 )4()0.abcabcxaxaxabx巩固练：计算：（） （已知求习cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（ba
7、x43 探索探索. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3ABDEC 与与 共线共线 AEACDEADAE 解：解：思考思考:向量共线定理向量共线定理 对于向量对于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一个实数，如果有一个实数 ，使使 b = a ，那么由实数与向量的积的定义知，那么由实数与向量的积的定义知， a与与b共线共线. 反过来，已知向量反过来，已知向量a与与b共线，共线， a 0 ，且向量，且向量b的长度是向量的长度是向量a的的倍，即倍，即| b | a |= ，那么当，那么当向量向
8、量a与与b同方向时，有同方向时，有b = a ，当向量，当向量a与与b反方反方向时，有向时，有b = - a . 也就是说：如果也就是说：如果a与与b共线，那么有且只有一共线，那么有且只有一个实数个实数 ，使，使b = a .例例2:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点， ，求证求证M、N、C三点共线三点共线.BDBN31 AMBCDN613121 1 1 MM C C = =MM N N3 3 所以所以M.N.C三点共线三点共线练习1 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1练习2: e1、e2不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是否共线。解：假设,a与b共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样不存在。 a与b不共线。练习3:设两非零向量a和b不共线，如果ABab，CD3（ab），BC=2a+8b求证：A、B、D三点共线。