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1、向量的数乘运算向量的数乘运算aBaCaAO-aPQ-aM-aN相同向量相加以后，相同向量相加以后，相同向量相加以后，相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？并说明它们的几何意义？并说明它们的几何意义？探索探索:（1 1）一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向
2、相反。的方向相反。特别的，当特别的，当 时，时，a 是一个向量；是一个向量；a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。=探索探索2:(1)(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2a a)和和和和(6(6a a)(a a为非零向量为非零向量为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。(2)(2)已知向量已知向量已知向量已知向量 a,ba,b，求作向量求作向量求作向量求作向量2(2(a+ba+b)和和和和2 2a+a+2 2b b，并并并并进行比较。进行比较。进行比较。进行
3、比较。设设 为实数，那么为实数，那么特别的，我们有特别的，我们有第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算向量的线形运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有例例1.计算：计算：思考思考:问题问题2：如果：如果 向量向量a与与b共线共线 那么，那么，b=a？问题问题1：如果：如果 b=a,那么，向量那么，向量a与与b是否共线？是否共线？对于向量对于向量 a(a0),b，以及实数以及实数,向量向量 与与非零非零向量向量 共线共线的的充要条件充要条件是有是有且只有一个实数且只有一个实数，使得使得 =
4、练习练习如图：已知如图：已知 ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ABDEC 与与 共线共线 解：解：、已知非零向量、已知非零向量e1 与与e2 不共线？不共线？理论迁移理论迁移2b3babO O例例1 1 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a，b b，试作试作 OA=OA=ab b，OB=OB=a2 2b b，OC=OC=a3 3b b.你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？A AB BC Cab例例2:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一
5、点，求证求证M、N、C三点共线三点共线.AMBCDN提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB =a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b 所以所以M.N.C三点共线三点共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=:AB=BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0)b=a 向量向量a与与b共线共线评注评注:三点共线的逆用三点共线的逆用