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1、追及和相遇问题追及和相遇问题必修必修1 第二章第二章 直线运动专题直线运动专题情境设置情境设置 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析【思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？分析：汽车追上自行车之前，分析：汽车追上自行车之前， v汽汽v自自时时 x变小
2、变小结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：匀速物体时，追上前具有最大距离的条件： 两者速度相等两者速度相等一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析【思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最
3、远？此时距离是多少？解法一解法一 物理分析法物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系）（速度关系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sx= v自自t at2/2=62 3 22 /2=6m一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析【思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过
4、多长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？解法二解法二 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远x=x1x2=v自自t at2/2 （位移关系）（位移关系） x=6t 3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m
5、/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析【思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？解法三解法三 用图象求解用图象求解v/（ms-1）1260t/s42V汽汽V自自t=v自自/a= 6 / 3=2 smtt6622126v21vs自自 在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽时，自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，
6、所以部分）达最大，所以一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？是多少？ 方法方法2：由图可看出，在：由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，
7、两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s 解：解：方法方法1：汽车追上自行车时，汽车追上自行车时， 二车位移相等（位移关系）二车位移相等（位移关系）则则 vt=at2/26t= at2/2， t=4 s v= at= 34=12 m/s C注意注意： 分析相遇问题时，一定要分析所需满足分析相遇问题时，一定要分析所需满足的两个关系：的两个关系： 1.两个物体运动的时间关系两个物体运动的时间关系;2.两个物体相遇时必须处于同一位置。两个物体相遇时必须处于同一位置。 即：两个物体的位移关系即：两个物体的位移
8、关系 小结：追及和相遇问题的分析方法小结：追及和相遇问题的分析方法 分析两物体运动过程，画运动示意图分析两物体运动过程，画运动示意图由示意图找两物体位移关系由示意图找两物体位移关系据物体运动性质列据物体运动性质列(含有时间的含有时间的) 位移方程位移方程例例2、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相的加速度前进，车后相距距x0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为
9、，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：x车车+x0= x人人即：即： at22 + x0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐
10、渐增大。因此，速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人当人车速度相等时，两者间距离最小。车速度相等时，两者间距离最小。at= v人人 t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18mx=x0+x车车x人人=25+1836=7m追及问题中的临界条件追及问题中的临界条件: :速度小者追速度大者速度小者追速度大者, ,追上前两个物体速追上前两个物体速度相等时度相等时, ,有最大距离有最大距离; ;速度大者减速追赶速度小者速度大者减速追赶速度小者, ,追上前在两追上前在两个物体速度相等时个物体速度相等时,
11、,有最小距离有最小距离. .即必须在此即必须在此之前追上之前追上, ,否则就不能追上否则就不能追上. . 例例3.3. 在平直公路上有两辆汽车在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，平行同向行驶，A车以车以vA=4m/s 的速度做匀速直线运动，的速度做匀速直线运动，B车以车以vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当的速度做匀速直线运动，当B车行驶到车行驶到A车车前前x=7m处时关闭发动机以处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上车经多长时间可追上B车？车？ 分析：分析：画出运动的示意图如图所示：画出运动的示意图
12、如图所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上处追上处a= -2m/s2A A车追上车追上B B车可能有两种不同情况：车可能有两种不同情况：B B车停止前被追及和车停止前被追及和B B车停止后被追及。车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。判断。解答：解答：设经时间设经时间t 追上。依题意：追上。依题意：vBt + at2/2 + x = vAt 10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B车刹车的时间车刹车的时间 t= vB / a =5s显然，显然，B车停止后车停止后A再追上再追上B。
13、B车刹车的位移车刹车的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m A车的总位移车的总位移 xA=xB+x=32m t =xA/vA=32/4=8s思考：思考：若将题中的若将题中的7m改为改为3m，结果如何？，结果如何？答：答：甲车停止前被追及甲车停止前被追及例例4.汽车正以汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动的速度在平直公路上做匀速直线运动,突突然发现正前方然发现正前方10m处有一辆自行车以处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做的速度同方向做匀速直线运动匀速直线运动,汽车立即关闭油门汽车立即关闭油门,做加速度为做加速度为6m/s2的匀减的匀减速运动速运动,问：问：（1）汽车能否
14、撞上自行车）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？与自行车间的最近距离为多少？（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？ 汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车能满足汽车恰好不碰上自行车v汽汽= 10m/sv
15、自自= 4m/s10m追上处追上处a= -6m/s2分析：分析：画出运动的示意图如图所示画出运动的示意图如图所示解：解：（1）汽车速度减到汽车速度减到4m/s时运动的时间时运动的时间和发生的位移分别为和发生的位移分别为t=(v自自- v汽汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移这段时间内自行车发生的位移x自自= v自自t=4m因为因为 x0+x自自x汽汽所以，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车间的最近距离为x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m
16、=7m（2）要使汽车与自行车不相撞）要使汽车与自行车不相撞 则汽车减速时它们之间的距离至少为则汽车减速时它们之间的距离至少为 x=x汽汽x自自=（7-4）m=3m分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意：1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系（1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件时满足的临界条件，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。等。（2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.若被追赶的物体做若被追赶的物体做匀减速运动匀减速运动，一定要注意，一定要注意，追上追上前该物体是否停止运动前该物体是否停止运动。3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如题目中隐含条件，如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。临界条件。