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1、13.2 13.2 三角形全等的条件三角形全等的条件探究探究 606060可以发现只给一个可以发现只给一个条件画出的三角形条件画出的三角形不能保证一定全等不能保证一定全等探究探究 303030303050502cm2cm4cm4cm可以发现给出可以发现给出两个条件时画出两个条件时画出的三角形也不能的三角形也不能保证一定全等。保证一定全等。一、一、“SSS” 判定判定1：三边对应相等的两个三角：三边对应相等的两个三角形全等。简称形全等。简称“边边边边边边”（SSS）通过作图法验证通过作图法验证SSS画一个三角形与已知三角形全等画一个三角形与已知三角形全等 已知任意已知任意ABCABC，画一个，画
2、一个ABCABC，使使AB=ABAB=AB，AC=ACAC=AC，BC=BCBC=BC CABCAB画法：画法：1 1画线段画线段AB=ABAB=AB2 2分别以分别以AA、BB为圆心，为圆心，ACAC、BCBC为半径画为半径画弧，两弧相交于点弧，两弧相交于点CC3 3连结连结ACAC、BCBC，得，得ABCABCABC ABC ABCABC一、一、“SSS” 例例1、已知：、已知：AB=DC，AD=BC，求证：，求证：A=C ABCD分析：要证明分析：要证明AACC，可设法使它们分别，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连结在两个三角形中，为此，只要连结BDBD即可即可 证明：证明：连
3、结连结BD在在BAD和和DCB中，中， BAD DCB(SSS) A=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)一、一、“SSS” 例例2 2、如图，、如图，ABCABC是一个钢架，是一个钢架，AB=ACAB=AC，ADAD是连结点是连结点A A与与BCBC中点中点D D的的支架支架求证：求证：ADBCADBC一、一、“SSS” 证明：证明：在在ABDABD和和ACDACD中，中， ABDABDACD(SSS)ACD(SSS) 1=1=2(2(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) ADADBC(BC(垂直定义垂直定义) )一、一、“SSS” 例例3、如图，、如图，AB=D
4、E，CD=FA，BF=CE，BF/EC，求证：求证：AF/CD 一、一、“SSS” ABCDEF例例4、如图，、如图，E是是AD上的一点，上的一点，AB=AC，AE=BD，CE=BD+DE，求证：求证：CED=B+ C 一、一、“SSS” ABCDE1、如图，点、如图，点B、E、C、F在同一条在同一条直线上，直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：，求证：AB/DE，AC/DF 练习练习ABCDEF一、一、“SSS” 练习练习2、如图，已知、如图，已知AC=BD，AD=BC，求证：求证： ACB= BDA ABCD一、一、“SSS” 证明三角形全等的注意事项证明三角形全等的注意事项3
5、. 大括号里按照所用公理的边角按顺序写大括号里按照所用公理的边角按顺序写.2. 证明时注意三角形的对应顶点写在对应证明时注意三角形的对应顶点写在对应位置上位置上.1. 所有全等的准备工作放在前面写所有全等的准备工作放在前面写.一、一、“SSS” 二、二、“SAS”判定判定2、两边和它们的夹角对应相、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简称等的两个三角形全等。简称“边角边角边边”（SAS） 如图如图1 1，ABCABC是任意一个三角形画是任意一个三角形画ABCABC，使，使AAAA，ABABABAB，ACACACAC 3.3.连结连结BCBC，得，得ABCABCCABAMN如图如图1CB2
6、.2.在射线在射线AMAM、ANAN上分别取上分别取 ABABABAB，ACACACAC画法：画法：1.1.画画MANMANA AABC ABC ABCABC二、二、“SAS”判定判定2、两边和它们的夹角对应相、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简称等的两个三角形全等。简称“边角边角边边”（SAS） 例例5、如图，、如图，AC=AD，CAB=DAB，求证：求证：ACB ADB ABCD二、二、“SAS”例例6、如图，、如图，ADBC，AD=CB，AE=CF，求证：求证：BE=DF ABCDEF二、二、“SAS”例例7、如图，已知、如图，已知EBAD于于B，FCAD于于C，且且EB=FC
7、，AB=CD，求证：求证： E= F EFABCD二、二、“SAS”例例8、AB=CD，BE=DF，B=D，求证：求证：（1）AF=CE，（2）AFCEABCDEF二、二、“SAS” 3、如图，在、如图，在ABC中，中，延长延长AC边上的中线边上的中线BD到到F，使使DF=BD，延长，延长AB边上的中线边上的中线CE到到G，使，使EG=CE，求证：求证：AFAG 练习练习ABCDEFG二、二、“SAS” 4、如图，在、如图，在AB、AC上上各取一点各取一点E、D，使，使AE=AD，连结，连结BD、CE相交于点相交于点O，连结连结AO，1=2，求证：求证：B=C 练习练习ABCDEO12二、二、
8、“SAS” 由由“两边及其中一边的对两边及其中一边的对角对应相等角对应相等”的条件能判定两个三的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？角形全等吗？为什么？ ABCABC思考思考 以以3cm、4cm为三角形的两边，长为三角形的两边，长度度3cm的边所对的角为的边所对的角为4545 ，情况又，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？怎样？动手画一画，你发现了什么？ABC3cm4cm453cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两个三两边及其一边所对的角相等，两个三角形角形不一定不一定全等全等 做一做做一做B 步骤：步骤：1.画一线段画一线段AC,使它等使它等于于4cm 2.画画 CAM= 4545
9、3 3. .以以C C为圆心为圆心, 3cm, 3cm长为半径画长为半径画弧弧, ,交交AMAM于点于点B B 4 4. .连结连结CBCB ABC ABC 就是就是所求做的三角形所求做的三角形 显然： ABC ABC与与 ABC ABC不全等不全等和和BB、CBCB与与 ABCABC二、二、“SAS”三、三、“ASA”与与“AAS”判定判定3、两角和它们的夹边对应相、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简称等的两个三角形全等。简称“角边角边角角”（ASA）（通过作图法验证）（通过作图法验证）判定判定4、两角和其中一角的对边对、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称应相等的两
10、个三角形全等。简称“角角边角角边”（AAS） 三、三、“ASA”与与“AAS”例例9、如图，已知：、如图，已知：AB=AC，点，点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于点相交于点O，B=C，求证：求证：BD=CE ABCDEO证明证明：在在ADCADC和和AEBAEB中，中， ACDACDABE(ASA)ABE(ASA) AD=AE(AD=AE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )又又 AB=ACAB=AC， BDBDCECE三、三、“ASA”与与“AAS”ABCDEO例例1010、如图，、如图，ABCABCABC, ABC, ADAD、ADAD分别是分别是A
11、BCABC和和ABCABC的高的高求证：求证：AD=ADAD=AD三、三、“ASA”与与“AAS”证明：证明：ABCABCA AB BC C，AB=AAB=AB B，B=B=B B( (全等三角形的对应边、对全等三角形的对应边、对应角相等应角相等) )ADAD、A AD D分别是分别是ABCABC、A AB BC C的高的高( (已知已知) )ADB=ADB=A AD DB B=90=90在在ABDABD和和A AB BD D中，中， ABDABDA AB BD D(AAS)(AAS)AD=AAD=AD D( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )三、三、“ASA”与与“AAS”
12、三、三、“ASA”与与“AAS”例例11、如图，、如图，ABC中，中，BAC=90 ，AB=AC，直线，直线MN过过点点A，BD MN于于D，CE MN于于E，求证：求证：DE=BD+CE NMEDCBA1234三、三、“ASA”与与“AAS”例例12、如图，已知、如图，已知AD=AE， B= C， AFB= AGC，求证：，求证：AB=AC ABCDEFG三、三、“ASA”与与“AAS” 5、已知四边形、已知四边形ABCD中，中，AB/CD，AD/BC，求证：，求证：AB=CD，AD=BC 6、如果、如果ABC ABC，AD与与AD分别是两个三角形的角平分线，分别是两个三角形的角平分线，求证
13、：求证：AD=AD 练习练习探究探究两个直角三角形中，给出几组对应两个直角三角形中，给出几组对应相等的条件，就可以判断这两个直相等的条件，就可以判断这两个直角三角形全等？角三角形全等？ 1、两条直角边分别对应相等；、两条直角边分别对应相等；2、一边一锐角分别对应相等。、一边一锐角分别对应相等。如果满足斜边和一条直角边对应相如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？等，这两个直角三角形全等吗？通过作图来验证通过作图来验证四、四、“HL”（Rt）判定判定5、斜边和一直角边对应相等、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称的两个直角三角形全等。简称“斜斜边直角边边直角边”（H
14、L） 例例13、如图，、如图，AB AC，AB/CD，AC=CD，BC=DE，BC与与DE相交于点相交于点O，求证：求证：DE BC ABCDEO四、四、“HL”（Rt）例例14、已知、已知ABC中中AB=AC，BAC=90 ，若，若BC=10cm，在，在BC上截取上截取BD=AB，过过D作作DEBC，交交AC于于E，试求试求DEC的周长的周长 ABCDE四、四、“HL”（Rt）练习练习7、如图：线段、如图：线段AB与与CD交于点交于点O，AB=CD，且，且CA AB，BD CD，求证：求证：AC=BD ABCDO五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题例例15、判断题、判断题（1）判定两个三
15、角形全等必须至少要）判定两个三角形全等必须至少要有一边相等；有一边相等；（2）有两角一边分别相等的两个三角）有两角一边分别相等的两个三角形全等；形全等；（3）有一条边及这边上的高与中线都）有一条边及这边上的高与中线都对应相等的两个三角形全等；对应相等的两个三角形全等；（4）周长和面积都相等的两个三角形）周长和面积都相等的两个三角形全等全等 五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题例例16、如图，已知、如图，已知ABC，分别以，分别以AB，AC为边向形外作正为边向形外作正ABD和和正正ACE，求证：，求证：CD=BE ABCDE五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题例例17、如图，、如图，AB
16、=AC，AD=AE，AF BD交交BD延长线于延长线于F，AG CE交交CE延长线于延长线于G，求证：求证：AF=AG ABCDEFG五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题例例18、如图，、如图，ABC中，中，AD是角是角平分线，平分线，DEAC交交AB于点于点E，EFAD，垂足为，垂足为G，交，交BC的延长的延长线于点线于点F。求证：。求证：CAF=B ABCDEFG五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题例例19、如图，已知：、如图，已知：AB/CD，BE，CE分别为分别为 ABC， BCD的平分线，的平分线，点点E在在AD上，求证：上，求证：BC=AB+CD CBADE五、全等三角形综
17、合题五、全等三角形综合题例例20、如图，已知：、如图，已知：ABCD是正方是正方形，形，E在正方形内，在正方形内， EAB= EBA=15 ，求证：，求证：ECD是等边三角形是等边三角形 ABCDE五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题 8、如图，已知：、如图，已知：ABC和和BDE是等边三角形，是等边三角形，D在在AE延长线上，延长线上，求证：求证：BD+DC=AD 练习练习ABCDE五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题 9、如图，已知、如图，已知AB=CD，AD=BC，AC与与BD交于点交于点O，求证：，求证：O是是AC和和BD的中点的中点 练习练习ABCDO五、全等三角形综合题五、全等三角形综合题 10、如图，已知：如图，已知：AD是是ABC的中线，且的中线，且CD=AB，AE是是ABD的中线，求证：的中线，求证：AC=2AE练习练习ABCDE