学案1函数及其表示.ppt

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1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行(1)(1)理解函数的概念；了解构成函数的要素理解函数的概念；了解构成函数的要素, ,会求一些简单函数的定义域和值域会求一些简单函数的定义域和值域; ;了解映了解映射的概念射的概念. .(2)(2)理解函数的三种表示方法（图象法、列理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数单情境中的函数. .(3)(3)了解简单的分段函数；能写出简单情境了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应中

2、的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象（不要求根据函的函数值，会画函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）数值求自变量的范围）. .返回目录返回目录 名师伴你行 1.在高考试题中三种题型都可能出现在高考试题中三种题型都可能出现,以选择、填空以选择、填空为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查力的考查. 2.对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查求函数解析式等仍会重点考查.也有可能把定义一种新运也有可能把定义一种新运算作为考查的目的

3、算作为考查的目的. 3.近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重的一些实际问题是高考的重中之重.返回目录返回目录 1.1.函数的基本概念 (1)函数定义函数定义 设集合设集合A是一个非空的是一个非空的 ,如果按照某种确定如果按照某种确定的对应关系的对应关系f,使对于集合使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x , 在集合在集合 B中都有中都有 的数的数f(x)和它对应和它对应,那么就称那么就称f : AB为从集合为从集合

4、A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作 .数集数集 唯一确定唯一确定 y=f(x),xA 名师伴你行返回目录返回目录 (2)函数的定义域、值域函数的定义域、值域 在函数在函数y=f(x),xA中，中，x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的 ；与；与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值，值叫做函数值，函数值的集合函数值的集合f(x)|xA叫做函数的叫做函数的 .显然显然,值域值域是集合是集合B的子集的子集. (3)函数的三要素函数的三要素: 、 和和 . (4)相等函数相等函数:如果两个函数的如果两个函数的 相同，并相同，并且且 完全一致完全一致,则

5、这两个函数相等则这两个函数相等,这是判断两函这是判断两函数相等的依据数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有: 、 和和 .定义域定义域 值域值域 定义域定义域 值域值域 对应法则对应法则 定义域定义域 对应关系对应关系 解析法解析法 图象法图象法 列表法列表法 名师伴你行 3.映射的概念 设设A,B是两个非空的集合是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对如果按照某一个确定的对应关系应关系f,使对于集合使对于集合A中的任意一个元素中的任意一个元素x,在集合在集合B中都中都有唯一确定的元素有唯一确定的元素y与之对应与之对应,则称对应则称对应f:AB是集合是集合A

6、到集合到集合B的一个的一个 . 4.由映射的定义可以看出由映射的定义可以看出,映射是映射是 概念的推概念的推广广, 函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合要注意构成函数的两个集合A,B必须是必须是 .非空数集非空数集 返回目录返回目录 映射映射 函数函数 名师伴你行返回目录返回目录 下列四组函数中下列四组函数中,f(x)与与g(x)是否为同一函数是否为同一函数,为什么为什么?(1) f(x)=lgx, g(x)= lgx2;(2) f(x)=x, g(x)= ;(3) f(x)= , g(x)=logaax;(4) f(x)=lgx-2, g(x)=lg .判断两个

7、函数是否为同一函数判断两个函数是否为同一函数,关键是判关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果如果有一个不同有一个不同,它们便不是同一函数它们便不是同一函数.212xx xl lo og ga aa a100 x名师伴你行返回目录返回目录 (1)f(x)的定义域为的定义域为(0,+),g(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同定义域不同,故故f(x)与与g(x)不是同一函数不是同一函数. (2)函数函数f(x)的值域为的值域为(-,+),g(x)的值域为的值域为0,+),值值域不同域不同,故故f(x)与与g(x)不是同

8、一函数不是同一函数. (3)因为因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xR),定义域不同定义域不同,故故f(x)与与g(x)不是同一函数不是同一函数. (4)因为因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg =lgx-2(x0),所所以以f(x)与与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同的对应法则、定义域和值域都分别相同 , 故它故它们是同一函数们是同一函数.100 x名师伴你行 (1) 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时时,这两个函数才是同一函数这两个函数才是同一函数,换言之就是换言之就是: 定义域不同定义域不同,两个函数也就不同

9、两个函数也就不同. 对应法则不同对应法则不同,两个函数也是不同的两个函数也是不同的. 即使定义域和值域都分别相同的两个函数即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也它们也不一定是同一函数不一定是同一函数 , 因为函数因为函数 的定义域和值域的定义域和值域 不能唯一不能唯一地确定函数的对应法则地确定函数的对应法则. (2)函数的对应法则可以化简函数的对应法则可以化简,例如题型一例如题型一 (3) (4) 中的中的函数函数,再比如函数再比如函数f(x)=|x|和和g(x)= ,从表面上看它们的从表面上看它们的对应法则不同对应法则不同,但实质上是相同的但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对

10、应法则和定义域给定后当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域它的值域便随之确定便随之确定, 所以所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素法则两要素.返回目录返回目录 2x名师伴你行返回目录返回目录 判断下列各组函数是否为同一函数判断下列各组函数是否为同一函数.(1) f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2) f(x)= , g(x)=x+1;(3) 1 1- -x x1 1- -x x2 2; ;x xx xg(x)g(x) , ,1 1x xx x f(x)f(x)2 2名师伴你行返回目录返回目录 (1)两函数的定义域两函数的

11、定义域 、值域、值域 、对应法则均相同、对应法则均相同 ，所以它们是同一函数所以它们是同一函数. (2)y= =x+1,但但x1,而而y=x+1中中xR , 所以它们所以它们不是同一函数不是同一函数. (3)函数函数f(x)= 的定义域为的定义域为x|x0 ; 而函数而函数g(x)= 的定义域为的定义域为x|x-1或或x0 , 它们的定义域它们的定义域不同不同,所以不是同一函数所以不是同一函数. 1 1- -x x1 1- -x x2 21 1x xx x x xx x2 2名师伴你行返回目录返回目录 下列对应是否为从下列对应是否为从A到到B的映射？的映射？(1)A=R，B=R，f:xy= ;

12、(2) (3)A=x|x0,B=R,f:xy,y2=x;(4)A=平面平面内的矩形内的矩形，B=平面平面内的圆内的圆，f:作矩作矩形的外接圆形的外接圆.1 1x x1 1;a a1 1b ba a: :f f , ,* *N Nn n , ,n n1 1b b| |b bB B, ,* *N Na a2 21 1| |a aA A名师伴你行返回目录返回目录 (1)当当x=-1时，时，y值不存在，所以不是映射值不存在，所以不是映射. (2)A，B两集合分别用列举法表述为两集合分别用列举法表述为 A= 2,4,6, 由对应法则由对应法则f:ab= ，是映射，是映射. (3)不是映射，如不是映射，如

13、A中元素中元素1有两个象有两个象1. (4)是映射是映射.解此题需要明确以下两点：解此题需要明确以下两点： 集合集合A的元素是什么；的元素是什么； 什么是什么是A到到B的映射的映射., , ,4 41 1, ,3 31 1, ,2 21 11,1,B Ba a1 1名师伴你行欲判断对应法则欲判断对应法则 f : AB是否是从是否是从 A 到到 B 的映射，的映射，必须做两点工作：必须做两点工作：明确集合明确集合A，B中的元素中的元素. 根据对根据对应法则判断应法则判断 A中的每个元素是否在中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定中能找到唯一确定的对应元素的对应元素.返回目录返回目录 名师伴你行

14、返回目录返回目录 设设A=0,1,2,4, 下列对应法则能构成下列对应法则能构成A到到B的映射的是的映射的是 (填序号填序号)f:xx3-1 f:x(x-1)2f:x2x-1 f:x2x由映射的定义知由映射的定义知满足题意满足题意,0,1,2,6,8,0,1,2,6,82 21 1B B名师伴你行 根据下列条件分别求出函数根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式的解析式:(1) (2 )f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2 =3x;(4)已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求求f(x).返回目录返回目录 ; ;x x1 1x xx x1 1x

15、xf f2 22 2x x1 1f f名师伴你行 (1)可用配凑法可用配凑法. (2)可将可将x-2看作一个整体看作一个整体,根据函数的定义根据函数的定义,寻找寻找 x2 + 3x+1与与x-2的对应关系的对应关系. (3)因考虑到因考虑到x与与 的倒数关系的倒数关系 , 可通过解方程组来求解可通过解方程组来求解析式析式. (4)可用待定系数法求解析式可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法但此题也可采用多种方法.x x1 1返回目录返回目录 (1)因因 又又 -2或或 2, 则则f(x)=x2-2,x(-,-2)(2,+).22x x1 1x xx x1 1x xx x1 1x xf

16、f2 22 2x x1 1x xx x1 1x x名师伴你行返回目录返回目录 (2)令令x-2=t,则则x=t+2,代入已知得代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以所以f(x)=x2+7x+11,xR. (3)由已知由已知f(x)+2f =3x. 以以 代替代替中的中的x,得得f +2f(x)= . 由由解得解得f(x)= -x(x0). (4)解法一解法一：换元法：换元法.令令3x+1=t,则则x= . f(t)=9 -6 +5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8. f(x)=x2-4x+8.x x1 1x x1 1x x1 1x x3 3x x

17、2 23 31 1- -t t23 31 1- -t t3 31 1- -t t名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:配凑法配凑法. f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8, f(x)=x2-4x+8. 解法三解法三:待定系数法待定系数法. 设设f(x)=ax2+bx+c(a0),则则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. f(3x+1)=9x2-6x+5, 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5. 9a=9 a=1 6a+3b=-6 b=-4 a+b+c=5

18、 c=8, f(x)=x2-4x+8. 比较两端系数比较两端系数,得得 名师伴你行返回目录返回目录 (1)求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式的对应关系式. (2) 换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致一致.例如例如:已知已知f(cosx)=cosx，求，求f(x).可求得可求得f(x)=x，但，但此处应有此处应有|x|1. (3)求解析式的几种常见方法求解析式的几种常见方法: 代入法代入法 即已知即已知f(x),g(x),求求f(g(x)用代入法用代入法,只需将只需将g(x)替换替

19、换f(x)中的中的x即得即得; 换元法换元法 已知已知f(g(x),g(x),求求f(x)用换元法用换元法:g(x)=t,解得解得x=g-1(t),然后代入然后代入f(g(x)中即得中即得f(t),从而求得从而求得f(x).当当f(g(x)的表达的表达式较简单时式较简单时,可用可用“配凑法配凑法”(其实质是换元素其实质是换元素); 名师伴你行返回目录返回目录 待定系数法待定系数法 当函数当函数f(x)类型确定时类型确定时,可用待定系数法可用待定系数法.如如:已知已知f(x)是是一次函数一次函数,且满足且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求求f(x). 解析解析:因为已知因为已知f

20、(x)是一次函数是一次函数,故可设故可设f(x)=ax+b,从而从而根据题意列出恒等式根据题意列出恒等式,确定确定a,b的值的值. 解解:设设f(x)=ax+b, 则则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax =ax+b+5a=2x+17, 所以所以a=2,b=7,所以所以f(x)=2x+7; 名师伴你行 方程组法方程组法 方程组法求解析式的实质是用了对称的思想方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法均可用此法. 在解关于在解关于f(x

21、)的方程时的方程时,可作恰当的变量代换可作恰当的变量代换,列出列出f(x)的方程组的方程组,求得求得f(x). 如如:已知已知f(x)满足满足f(x)+2f(-x)=x,求求f(x)的解析式的解析式. 解解:f(x)+2f(-x)=x, 用用-x替换替换x得得f(-x)+2f(x)=-x. 联立联立消去消去f(-x),即得即得f(x)=-x.返回目录返回目录 名师伴你行根据下列条件分别求出函数根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式：的解析式：(1) f( +1)=x+2 ;(2) f(x)为二次函数且为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.返回目录返回目录 x xx x名

22、师伴你行(1)令令t= +1,t1,x=(t-1)2.则则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即即f(x)=x2-1,x1,+).(2)设设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. 4a=4 a=1 4a+2b=2, b=-1,又又f(0)=3 c=3,f(x)=x2-x+3.返回目录返回目录 x x名师伴你行返回目录返回目录 先求出先求出f(0),再把再把f(0)的值作为自变量求出的值作为自变量求出f(f(0). 名师伴你行 2x+1,x1 x2+ax,x1,若若f(f(0)=4

23、a,则实数则实数a等于等于 . 2010年高考陕西卷已知函数年高考陕西卷已知函数f(x)=返回目录返回目录 名师伴你行 2x+1,x1 x2+ax,x1.01,f(0)=20+1=2.f(0)=21,f（f(0)）=22+2a=4a,a=2. f(x)= 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的示的,处理分段函数的问题时处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段于哪一个区间段,从而选相应的关系式从而选相应的关系式.对于分段函数对于分段函数,注意注意处理好各段的端点处理好各段的端点.返回目录返回目录

24、 名师伴你行返回目录返回目录 如图，如图，OAB是边长为是边长为2的正三角形，直线的正三角形，直线x=t(0t2)截截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1) 求函数求函数y=f(t)的解析式，的解析式， 并指明它的定义域并指明它的定义域;(2) 求函数求函数y=f(t)的值域的值域.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 （1）当）当0t1时，所截图形是一个直角三角形，时，所截图形是一个直角三角形，其面积其面积f(t)= t2tan60= t2; 当当1t2时，所截图形是一个四边形时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可，它的面积

25、可由正三角形由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即算，即 f(t)= 2 - (2-t)(2-t)tan60 = - (2-t)2; 当当t=2时，所截图形即时，所截图形即OAB，f(t)= . t2， 0t1. - （2-t）2,1t2. 此函数的定义域为此函数的定义域为(0,2. 212321321323323323综上综上,f(t)= 返回目录返回目录 （2）当）当0t1时，时，0 t2 ;当当1t2时，时， - (2-t)2 . 故函数故函数f(t)的值域为的值域为(0, .23232323333名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行