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1、第一节 函数及其表示 任何一个函数都可以用三种方法表示吗？任何一个函数都可以用三种方法表示吗？ 提示提示: :不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列表法或图象法表示表法或图象法表示. .1.1.下列四个命题中正确的有下列四个命题中正确的有( )( )函数是由其定义域到值域的映射；函数是由其定义域到值域的映射；f(xf(x)= )= 是一个函数；是一个函数；函数函数y=2x(xN)y=2x(xN)的图象是一条直线；的图象是一条直线；函数函数 的图象是抛物线的图象是抛物线. .(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(
2、D)4个个x32x22xx0yxx02.2.映射映射f:1,2,31,2,3,4f:1,2,31,2,3,4满足满足f(xf(x)=x)=x，则这样的映射，则这样的映射f f共有共有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析【解析】选选A.A.由映射的定义知，集合由映射的定义知，集合1,2,31,2,3的每一个元素的每一个元素在在f f的作用下都有惟一的元素与之对应，且的作用下都有惟一的元素与之对应，且f(xf(x)=x)=x，因此只，因此只有有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3一个映射
3、符合条件一个映射符合条件. .3.3.下列各组函数中，表示同一函数的是下列各组函数中，表示同一函数的是( )( )(A)f(x(A)f(x)=x)=x与与g(xg(x)=( )=( )2 2(B)f(x(B)f(x)=|x|)=|x|与与g(xg(x)=)=(C)f(x)=x|x(C)f(x)=x|x| |与与 (D)f(x(D)f(x)= )= 与与g(tg(t)=t+1(t1)=t+1(t1)【解析【解析】选选D.D.选项选项A A中的定义域不同，选项中的定义域不同，选项B B中的解析式不中的解析式不同，选项同，选项C C中的定义域不同，只有选项中的定义域不同，只有选项D D中两函数的定义
4、域及中两函数的定义域及对应关系都相同，故选对应关系都相同，故选D.D.x33x 22xx0g xxx02x1x14.4.已知函数已知函数 若若f(xf(x)=2)=2，则，则x=_.x=_.【解析【解析】当当x1x1时，时，3 3x x=2=2，x=logx=log3 32 2；当当x x1 1时，时，-x=2-x=2，x=-2(x=-2(舍去舍去).).答案：答案：loglog3 32 2 x3x1f xxx1，5.5.已知函数分别由下表给出已知函数分别由下表给出则则f(g(1)f(g(1)的值为的值为_；满足；满足g(f(xg(f(x)=1)=1的的x x值是值是_._.【解析【解析】f(
5、g(1)=f(3)=1f(g(1)=f(3)=1；g(3)=1g(3)=1而已知而已知g(f(xg(f(x)=1)=1，f(xf(x)=3)=3；又；又f(2)=3.x=2.f(2)=3.x=2.答案：答案：1 21 21.1.函数与映射的异同点函数与映射的异同点2.如图所示，可表示函数如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是的图象的只可能是 ()答案：答案：D函数与映射的概念函数与映射的概念 补充题补充题答案：答案： 解析：解析：由函数的定义可知，由函数的定义可知，表示表示y是是x的函数的函数函数与映射的概念函数与映射的概念 补充题补充题 求函数的定义域求函数的定义域【例【例1 1】(
6、1)(1)函数函数 的定义域为的定义域为( )( )(A)(A)-4,1-4,1 (B)(B)-4,0)-4,0)(C)(0,1(C)(0,1 (D)(D)-4,0)(0,1-4,0)(0,1(2)(2)已知函数已知函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，求，求f(xf(x) )的定义域的定义域. .【审题指导【审题指导】(1)(1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的函数解析式有意义的x x的集合，先列出不等式的集合，先列出不等式( (组组) )，然后再，然后再解不等式解不等式( (组组) )，求出解集；
7、，求出解集；(2)(2)注意在对应关系注意在对应关系f f下，函数下，函数f(2x+1)f(2x+1)中中2x+12x+1的范围与函数的范围与函数f(xf(x) )中中x x的范围相同的范围相同. .2x3x4yx【自主解答【自主解答】(1)(1)选选D.D.要使要使 有意义，则有：有意义，则有：解得：解得：-4x-4x0 0或或0 0 x1.x1.所以所求函数的定义域为所以所求函数的定义域为-4-4，0)(00)(0，1 1. .(2)(2)函数函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，112x+12x+13,3,f(xf(x) )的定义域为的定义域为(1,3
8、).(1,3).2x3x4yx2x0 x3x40，【规律方法【规律方法】求函数定义域的方法求函数定义域的方法(1)(1)求具体函数求具体函数y=f(xy=f(x) )的定义域：的定义域：(2)(2)求抽象函数的定义域：求抽象函数的定义域：若已知函数若已知函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为a,ba,b，其复合函数，其复合函数f(g(xf(g(x)的定义域由不等式的定义域由不等式ag(x)bag(x)b求出求出. .若已知函数若已知函数f(g(xf(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(xf(x) )的定义域的定义域为为g(xg(x) )在在xxa,ba,b时的值域时的值域.
9、 .提醒：提醒：定义域必须写成集合或区间的形式定义域必须写成集合或区间的形式. .【互动探究】若本例【互动探究】若本例(2)f(x)(2)f(x)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，试求函数，试求函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域的定义域. .【解析【解析】f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，002x+12x+11,1,解得：解得： x x0 0，函数函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为( ,0).( ,0).1212【变式训练【变式训练】（20112011潮州模拟）潮州模拟）已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )的定义域的定义域是是0,
10、20,2，那么函数，那么函数 的定义域是的定义域是_._.【解析【解析】依题意知：依题意知：解得解得函数的定义域为函数的定义域为(-1, )( , (-1, )( , . .答案答案: :(-1, )( , (-1, )( , 2f(x )g x1lg(x1)20 x2x1 01lg x10 ，2x299x11xx210109x10 ， 或，910910291091022.若函数若函数yf(x+1)的定义域是的定义域是-1,1，则函数，则函数g(x) 的的 定义域是定义域是 () A.0,1 B.0,1) C.0,1)(1,4 D.(0,1)解析：解析：要使要使g(x)有意义，则有意义，则 解
11、得解得0 x1，故，故定义域为定义域为0,1). 答案：答案：B 补充题补充题 函数的基本概念函数的基本概念【例】判断下列各组中两个函数是否为相同函数？【例】判断下列各组中两个函数是否为相同函数？(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2x-1,g(t)=t+2x-1,g(t)=t2 2+2t-1+2t-1；(2)f(x)=|x|,g(t(2)f(x)=|x|,g(t)= )= ；(3)f(x)= (3)f(x)= ，g(xg(x)= )= ；(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=2txx12xxx2,x3,x4,x3. 【审题指导【审题指导】
12、本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是相同函数，否则不是相同函数相同函数，否则不是相同函数. .【规范解答【规范解答】(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2x-1+2x-1的定义域为的定义域为R R，g(tg(t)=t)=t2 2+2t-1+2t-1的定义域为的定义域为R R，f(xf(x) )与与g(tg(t) )的定义域相同的定义域相同
13、. .又又它们的对应关系也相同它们的对应关系也相同, ,f(xf(x) )与与g(tg(t) )为相同函数；为相同函数；(2)f(x)=|x|(2)f(x)=|x|，g(tg(t)= =|t|)= =|t|，f(xf(x) )与与g(tg(t) )的定义域都为的定义域都为R R，且对应关系也相同，且对应关系也相同，因此因此f(xf(x) )与与g(tg(t) )是相同函数；是相同函数；(3)f(x)= (3)f(x)= 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，g(xg(x)= )= 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0或或x-1,x-1,f(xf(x) )与与g(xg(x) )的定义域不相同
14、的定义域不相同, ,因此因此f(xf(x) )与与g(xg(x) )不是相同函数；不是相同函数；2txx12xx(4)f(x)=|3-x|+1=(4)f(x)=|3-x|+1=f(x)f(x)与与g(xg(x) )的定义域相同，且对应关系也相同的定义域相同，且对应关系也相同, ,因此因此f(xf(x) )与与g(xg(x) )是相同函数是相同函数. .x2,x3,x4,x 3. ；1,x1y2,1 x 23,x2 ；(4)f(4)f1 1：y=2xy=2x；f f2 2：如图所示：如图所示：【解析【解析】(1)(1)是不同函数是不同函数.第一个函数的定义域为第一个函数的定义域为x|xR,x0
15、x|xR,x0，第二个函数的定义域为，第二个函数的定义域为R R；(2)(2)是不同函数是不同函数.第一个函数的定义域为第一个函数的定义域为R R，第二个函数的，第二个函数的定义域为定义域为x|xR,x0 x|xR,x0；(3)(3)是同一函数是同一函数.x.x与与y y的对应关系完全相同且定义域相同，的对应关系完全相同且定义域相同，它们只不过是同一函数的不同方式的表示；它们只不过是同一函数的不同方式的表示；(4)(4)是同一函数是同一函数. .理由同理由同(3).(3). 求函数的解析式求函数的解析式【例【例2 2】(1)(1)已知已知f(xf(x+ )= + )= ，求，求f(xf(x)
16、)的解析式；的解析式；(2)(2)已知已知f( )=lgxf( )=lgx，求，求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(3)(3)已知已知f(xf(x) )是一次函数，且满足是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+173f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(4)(4)已知已知f(xf(x) )满足满足2f(x)+f( )=3x2f(x)+f( )=3x，求，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【审题指导【审题指导】求求f(xf(x) )的解析式是寻找函数的自变量的解析式是寻找函数的自变量x x与与f(xf(x) )之间的关
17、系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程之间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程思想等思想等. .1x221xx21x1x【自主解答【自主解答】(1)f(x+ )=x(1)f(x+ )=x2 2+ =(x+ )+ =(x+ )2 2-2-2，且且x+ 2x+ 2或或x+ -2x+ -2，f(xf(x)=x)=x2 2-2(x2-2(x2或或x-2)x-2)；(2)f( +1)=lgx(2)f( +1)=lgx，xx0.0.设设 +1=t(t+1=t(t1)1)，则，则x= x= ，f(tf(t)=lg (t)=lg (t1)1)，即即f(x)=lgf(x)=lg (x (x1)
18、1)；1x21x1x1x1x2x2x2t12t12x1 分段函数及其应用分段函数及其应用【例【例3 3】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5 5吨时，吨时，每吨水费的价格每吨水费的价格( (基本消费价基本消费价) )为为1.31.3元，若超过元，若超过5 5吨而不超过吨而不超过6 6吨时，超过部分的水费加收吨时，超过部分的水费加收200%200%，若超过，若超过6 6吨而不超过吨而不超过7 7吨时，吨时，超过部分的水费加收超过部分的水费加收400%400%，如果某人本季度实际用水量为，如果某人本季度实际用水量为x(x7)x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费吨，试计算本季度他应缴纳的水费. .【审题指导【审题指导】计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示来表示. .