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1、一一. .引入引入 .C.B.AAsinaBsinbCsincAsinaBsinbCsinccbca1.特例: 在RtABC中,C=90， =，是否成立?初中学过锐角三角函数定义:sinA=sinB=C= 90,易证=BCAcba 2能否推广到斜三角形？能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜证明一（传统证法）在任意斜ABC当中：当中： AbcBacCabSABCsin21sin21sin21两边同除以两边同除以 abc21即得：即得： .sinsinsinCcBbAa 3用向量证明：用向量证明：证二：过证二：过A作单位向量作单位向量 j垂直于垂直于 ,ACACCBAB 两边同乘以单位向
2、量两边同乘以单位向量 ,jAC()CBABjj则：则： ACCBABjjj)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACjoooAcCasinsin.sinsinCcAa同理：若过同理：若过C作作 垂直于垂直于 jCB得：得： .sinsinCcBb.sinsinsinCcBbAajACB图图当当ABC为钝角三角形时，为钝角三角形时， 设设 A90 过过A作单位向量作单位向量 j垂直于向量垂直于向量 ,ACjACB图图则则j与与,AB的夹角为的夹角为A- 90 ,j与与,BC的夹角为的夹角为90 -C.同样可证得同样可证得.sinsinsinCcBbAa 这就是说，对于锐角三角形、
3、直角三角形、钝角三角形这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立来说，上面的关系式均成立.因此因此.我们得到下面的定理我们得到下面的定理.二二. .正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即.sinsinsinCcBbAa1 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所.sinsinsinCcBbAa对角的正弦比相等，即：对角的正弦比相等，即： 它适合于任何三角形。它适合于任何三角形。 2 2 可以证明可以证明 .2sinsinsinRCcBbAa（R
4、R为为ABCABC外接圆半径）外接圆半径） 3 每个等式可视为一个方程：知三求一每个等式可视为一个方程：知三求一 三、正弦定理的应用三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角； 2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。其它的边和角。 例一、在例一、在ABC中，已知中，已知10cA=45 C=30 A=45 C=30 求求b（保留两个有效数字）（保留两个有效数字） .sinsinCcBb解：00000105)3045(18
5、0)(180CAB1930sin105sin10sinsin00CBcb例二、在例二、在ABC中，已知中，已知 20a b=28 A=40 求求B (精确到精确到1 )和和c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）8999.02040sin28sinsin0aAbB解：.116,640201BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACac例三、在例三、在ABC中，已知中，已知 60
6、ab=50 A=38 求求B (精确到精确到1 )和和c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）解解：已知 b a ，所以BA，因此B也是锐角.aAbBsinsin6036sin5005131. 0031B00000111)3138(180)(180BAC.9138sin111sin60sinsin00ACac 三、小结：正弦定理，两种应用三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）或一解（见图示） CCCCABAAABBbabbbaaaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 两解一解a=bsinA 一解.五五、作业作业P 134 1, 2,3