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1、2022年高考数学尖子生强基计划专题9等差、等比数列与数列求和一、 真题特点分析：1.【2020复旦大学6】_2. 【2021年清华】有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于，则该数列最多可有_项答案：83若数列满足，求答案：二、知识要点拓展一 等差数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：.二 等比数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：或 .三 数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为).四 常见数列的前项和公式： 一等差数列的主要判定方法：（为常数）；（）；（为常数）；（为常数）。二等差数列的主要性质：或（是公差）；若，且，则。注意，反之不一定成立；数列（是
2、常数）是公差为的等差数列；下标成等差数列，且公差为的项组成的数列仍然为等差数列，且公差为。三等比数列的判定方法：（是不为0的常数）；（均为不为0的常数）；（且均不为0）。四等比数列的性质：（为公比）；若，则（）；每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。五数列求和方法：1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2.公式法：（见常见数列的前项和公式）3.错位相减法：比如4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； （1） 分组求和法：把数列的每一项分成
3、若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和；6.合并求和法：如求的和；7.倒序相加法：如等差数列的前项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法；8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。备注：在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn六第二数学归纳法：先证时命题成立；假设时命题成立，再证明时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。当时，命题成立；假设对一切小于的正整数命题成立，能够推出（证明）时命题也成立。以上两种都是第二数学归纳法。七主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想
4、的运用；3转化思想的运用；三、典例精讲例1（清华）已知，其前项和为，求。分析与解答：，。所以，。例2（复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ）（A） （B） （C） （D）其他条件分析与解答：由于前3个数成等比数列，不妨设公比为，后三个数成等差数列，公差为，依题意，。所以，即。依题意知，此关于的方程的根不是唯一的，且。所以，且。故选D。例3（复旦）已知数列满足：，且是公比为2的等比数列，则（ ）。（A） （B） （C） （D）分析与解答：是公比为2的的等比数列，故，即
5、。记，则 。 。 -，得 ，即，选B。例4（上海交大）已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，其中均为正整数，且。（1） 求的值；（2） 若对于、，存在关系式，求；（3） 对于满足（2）中关系式的，求。分析与解答：（1）依题意，故。由，且。又。若，则，矛盾！所以。（2） ，即，。（*）注意到，且，（*）式成立当且仅当。（3） 由（2）知。例5在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项分析与解答：依题设得，整理得， ,得所以，由已知得是等比数列由于，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列的首项，公比，所以即得到数列的通项为例6（北京卷)
6、下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数（I）写出的值；（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置（III）证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积分析与解答：（I）;（II）该等差数阵中：第一行是首项为4，公差为3的等差数列：; 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： 第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数、，使得, 所以, 当时，得。所以200
7、8在等差数阵中的一个位置是第1行第669列（III）“必要性”：若在该等差数阵中，则存在正整数，使得 从而即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积“充分性”：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数、，使得, 从而可见N在该等差数阵中综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积例7(全国卷) 已知数列的前项和满足：，.(1)写出求数列的前3项；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对任意的整数，有.分析：由数列前 项和与通项的关系，求应考虑将与或 其转化为的递推关系，再依此求。对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难
8、以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.解答：(1)当时,有：； 当时,有：； 当时,有：；综上可知；(2)由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：. （3）由已知得：. 故( ).说明：本题是一道典型的代数综合题，是将数列与不等式相结合，它的综合性不仅表现在知识内容的综合上，在知识网络的交汇处设计试题，更重要的是体现出在方法与能力上的综合，体现出能力要素的有机组合例8设为等差数列，为等比数列，且，试求的首项与公差 分析：题中有两个基本量中的首项和公差是需要求的，利用、 、成等比数列和给定极限可列两个方程，但需注意极限存在的条件解答：设所求公差为
9、，由此得 化简得： 解得： 而，故 若，则 若，则 但存在，故，于是不可能 从而 所以 说明：本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识，用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意及时取舍，如由题意推出， ，等，在解题中都非常重要例9（复旦）设数列满足，其前项乘积，其中是大于1的常数（）。（1） 求证：是等比数列；（2） 求中所有不同两项的乘积之和。分析与解：（1）由，知，故。即是等比数列，且公比为。（A） 由（1）知，。 中所有不同两项的乘积之和为。注意到，而 ，所以 。注：“中所有不同两项的乘积之和”的问题实际上是一个无穷数列求和的问题。例10（复旦）设
10、为一个正整数，记，则是的一个多项式。下面结论正确的是（ ）（A） 的最高项系数为1 （B）的常数项系数为-3（C）是的1个4此多项式 （D）的4此项系数为分析与解：解法一：首先有公式，考虑：，所以。所以。所以。易见最高次项系数为，常数项系数为0，是的一个5次多项式，4次项系数为，故选D。解法二：类比法。注意到，。下面对选项逐项排除。对选项（A），的最高项系数分别为，从而的最高项系数应为；对选项（B），的常数项为0，故的常数项的系数也为0；对选项（C），分别为2次，3次，4次多项式，故应为1个5次多项式，故只有选项D正确。四、真题训练1.（复旦）等差数列中，且，是前项之和，则下列（ ）是正确的。
11、（A） 均小于0，而均大于0（B） 均小于0，而均大于0（C） 均小于0，而均大于0（D） 均小于0，而均大于02.（武大）已知是等差数列的前项和，若，则首项（ ）（A）2008 （B）-2008 （C）2006 （D）-20063.（上海交大）等差数列中，则前项和取最大值时，的值为 。4.（上海交大）数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和 。5.（武大）如果数列是首项为1，公差为1的等差数列，那么数列的通项公式 。6.（“北约”）是等差数列，表示的前项和，求的最小值。7.（复旦)定义在上的函数，1. 求；2. 是否存在常数，有？8. （武大）数列的前项和为，。求数列的通项。9.（复旦）对
12、于任意的，均为非负实数，且，试用数学归纳法证明：成立。10.（上海交大），为等比数列，求的最大值。 真题训练答案1.【答案】C【分析与解答】：可取特殊值，。2.【答案】D【分析与解答】：，解得。3.【答案】20【分析与解答】：。4.【答案】【分析与解答】：，。5.【答案】【分析与解答】：，将这式累加，得。6.【分析与解答】：设公差为，则。，显然时，最小，的最小值为。7.【分析与解答】：（1),故。（A） 不存在。，取，则 ，当时，故不存在，使得对，。8.【分析与解】：由，知，故。又令，数列从第2项起成公比为3的等比数列，即。综上，9.【分析与解答】：时显然成立。假设时命题成立，则时，令，由归纳
13、假设知。又。由可知即时命题成立，故原命题得证。10.【分析与解答】：，当且仅当时为正（），。当时，故只需比较与的大小。 （因为），故。五、重点总结1.掌握常见的几种数学归纳法，能运用数学归纳法解题2.掌握极限的基本判断法则及常见的几种极限3.掌握常见的求和方法六、强化训练A组1. (复旦)_分析与解：原式2. (复旦)_分析与解：原式3. (复旦)设，则（ ）A.2 B. C. D.64分析与解：原式，选A4. (复旦)设是的展开式中项的系数，则极限（ ）A.15 B.6 C.17 D.8分析与解：原式5. (模拟题)试证明分析与解：用数学归纳法证明：当时，显然成立假设当时，则，当时，得证6.
14、 (2006交大)已知，则数列的前100项和为_分析与解：7. (复旦)已知数列的前项和为，求分析与解：由已知8. (交大)_分析与解：当为偶数时，原式原式当为奇数时，因为为偶数原式9. (交大)_分析与解：原式=10. (交大)A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次任由A掷；若A掷不到一点，下次换B掷。对B同样适用该规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为(1)求和的关系(2)求分析与解：(1)由已知，易得(2)由(1)设又B组1(复旦)设，其中为整数，求分析与解：由二项式定理的性质可得2. (复旦)_分析与解：原式3. (模拟题)在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列。记，。求：(1)求数列和的通项公式(2)比较和的大小，并证明你的结论分析与解：(1)由已知，(2)用数学归纳法，容易验证，当时，当时，假设，当时，即则，当时，得证4. (中科大)数列满足(1)求和的关系(2)若，证明(3)若，证明分析与解：(1)由已知，有又两式相减，得又(2)用数学归纳法当时，显然成立假设当时，则当时，得证(3)先用数学归纳法证明当时，当时，由,假设当时，则当时，故又即