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1、统计学院 概率论与数理统计 自测题第五单元自测题及参考答案 2013-11第 1 页，共 5 页概率论与数理统计第五单元自测题时间：时间：60 分钟，卷面分值：分钟，卷面分值：50 分分一、单项选择题单项选择题 (每题 2 分，共 10 分) 得分 1设随机变量序列 X1, X2, , Xn，相互独立，且都服从参数为的泊松分布，(0) 则下列选项正确的是( )(A)；1lim ( )ni inX Pxxn (B)当 n 充分大时，近似服从标准正态分布；1ni iX(C)当 n 充分大时，近似服从正态分布；1ni iX(,)N nn(D)当 n 充分大时，。 1( )ni iPXxx 2. 设
2、X1, X2, , Xn，是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为，1( )arctan, 0xF xabb则辛钦大数定律对此序列( )(A) 适用; (B)当常数 a,b 取适当的数时适用; (C) 不适用; (D)无法判定。3. 设随机变量 X1, X2, , Xn相互独立，Sn=X1+X2+Xn，则根据独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要 X1, X2, , Xn( )。(A)有相同的数学期望； (B)服从同一指数分布； (C)有相同的方差； (D)服从同一离散型分布。4. 设 X1, X2, 为独立同分布随机变量序列，且 Xi (i=1, 2, )服从指
3、数分布，其概率密度为 ,0,( )0,0,xexf xx1, (x)为标准正态分布函数，则( )。(A)； (B)；1X lim P( )ni inn xxn 1X lim P( )ni inn xxn 统计学院 概率论与数理统计 自测题第五单元自测题及参考答案 2013-11第 2 页，共 5 页(C)； (D)。1X lim P( )ni inxxn 1X lim P( )ni inxxn 5. 设随机变量 XN(10 , 22),则 P(10X13)( )。(A)； (B)；(C)；(D)。(0)(1.5)1(1.5)(1.5)(0)二、填空题二、填空题 (每题 2 分，共 10 分)1
4、 设随机变量序列 X1, X2, , Xn相互独立，且都服从参数 =2 的指数分布，则当时,依概率收敛于 。n 211nni iYXn2设随机变量序列Xn相互独立，且都在-1,1上服从均匀分布，则。1lim 1ni inX Pn3在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果互相独立同服从正态分布a，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，)2 . 0 ,(2aNnXn95. 0) 1 . 0( aXPn的最小值应不小于自然数 。n(1.96)0.975)4. 设随机变量序列 X1, X2, , X100相互独立，且同服从参数为 3 的泊松分布，记，依中心极限定理，近似分布为 。(注明参数)1
5、0011 100i iXX10011 100i iXX5. 设随机变量序列独立同分布，则依概率收敛于 kX(0, )kXU411Xni in。三、应用题应用题 (共 24 分)1.(8 分)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 0.977。其中是标准正态分布,977. 0)2()(x函数） 。 2.(8 分)某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，在随意抽查的 100 家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量。X(1)
6、写出的概率分布；X统计学院 概率论与数理统计 自测题第五单元自测题及参考答案 2013-11第 3 页，共 5 页(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值。附表： 999. 0994. 0977. 0933. 0841. 0692. 05 . 0)( 35 . 225 . 115 . 00 xx 3. (8 分)每颗炮弹命中飞机的概率为 0.01, 求 500 发炮弹至少命中 7 发的概率. 四四 证明题证明题 (共 6 分)设随机变量序列 X1, X2, 独立同分布，已知,记，, 1,2,3,4K iKEXaK211nni iZXn试证明
7、，当 n 充分大时, 近似服从正态分布，并给出其分布参数。211nni iZXn统计学院 概率论与数理统计 自测题第五单元自测题及参考答案 2013-11第 4 页，共 5 页概率论与数理统计第五单元自测题参考答案一、选择题一、选择题 1. (C)；2. (C)；3.(B)；4.(A)；5.(D)。二、填空题二、填空题1. 8；2.；3.；4. ；5.。( 3)163(3,)100N45三、计算题三、计算题1【解】设是装运的第 i 箱的重量（单位：千克） ，可以将视), 2 , 1(niXinXXX,21为独立同分布随机变量，而 n 箱的总重量，是独立同分布随机变nnXXXT21量之和。由条件
8、知，nTDnTEXDXEnnii5)(50)(5)(50)(，根据列维-林德伯格中心极限定理，近似服从 N(50n, 25n)分布，则每车的装箱数 n 决定nT于条件：，)2(977. 010100055050005505000 nnnnnnTPTPn n由此可见，从而 n98.0199,即知每车最多可以装 98 箱。2101000nn2 【解】(1)据题意，可知 100 家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布，其参数X，即，且，2 . 0,100pn)2 . 0 ,100( BXkkkCkXP100 1008 . 02 . 0)(100, 2 , 1k(2)由，得 202 . 0100np48
9、 . 02 . 0100)1 ( pnp20(1430)( 1.52.5)(2.5)(1.5) 14XPXP 。0.9940.933 10.9273.【解】设随机变量 X 为 500 发炮弹中命中的炮弹个数, 则 XB(500,0.01)，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有，则(5,4 95)XN近似 .。5757571()1 0.81590.18414.954.954.95XP XP 统计学院 概率论与数理统计 自测题第五单元自测题及参考答案 2013-11第 5 页，共 5 页四、证明题四、证明题【证】因为 X1, X2, , Xn，独立同分布,所以也独立同分布，由222 12nX , X
10、 , ., X .得, ,1,2,3,4.K iKEXaK224222 242,()iiiiEXa DXEXEXaa222 242 11(),()()nnii iiEXna DXn aa，由独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，有，则，证毕。22 242 1(, ()ni iXN na n aa:近似2 242 2 11(,)nni iaaZXN ann:近似【法二】由独立同分布中心极限定理, 对任意,xR，22 22 1122 42421lim( ),lim( ) ()()/nnii iinnXnaXanPxxPxx n aaaan 即当 n 充分大时，有，因此, 当 n 充分大时有2 2 12 421(0,1) ()/ni iXanN aan :近似，证毕。2 242 2 11(,)nni iaaZXN ann:近似