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1、空间向量法解决立体几何问题一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量： 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量
2、n叫做平面的法向量y x在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n 求平面的法向量的坐标的步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心
3、,求面OA1D1的法向量练习：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1, D1 中，E,F分别为棱AB,BC的中点，试在棱BB上找一点M,使得D1M平面EFB1二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab.若ab,即ab = 0,则ababab(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L不在.内若an,即a =n, 则 L 若an,即an = 0,则a .naLnLa例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分别是AC,CC1的中点,求证:
4、(I)A1E 平面DBC1; (II)AB1 平面DBC1练习：1：两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交与AB,.M,N分别为BD,AE上的点，且AN=DM,（1）求证：MN/平面EBC; (2)求MN长度的最小值2：在正方体ABCD-A1B1C1, D1 中，O为AC和BD的交点，G为CC1 的中点，求证：A1O平面GBD3. 在正方体中，分别是的中点，求证平面 (3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2若n1n2,即n1=n2,则若n1n2,即n1 n2= 0,则例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1
5、FD练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：平面A1BC1/平面ABD12.求空间中的角(1)两异面直线的夹角:利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_. 练习：1：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M为CC1的中点，Q为BC的中点，点P在A1B1上，求直线PQ与直线AM所成的角2：棱长均相等的四面体ABCD中
6、，E, F 分别是棱AD,BC的中点，连结AF, CE所成的角(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,则L与所成的角= 或= 例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角练习：1：正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1EF所成的角2：在三棱锥POCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=,PC=4，D为PC的中点，求OD与平面PBC所成的角3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离 (2)点到平面的距离AnA为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线
7、AB及垂线AH.BH= 例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：（1）平面A1BC1和平面ABD1 的距离 （2）求B1到平面A1BC1 的距离 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离. 基础训练：1.（2009广东）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这
8、两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2、（2009浙江）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 3(09山东)已知表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则其中真命题的序号是 （ ）ABC D5（2011四川）.
9、l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A）l1l2, l2l3 l1l3 (B) l1l2, l2l3 l1l3 （C）l1l2 l3 l1,l2,l3 共面 (D) l1,l2,l3 共点 l1,l2,l3 共面6（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 7.（2011北京）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；来源:学科网ZXXK（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；8（2011北京）如
10、图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDE;9（2011山东文）如图，在四棱台ABCD-A1B2C3D4中，D1D平面ABCD是平行四边形，AB=2AD,AD=A1B1, BAD=,（）证明：AA1BD; （）证明：CC1平面A1BD10（2011全国文）如图，四棱锥中，/,，侧面为等边三角形，.（1）证明：平面SAB (2)求AB与平面SBC所成的角sABCD11.（2011河南文）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，,AB=2AD,PD平面ABCD (1)求证：；（2）设PD=A
11、D=1，求棱锥DPBC的高PABCD12（2011重庆）如题（20）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD,点E是棱PB的中点， （）证明：AE平面PBC（）若AD=1,求三棱锥的体积13如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；14在正三棱锥ABCA1B1C1中，求证：.15如图7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将DAE向上折起，将D变到D的位置，使面DAE与面ABCE成直二面角（图7-32）。（1）求直线DB与平面ABCE所成的角的正切值；（2）求证：ADBE；（3）求四棱锥DABCE的体积；（4）求异面直线AD与BC所成的角。学科网（北京）股份有限公司