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1、外接球问题一球的截面若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆：（1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆；（2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则.例1（2020全国2卷）已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）ABC1D【答案】C注：球的截面性质是我们处理外接球问题的根本思路!例2（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】A球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心
2、的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径.二三角形的外心: .注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心.三正方体，长方体的外接球.正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点四正棱柱，直棱柱的外接球.1.基本定义：棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。3.计算公式：设底面小
3、圆的半径为，棱柱高为，则.三典例分析例1（2022新高考1卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD解析： 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C.例2（2022全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又则当且仅当即时等号成立，故选：C例3（2022新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A学科网（北京）股份有限公司