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1、解直角三角形解直角三角形(1) =ac的斜边的对边AAsinA=在在RtRtABCABC中中=bc的斜边的邻边AAcosA=ab的邻边的对边AAtanA=aAAcotbA的对边的邻边复习复习CABRtRtABCABC中除直角之外的五要素中除直角之外的五要素: :三条边三条边:AB,AC,BC;:AB,AC,BC;两个锐角两个锐角:A ,B:A ,B在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中,除直除直角外角外,如果知道如果知道两两个元素个元素, (其中至其中至少有少有一个是边一个是边),就可以求出其余三就可以求出其余三个元素个元素.在在直角直角三角形中三角形中,由已知元素由已知元素求未知元
2、素求未知元素的过的过程程,叫叫解直角三角形解直角三角形ACBabc(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）（勾股定理）(2)锐角之间的关系锐角之间的关系: A B 90(3)边角之间的关系边角之间的关系:abBcaBcbBbaAcbAcaAtan,cos,sintan,cos,sinACBabc知道是求什么吗知道是求什么吗?解解:326tanACBCA060A 000306090B 22AC2AB .,6BC,2AC,90C,ABCRt. 1解解直直角角三三角角形形中中在在例例 ACB26知道是求什么吗知道是求什么吗?例例2.在在RtABC中中,C=90,B=35b=20,
3、解这解这个直角三角形个直角三角形.(精确到精确到0.1)70. 035tan0 57.035sin0 解解:cbBtan 35tan20Btanba 6 .2870. 020 cbBsin 35sin20Bsinbc 1 .3557. 020BCA3520在在RtABC中中,C=90,根据下列条件解根据下列条件解直角三角形直角三角形.(1) a=15 ,c=30(2)B=60, c=14(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）（勾股定理）(2)锐角之间的关系锐角之间的关系: A B 90(3)边角之间的关系边角之间的关系:abBcbBcaBbaAcbAcaAtan,cos,
4、sintan,cos,sinACBabc已知斜边求直边，已知斜边求直边，已知直边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知两边求一角，已知锐角求锐角，已知锐角求锐角，已知直边求斜边，已知直边求斜边，计算方法要选择，计算方法要选择，正弦余弦很方便正弦余弦很方便；正切理当然正切理当然；函数关系要选好；函数关系要选好；勾股定理最方便；勾股定理最方便；互余关系要记好；互余关系要记好；用除还需正余弦用除还需正余弦；能用乘法不用除能用乘法不用除. .优选关系式优选关系式的长，求线的平分，中，如图，在BCABADAACCABCRt34690. 2BACD3461223346
5、1cos0301030B12sinBACAB 设塔顶中心点为设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线，塔身中心线与垂直中心线的夹角为的夹角为A，过，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在（如图），在RtABC中，中，C90，BC5.2m，AB54.5m0954. 05 .542 . 5sinABBCA所以所以A528 可以求出可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角你愿意试着计算一下吗？的夹角你愿意试着计算一下吗？ABCABCP91例例3： 2008年年10月月15日日“神舟神舟”7号载人航天飞船号载人航天飞船发
6、射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是点的距离是多少？（地球半径约为多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到，结果精确到0.1km） 分析分析：从飞船上能最从飞船上能最远直接看到的地球上的远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相点，应是视线与地球相切时的切点切时的切点OQFP 如图，如图，O O表
7、示地球，点表示地球，点F F是是飞船的位置，飞船的位置，FQFQ是是O O的切线，的切线，切点切点Q Q是从飞船观测地球时的最是从飞船观测地球时的最远点，弧远点，弧PQPQ的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间的距离，为计算两点间的距离，为计算弧弧PQ 的长需先求出的长需先求出POQPOQ（即（即a a）解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形95. 035064006400cosOFOQa18 a PQ的长为的长为6 .200964014. 3640018018 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的点正上方时，从飞船观测地球时的
8、最远点距离最远点距离P点约点约2009.6kmOQFP1. 如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从在小山的另一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD = 140，BD = 520m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精确到成一直线（精确到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90cosDEBDEBDcosDEBDE BDcos505200.64 520332.8答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线
9、.解：要使解：要使A、C、E在同一直线在同一直线上，则上，则 ABD是是 BDE 的一的一个外角个外角例例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与高楼的水平距，热气球与高楼的水平距离为离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，
10、在图中，a=30,=60 Rt RtABCABC中，中，a a =30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a = 30,= 60， AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1 .2773160答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD1. 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，
11、由距，由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角54，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2所以所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为15.2m.练习练习 范例范例例例1、某人在、某人在A处测得建筑物的仰角处测得建筑物的仰角BAC为为30，沿，沿AC方向行方向行20m至至D处
12、，测得仰角处，测得仰角BDC为为45 ，求此建，求此建筑物的高度筑物的高度BC。CABDABC例例3 .如图，如图，ABC中，中， B=45， C=30， AB=2，求，求AC的长的长.解：过A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，222D45302AD= sinB =ABAD在RtACD中，C=30ABsinB=22sin45=2AC=2AD=22的长，求的面积为，边上一点，为中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ABCDE，的延长线于，交解：如图，作ECBCBAE 12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(14
13、2222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在61412355的长，求的面积为，边上一点，为中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ECBAE于点解：如图，作12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED17611BDEDBE91217)35(2222EBAEABABERt中，在ABCDE614123511（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边
14、的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cba（勾股定理）（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：例例5 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80海里海里的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（精确有多远（精确到到0.01海
15、里）？海里）？解：如图解：如图 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin23.130559. 08 .7234sin8 .72sinBPCPB当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130.23海里海里6534PBCA 2.如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面地面10米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根24米处米处.大树在大树在折断之前高多少？折断之前高多少？ 解解利用勾
16、股定理可以求利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为出折断倒下部分的长度为: :262610103636（米）（米）. .答答: :大树在折断之前高为大树在折断之前高为3636米米. .22102426+= 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰时，只要测出仰角角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所，但是，当我们要测量如图所示的山高示的山高h时，问
17、题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡我们可以把山坡“化整化整为零为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段地划分为一些小段，图表示其中一部分小段
18、，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段的，可以量出这段坡长坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积零为整积零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“
19、”“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 1. 海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测点，这时测得小岛得小岛A在北偏到在北偏到30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有方向上，如果渔船
20、不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？触礁的危险？BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险练习练习30602. 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直高是指坡面的铅直高度度DE与水平
21、宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏西北偏西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？212北A A B BC C10210F