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1、 第 17 卷 第 4 期 系 统 科 学 学 报 Vo1.17 No.4 2009 年 10 月 JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE oct， 2009 复杂网络及其在国内研究进展的综述 刘建香 （华东理工大学商学院 上海 200237） 摘 要： 从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内关于复 杂网络理论及其 应用的研究现状从两方面进行综述：一是对国外复杂网络理论及应用研究 的介绍，包括复杂网络理论研究进展的总 体概括、复杂网络动力 学行为以及基于复杂网络理论的应用研究介绍；二是国内根植于本 土的复杂网络的研究 ，包 括复杂网络的演化模型，复杂
2、网络拓扑性质、动力学行为，以及复杂网络理论的应用研究等。并结合复杂网络的主要 研究内容 ,对今后的研究重点进行了分析。 关键词： 复杂网络；演化；拓扑；动力学行为 中图分类号： N941 文献标识码： A 文章编号： 1005- 6408（ 2009） 04- 0031- 07 0 引言 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分 1 1. 复杂网络模型的发展演化 网络的一种最简单的情况就是规则网络 7，它 结合的具有特定功能的有机整体 。而网络是由节点 和连线所组成的。如果用节点表示系统的各个组成部 分即系统的元素，两节点之间的连线表示系统元素之 间的相互作用，那么网络就为研究系统提供 了一种
3、新 的描述方式 。复杂网络作为大量真实复杂系统的高 度抽象 ，近年来成为国际学术界一个新兴的研究热 点，随着复杂网络逐渐引起国内学术界的关注，国内 已有学者开始这方面的研究，其中有学者对国外的研 究进展情况给出了有价值的文献综述，而方锦清 6也 从局域小世界模型、含权网络与交通流驱动的机制、 混合择优模型、动力学行为的同步与控制、广义的同 步等方面对国内的研究进展进行了简要概括，但是到 目前为止还没有系统介绍国内关于复杂网络理论及 应用研究现状的综述文献。本文从复杂网络模型的演 化入手，在简要介 绍复杂网络统计特征的基础上，对 国内研究现状进行综述，希望对国内关于复杂网络的 研究起到进一步的推
4、动作用。 是指系统各元素之间的关系可以用一些规则的结 构来表示，也就是说网络中任意两个节点之间的联 系遵循既定的规则。但是对于大规模网络而言由于 其复杂性并不能完全用规则网络来表示。 20 世纪 50 年代末， Erdos 和 Renyi 提出了一 种完全随机的 网络模型 随机网络（ ER 随机网络），它指在由 N 个节点构成的图中以概率 p 随机连接 任意两个 节点而成的网络，即两个节点之间连边与否不再是 确定 的事，而是由概率 p 决定。或简单地说，在由 N 个节点构成的图中，可以存在条边，从中随机连接 M条边所构成的网络就叫随机网络。如果选择 M = p ，这两种构造随机网络模型的方法就
5、可以联系起 来。规则网络和随机网络是两种极端的情况，对于 大量真实的网络系统而言，它们既不是规则网络也 不是随机网络，而是介于两者之间。 1998 年， Watts 和 Strogatz8提出了 WS 网络模型，通过以概率 p 切 断规则网络中原始的边并选择新的端点重新连接 收稿日期： 2009- 01- 05 作者简介： 刘建香（ 1974），女，华东理工大学商学院讲师，研究方向：系统工程。 E- mail： - 31 - 2、3 4、5 构造 出一 种介 于 规则 网络 和随 机网 络之 间 的网 络 小 世 界 网 络 ( small- worldnetworks)。 显 然，当 p=
6、0 时，相当于各边未动，还是规则网络；当 p=1 时就成了随机网络。小世界网络模型的理论分 析表明，其节点的度分布（ degree distribution）服从指 数分布，而实证结果表明，大多数大规模真实网络 的节点度用幂律 （ power- law） 分布来描述更加精 确。 1999 年， Barabasi 和 Albert 提出了 BA 网络模 型，在网络的构造中引入了增长性和择优连接性：增 长性指网络中不断有新的节点加入进来；择优连接性 则指新的节点进来后优先选择网络中度数大的节点 进行连接。 BA 网络是无标 度网络 (scale- free networks) 模型，其节点度服从幂
7、律分布。除了经典的小世界网 络模型和无标度网络模型之外，也有学者提出了一些 其他的网络模型来描述真实的网络系统。如 Barabasi, A. 建 立 的 确 定 性 无 标 度 网 络 模 型 ， Francesc Comellas 和 Michael Sampels 建立的确定性小世界网 络模型 11以及 Fan 等考虑某些现实网络具有局域特 性而建立的多局域世界演化网络模型 12等等。 2. 复杂网络的统计特征 2.1 平均路 径长度 L 在网络中，两点之间的距离为连接两点的最短 路径上所包含的边的数目。网络的平均路径长度指 网络中所有节点对的平均距离，它表明网络中节点 间的分离程度，反映
8、了网络的全局特性。不同的网 络结构可赋予 L 不同的含义。如在疾病传播模型中 L 可定义为疾病传播时间，交通网络模型中 L 可定 义为站点之间的距离 13等。 2.2 聚集系数 C 在网络中，节点的聚集系数是指与该节点相邻 的所有节点之间连边的数目占这些相邻节点之间 最大可能连边数目的比例。而网络的聚集系数则是 指网络中所有节点聚集系数的平均值 ，它表明网络 中节点的聚集情况即网络的聚集性，也就是说同一 个节点的两个相邻节点仍然是相邻节点的概率有 多大，它反映了网络的局部特性。 2.3 度及度分布 在网络中，节点的度是指与该节点相邻的节点 的数目，即连接该节点的边的数目。而网络的度 指网络中所
9、有节点度的平均值。度分布 P（ k）指网络 中一个任意选择的节点，它的度恰好为 k 的概率。 2.4 介数 包括节点介数和边介数。节点介数指网络中所有 - 32 - 9 10 最短路 径中经过该节点的数量比例，边介数则指网络 中所有最短路径中经过该边的数量比例。介数反映了 相应的节点或边在整个网络中的作用和影响力。 2.5 小世界效应 复杂网络的小世界效应是指尽管网络的规模很 大（网络节点数目 N 很大），但是两个节点之间的距 离比我们想象的要小得多。也就是网络的平均路径 长度 L 随网络的规模呈对数增长，即 LlnN。大量的 实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应。 2.6 无标度特性
10、对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭 窄 ，大 多数 节点 都集 中 在节 点度 均值 的 附 近，说明节点具有同质性，因此 可以被看作是 节点度的一个特征标度。而在节点度服从幂律分布 的网络中，大多数节点的度都很小，而少数节点的 度很大，说明节点具有异质性，这时特征标度消 失。这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。 3. 国内 对复杂网络理论 及应用研究现状的概括性介绍 3.1 复杂网络理论研究进展的介绍 国内学者对国外复杂网络理论研究的介绍最 早始于汪小帆（ 2002）发表在国外杂志上的一篇文 章 ，文中回顾了近年来国外复杂网络研究所取得 的重要成果，其中包括平均路径长度、 聚集系数
11、、度 分布 等网络度量， Internet、 WWW 和科学 合作网 络 等现实系统，规则网络、随机网络、小世界网络、无 标 度网 络等 网络 模型 ，以 及 复杂 网络 上的 同步 等。而在国内刊物上对国外复杂网络理论研究的介 绍可追溯 到朱涵（ 2003） 在物 理杂志上发表的 “网络 建筑学 ”，文章以小世界、集团化和无标度 等概念为中心，介绍了复杂网络的研究进展。之 后，吴金闪等 从统计物理学的角度总结了复杂网 络的主要研究结果，对无向网络、有向网络和加权 网络等三种不同网络统计性质研究的现 状分别作 了综述，对规则网络、完全随机网络、小世界网络和 无标度网络等网络机制模型进行了总结，
12、并对网络 演化的统计规律、网络上的动力学性质的研究进行 了概括。周涛等（ 2005）围绕小世界效应和无标度特 性等复杂网络的统计特征及复杂网络上的物理过 程等问题，概述了复杂网络的研究进展。刘涛等 从 平均路径长度、聚集系数、度分布等复杂网络的统 计性质，小世界网络和无标度网络等网络模型等层 面简述了复杂网络领域的相关研究。史定华 从对 14 15 16 17 18 网络节点度和度分布的理解入手，对网络分类、网 络的演化机理和模型及结构涌现等方面取得的进 展进行了总结。 总的来说，这些介绍都突出了对复杂网络上的 统计性质、复杂网络经典模型的阐释和描述，对复 杂网络理论在国外研究进展的介绍试图全
13、面 但却 较为笼统。 3.2 复杂网络动力学行为研究的介绍 一般将建立在网络上的系统动态性质称为网 络上的动力学行为。研究复杂网络的拓扑结构也是 为了理解和解释发生在网络上的动力学行为或过 程。赵明等 总结了近年来复杂网络上动力学系统 同步的研究进展，主要包括复杂网络同步的稳定性 分析，复杂网络上动力学系统同步的特点，网络 的 几何特征量对同步稳定性的影响等。另外，由于复 杂网络中的社区发现成为近几年复杂网络领域的 一个研究热点，王林（ 2005）等全面综述了社区结构 的性质以及社区发现的若干算法等。鲁棒性作为复 杂系统的一种属性，已经成为人们关注的一个热 点。接婧 对鲁棒性在国际学术界的研究
14、状况进行 了介绍，包括鲁棒性的定义、鲁棒性的特点、鲁棒性 的研究方向及鲁棒性的应用等。在对复杂网络展开 的研究 中，有一类应用性很强的网络行为日益引起 人们的关注，如计算机病毒在计算机网络的传播、 传染病在人群中的流行、信息或谣言在社会中的扩 散 等等 ，实 际上 它们 都表 现 为一 种网 络上 的传 播。周涛等 对复杂网络上传播动力学的研究进行 了综述，讨论了小世界网络和无标度网络的传播特 性以及相应的网络免疫技术。 复杂网络上的动力学行为涉及面非常广泛，如 渗流、传播、网络搜索、相变等等，而与网络拓扑结 构的研究相比，这些领域的研究进展相对缓慢，因 此国内关于这些领域研究的介绍也就相对较
15、少。 3.3 基于复杂 网络理论应用研究的介绍 近几年由于随着复杂网络理论的迅速发展，其 理论方法在真实网络的研究也得到广泛的应用。生 物学的研究表明，大多数生物功能都是由许多细胞 分子相互作用共同完成的。因此，对多种分子的相 互作用网络进行分析，理解细胞内复杂的网络结构 和动力学，对研究生物的功能具有重要作用。王冰 等 22介绍了国外应用复杂网络理论研究代谢网络的 进展情况，主要包括代谢网络的小世界和无标度特 性，以及网络的子集团和功能。互联网是一个典型 的 复杂 网络 ，由 于计 算机 病 毒在 互联 网上 的传 播，其安全性问题正日益受到关注，而网络的拓扑 结构对于病毒的传播行为有着十分
16、重要的影响，不 同的 网络拓 扑 结构 中传 播行 为呈 现出 不 同的 特 性。许丹等 围绕计算机病毒在互联网上的传播，对 已有的研究成果进行了回顾。介绍了包括流行病学 模型、电子邮件病毒传播模型、随机常数传播模型 和间隔模型等在内的计算机病毒传播模型，计算机 病毒在不同网络中的传播所表现出的不同性质，以 及病毒传播机制对网络拓扑结构的影响等。 复杂网络理论在现实 系统中应用 的范围非常 广泛，涉及到社会、生物、技术、经济等许多领域，如 演员合作网、科研合作网、代谢网、电话网、 Internet、 WWW、商业网络 等等，而在国内对 这些研究 结果的介绍还相对较少。 4. 国内复 杂网络研究
17、的进展 4.4 复杂网络的演化模型 Barabasi 和 Albert 给出的构造无标度网络的演 化模型（ BA 网络模型），把真实系统通过自组织生 成无标度的网络归功于两个主要因素：增长性和择 优连接性。李翔等 27认为择优连接机制不会在整个 网络上都起作用，而只会在某个 局域世界里发挥作 用，作者通过引入局域世界的概念对 BA 网络模型 进行了推广，提出了局域世界演化网络模型。研究 表明，该模型保持了无标度网络的鲁棒性，同时改 善了无标度网络固有的面对恶意攻击的脆弱性。陈 庆华等 为了进一步研究无标度网络的增长性和择 优连接性，通过对网络节点进行重新连接建立了 BA 网络模型的两个拓展模型
18、。章忠志等 29提出了 BA 网络的一个等价的演化模型，在系统增长的过 程中，新节点总是与网络中随机选择的边所关联的 节点进行连接。并利用平均场方法，解析计算了网 络节点度分布和聚集系 数，并对网络的平均路径长 度进行了数值模拟。结果表明，其演化成的结构特 性与 BA 网络相同。陈禹等 认为 BA 模型虽然比较 准确地把握了现实世界中网络最基本的特点，较好 地解释了无标度网络的形成机制，但是它对于现实 的情况过于简化，为了对现实的复杂网络进行更深 入的研究，作者考虑了三个方面的因素：进行择优 连接时的搜索成本和建立新连接的成本；发展过程 中有 些连 接会 发生 变化 ；网 络初 始 状态 的影
19、 响 等，并在此基础上建立了 BA 网络的三种扩 展模 型。实验结果表明，在考虑了这些因素后， BA 模型 的基本结论没有变化。除此之外，也有学者提出了 - 33 - 19 20 21 23 其他一些网络模型，如权重演化网络模型 32 33 31 、领域演 锁的崩溃，最终导致整个复杂系统的崩溃。复杂系 40 化网络模型 、确定性小世界网络模型 等。 统所具有的这一性质称为脆弱性。韦琦 指出脆 弱 总结起来，这些复杂网络模型大多是在 BA 网 络拓 扑结 构的 基 础上 通过 新的 断点 重连 而 建立 的，通过这些模型的建立试图更确切地反映真实的 网络世界。 4.5 复杂网络特性、行为及演化研
20、究 在我们现实生活中存在着大量的复杂网络，如 信息网、交通网、电力网等等，这些网络与我们日常 生活密切相关，因此这就需要我们深入研究复杂网 络的拓扑结构、动力学行为和演 化机制等，以便我 们更好地设计这些复杂网络和控制他们的行为。大 多数大规模真实网络都具有无标度特性。在无标度 网络中，存在极少数具有大量连接的 “核心节点 ”和 大量具有少量连接的 “末梢节点 ”，这样的网络是非 同质的，这是网络涌现出的一种 “序 ”。谭跃进等 提 出了网络结构熵的概念，并用它来定量地度量这种 “序 ”。李旲等 35就具有幂律度分布的复杂网络的平 均路径长度进行了研究，并针对因特网给出了计算 平均路径长度的公
21、式。 同步是一种非常普遍而重要的非线性现象。网 络拓扑和单个节点的动力学性质决定整个网络的 动力行为 网络同步。吕金虎等 基于时不变 复杂动力网络模型，给出了时不变网络的周期轨道 同步、时变网络的非混沌同步和混沌同步的充分必 要条件。同时证明了：一个时不变复杂动力网络的 同步完全由该网络的内部耦合矩阵和网络的耦合 框架矩阵的特征根决定，而一个时变复杂动力网络 的同步完全由该网络的内部耦合矩阵和网络的耦 合框 架矩 阵的 特征 根 及其 对应 的特 征向 量所 决 定。抗毁性是指网络拓扑结构的可靠性。复杂网络 通常面临随机性打击和选择性打击，随机网络和无 标度网络对这两种损伤的抗毁性有很大差 异
22、。吴俊 等 38针对复杂网络的特点，给出了复杂网络连通性 的一个新测度 连通系数，在此基础上给出了抗 毁性测度的新定义，针对复杂网络面临的两种不同 损伤，给出了复杂网络抗毁性的两个新测度 容 错度和抗攻击度。高亮等 对食物链网络在节点攻 击和边攻击下的鲁棒性进行了研究，实验发现，对 于大多数食物链网络节点介数攻击的效果优于节 点度攻击，且以相同的边移除率为标准，边介数攻 击的效果明显优于节点 攻击。复杂系统由于受到 内、外干扰因素的作用，使得某一部分崩溃，由此带 来的结果直接或间接地影响其他部分， 从而引发连 - 34 - 性是复杂系统的一个基本特性，并以子系统之间的 脆弱性联系为出发点，建立
23、了研究复杂系统脆弱性 的理论基础框架。而林德明等 则应用元胞自动机 对复杂社会系统的脆弱性进行了仿真。 杨波等 从个体选择的角度，以网络中个体价 值优化作为网络结构演化的动力机制，用节点度分 布、平均路径长度、聚集系数作为网络结构演化判 据，研究小世界网络的结构演化问题。结果表明，小 世界网络结构演化过程是一个鲁棒过程，即与初始 状态相比，网络 结构不发生大的变化。 随着复杂网络理论研究的进一步深入，网络特 征 、行 为及 演化 等逐 渐引 起 国内 许多 学者 的关 注，他们分别从网络测度、网络同步、网络鲁棒性和 脆弱性、网络结构演化等角度对复杂网络加以研 究，但与网络拓扑的研究相比，这部分
24、的研究还很 薄弱。 4.6 复杂网络理论的应用研究 目前国内关于复杂网络的应用研究主要涉及 信息网络、社会、经济管理等领域。王旻等 在论述 已有工作的基础上，构建了一个 Internet 的复杂网 络模型，对病毒的传播行为进行了仿真研究，结果 表明，构建的网 络模型真实地反映了 Internet 的特 性，通过对某些参数的调整，病毒传播可以得到有 效控制。 通信网络可以看成是由成千上万个路由器节 点以及节点之间的数百万条通信线路组成的边所 构成的复杂网络。实际通信网络经常承受超负荷的 流量，导致拥塞的产生。陈振毅等 利用 BA 无标度 网络模型来模拟通信网络中的数据传输过程，用节 点的容量指标
25、反映实际路由器的缓冲区大小，用节 点的处理速度指标来反映路由器处理数据包的能 力；同时为了反映现实通信网络中路由器的重要程 度不同，用无标度网络中的度指标把节点分为两 类 ，用度较大的中心节点模拟现实网络中重要的路 由器，而用其它普通节点模拟一般的路由器。研究 结果表明，中心节点的容量和处理速度是导致网络 发生拥塞的主要因素，因此可以通过改变这些指标 来 缓解 网络 的拥 塞。 而为 了 达到 给定 的控 制效 果，只需要对中心节点中的几个关键节点进行改善 就可以得到满意的效果。 在信息化时代，企业形态和企业之间的相互关 系发生巨大变化，动态企业联盟应运而生。动态企 34 36、37 39 业
26、联盟是基于利益优先的原则，在最大化利益的前 提下与一切可能的合作企业结成联盟，因此联盟网 络结构既有一定的规律可循，又存在随机性，无法用 规则网络或随机网络来表示，而小世界网络模型能 恰当地反映联盟结构特征。江可申等 通过构建基于 小世界网络的企业动态联盟模型，研究如何在提高 网络全局功能的条件下实现企业自身利益最大化。 在一个充满动态而不确定性的环境中，组织以 立体连接的方式来处理各种交换关系并协同完成 各类组织任务，使组织逐渐呈现出 复杂的网 络形 态，并表现出与社会现实中普遍的复杂网络所共同 具有的行为模式及其特征。马骏等 将复杂网络的 相关理论应用于组织网络的研究中来，分别从组织 网络
27、的表示方法与分析手段之间有效结合、局部互 动关系与组织网络的有效性、以及局部与全局演化 的动力学特征三个方面，给出了应用复杂网络理论 解决组织网络中的相关问题的一些方向。 新 产 品开 发 团队 是一 个 组织 创 新活 动 的 核 心。邓丹 47通过将团队成员表示为网络节点，团队成 员之间的交流连线表示将新产品开发团队抽象成 网络，并用小世界的平 均路径长度和聚集系统来表 征交流网络的交流频率和交流集中度这两个特征 参数，对新产品开发团队交流网络进行了分析。 在实证研究方面，周辉 通过对我国广东地区 关于 SARS 的流言传播的研究表明，现实社会中流 言传播具有小世界网络的典型特性，利用复杂
28、网络 的相关理论可以更合理地解释流言传播实际过程 中各类流言爆发、迅速传播的潜在原因。陈洁、许田 等 通过分析 搜集到的 中国电 力网的 有关 数 据，表明中国电力网具有小世界效应和无标度特 性。刘杰等 对某个时间段内发表于我国物理学科 具代表性的两 份权威刊物上的有关混沌科学理论 方面的论文作者相互合作研究所形成的复杂网络 进行了研究，结果发现，该网络具有比较明显的无 标度特性。何阅等 52通过对 1536 道中药方剂和 681 种药材的统计，对中药方剂网络的包括平均路径长 度、聚集系统、度分布等在内的统计性质进行了研 究。 由此看来，随着复杂网络理论研究的进一步深 入，其应用研究也在国内蓬
29、勃开展起来。 5. 总结与展望 自 Watts 和 Strogatz（ 1998）提出小 世界网络 模 型以及 Barabasi 和 Albert 1999）提出无 标度网络模 型以来，国际学术界掀起了对复杂网络研究的热 潮，许多研究成果陆续问世。 Newman 在 429 篇参考 文献的支撑下，对这一领域的发展进行了较为全面 的概括总结。而在国内，自 2002 年以来陆续有学者 对这一领域展开研究，并有相关文章发表，其中很 大一部份包括复杂网络模型 、复杂网络 上的动力学行为 、复杂网络的应用 等内容在 内的重要的研究成果是 发表在国外刊物上。总的来 说， 不论 从理 论研 究还 是应 用研
30、 究 实证 分析 方 面，国内对复杂网络的研究都还处于刚刚起步阶 段，很多还停留在对国外研究成果的介绍上，这也 就意味着许多问题还有非常大的空间有待我们进 一步的深入探索。针对这种现状，今后一段时间内 国内对复杂网络的研究应主要集中在以下几个方 面： （ 1） 及时跟踪复杂网络理论研究的最新研究趋 势和动向，特别是对具体研究内容（如混沌、同步、社 区发现等等）最新的研究动向予以较为深入的关注。 （ 2）进一步展开对复杂网络理论的研究，包括网 络的 拓扑结构和网络上的动力学行为及其相互作 用，网络度、聚集性、社区结构等网络特性及其这些特 性对网络行为的影响，探索新的网络参量和新的统计 规律以期对
31、网络结构和网络特性进行更深入的认识。 （ 3）在无向网络的基础上，探索有向、加权网络 的网络特征和网络行为，并将相应的研究成果应用 到实际的网络系统当中。 （ 4） 针对本国实践，展开真实网络 的实证研 究。尽管不同的网络都存在共同的小世界效应，但 不同的网络有不同的平均路径长度、聚集系数等网 络参量，不同的网络拓扑有不同的网络动力学行 为。因此应结合真实网络，赋予 这些参数实际意 义，利用实证分析进行研究，分析它们的变化以及 网络 的拓 扑结 构、 动力 学行 为 对网 络功 能的 影 响，并进一步研究真实网络的演化机制，以设计出 更优越的网络。 参考文献 1 钱学森 ,许国志 ,王 寿云：
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