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1、第9课时 曲线与方程一、填空题1下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是_yx与y(x1)2(y2)20与(x1)(y2)0y与xy1ylg x2与y2lg x答案：2曲线f(x，y)0关于直线xy30对称的曲线方程为_解析：在对称曲线上任选一点(x，y)，关于xy30的对称点为(y3，x3)在f(x，y)0上故f(y3，x3)0.答案：f(y3，x3)03l1是过原点O且与向量a(2，)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b平行的直线，那么l1与l2交点P的轨迹方程是_，轨迹是_解析：由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，又l1与l2垂直，由
2、平面几何性质知，交点P的轨迹是以OA为直径的圆除去原点O的局部，故P点轨迹方程为x2(y1)21(y0)答案：x2(y1)21(y0)以(0,1)为圆心、1为半径的圆(不包括原点)4 两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，那么过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是_解析：P(2,3)在a1xb1y10上，代入得2a13b110.同理2a23b210.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x3y10上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x3y10.答案：2x3y105方程|x1|y1|1表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：|x1|y
3、1|1可写成或或或其图形如下图它是边长为的正方形，其面积为2.答案：26. ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，那么ABC重心的轨迹方程为_解析：设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x，y)，那么由重心坐标公式，得顶点C(x，y)在曲线yx23上，3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21.故所求轨迹方程为y3(x2)21.答案：y3(x2)217设以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x22y21交于A、B两点，那么AB中点M的轨迹方程是_解析：如下图，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB中点M(x0，y0)，那么x2y1，x
4、2y1，两式作差得kAB.PMAB，kPMkAB1，即1.所求轨迹方程是xy2x4y0(椭圆内局部)答案：xy2x4y0(椭圆内局部)二、解答题8设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设求P点的轨迹方程解：P分有向线段所成的比为2.由P(x，y)可得B(0,3y)，A.Q与P关于y轴对称Q(x，y)，且(x，y)由1得3y21(x0，y0)为所求9(江苏姜堰、如皋、淮阴、前黄四校联考)动圆Q与x轴相切，且过点A(0,2)(1)求动圆圆心Q的轨迹M方程；(2)设B、C为曲线M上两点，P(2,2)，PBBC，求点C横坐标的取
5、值范围解：(1)设P(x，y)为轨迹上任一点，那么|y|0，化简得yx21，yx21为所求方程(2)设B，C，0，x2.x210或x26为所求10(南京市调研)曲线E：ax2by21(a0，b0)经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且(1)假设点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程；(2)假设ab1，求直线AB的方程解：(1)设A(x0，y0)，因为B(0,2)，M，故，.因为，所以2，所以x0，y01，即A.因为A，B都在曲线E上，所以，解得a1，b.所以曲线E的方程为x21.(2)解法一：当ab1时，曲线E的方程为圆：x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为所以2，即.设线段
6、AB的中点为T，那么点T的坐标为，即.所以，(x2x1，y2y1)(3x1，3y1)因为OTAB，所以0，即3413x3y0.又因为xy1，所以x1，y1.当点A的坐标为时，对应的点B的坐标为(0,1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1；当点A的坐标为时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1.解法二：当ab1时，曲线E的方程为圆：x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为所以2，即.因为点A，B在圆上，所以由4得(2x1x2)(2x1x2)3.所以2x1x2，解得x1，x20.由x1，得y1.(以下同解法一)解法三：如下图，设
7、AB的中点为T，由条件得TMTAMAAB，OM.根据RtOTA和RtOTM得，即，解得AB，OT.所以在RtOTM中，tanOMT.所以kAB或.所以所求直线AB的方程为yx1或yx1.1 设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰RtOPQ，那么动点Q的轨迹是_解析：设点Q、P的坐标分别为(x，y)、(1，y0)，由OQOP，得kOQkOP1，即1，y0. 又由|OQ|OP|，得，即x2y2y1. 由、消去y0，得点Q的轨迹方程为y1与y1.答案：y1或y12抛物线y24px(p0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程解：如下图，设OA的方程为ykx(k0)，点M坐标为 (x，y)(x0)，那么OB的方程为yx.由，得A，由，得B(4k2p，4kp)kAB，那么kOM.AB的方程为yx，OM的方程为yx. 由消去k，得点M的轨迹方程是(x2p)2y24p2(x0)即点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆且除去原点(0,0)