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1、名师总结优秀知识点二次函数单元知识梳理与总结一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式， 二次项系数a 必须为非零实数，即 a0，而 b、c 为任意实数。（2）当 b=c=0 时，二次函数2axy是最简单的二次函数。（3）二次函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0） ，对称轴：直线x=ab2顶点坐标： ( abacab4422，) （2）顶点式：khxay2（a0） ，对称
2、轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式： y=a（ x-x1） （x-x2） （a0）, 对称轴 :直线 x=22x1x(其中 x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 二、二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2
3、)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 三、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上0 x（y轴）（0,0 ）kaxy20 x（y轴）(0, k) 名师总结优秀知识点2hxay当0a时开口向下hx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 注：常用性质：1、增减性：当 a0 时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当 a0 时，函数有最小值，并且当x=ab2， y最小abac442当 a0 时，函数开
4、口方向向上；当 a0）向下（ k0）向下（ k0 时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=ab2， y最小abac4422、当 a0 时，方程02cbxax有两个不相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与 x 轴有两个不同的交点。 当 0 时，方程02cbxax有两个相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与 x 轴有一个交点。当 0 时，方程02cbxax没有实数根，即抛物线cbxaxy2与 x 轴没有交点。十、抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,十一、直线与抛物线的交点问题（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）抛物线与x轴的交点二 次 函 数cbxaxy2的 图 像 与x轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标1x、2x， 是 对 应 一 元 二 次 方 程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 .