《16-17复变函数与积分变换复习题2带大题答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《16-17复变函数与积分变换复习题2带大题答案.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、复习题 2一单项选择题1函数),(),()(yxivyxuzf 在点000iyxz 处连续的充要条件是（）（A）),(yxu在),(00yx处连续（B）),(yxv在),(00yx处连续（C）),(yxu和),(yxv在),(00yx处连续（D）),(),(yxvyxu 在),(00yx处连续2设Cz 且1 z，则函数zzzzf1)(2 的最小值为（）（A）3 （B）2 （C）1 （D）13函数)(zf在点z可导是)(zf在点z解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4下列命题中，正确的是()（A）设yx,为实数，则1)cos( iyx
2、（B）若0z是函数)(zf的奇点，则)(zf在点0z不可导（C）若vu,在区域D内满足柯西-黎曼方程，则ivuzf )(在D内解析（D）若)(zf在区域D内解析，则)(zif在D内也解析5设1:1 zc为负向，3:2 zc正向，则 dzzzccc212sin()（A）i 2 （B）0（C）i 2（D）i 46设c为正向圆周2 z，则 dzzzc2)1(cos()（A）1sin （B）1sin（C）1sin2 i （D）1sin2 i 7设c为从原点沿xy 2至i 1的弧段，则 cdziyx)(2()（A）i6561 （B）i6561 （C）i6561 （D）i6561 8.复变函数1)(zez
3、f在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22zz 成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10设z为复数，则方程izz 2的解是（）（A）i 43（B）i 43（C）i 43（D）i 4311.ii的主值为()（A）0（B）1（C）2 e（D）2e12ze在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13设zzfsin)( ，则下列命题中，不正确的是()（A）)(zf在复平面上处处解析（B）)(zf以 2为周期（C）2)(izizeezf （D）)(zf是无界
4、的14.设c为从原点沿xy 2至i 1的弧段，则 cdziyx)(2()（A）i6561 （B）i6561 （C）i6561 （D）i6561 15设c为不经过点1与1 的正向简单闭曲线，则dzzzzc 2)1)(1(为()（A）2i （B）2i （C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16设1:1 zc为负向，3:2 zc正向，则 dzzzccc212sin()（B B）i 2 （B）0（C）i 2（D）i 41717. .设 F f tF则 0sinF f tt（）.A00j2FFB.00j2FFC.0012FFD.0012FF1818设 F f tF则 1F tf t（）.A FFB.
5、FFC. jFFD. jFF1919. .积分积分 231091zdzzz( () )（A A）0（B B）i 2（C C）10（D D）5i 2020积分积分21sinzzzdz( () )（A A）0（B B）61 （C C）3i （D D）i 21.复数ii1z位于复平面第() 象限.A一B二C三D四22. 下列等式成立的是().ALnzLnz77；B) 1arg() 1 (rgA；C112i；D)zzRe(zz 。23.)arg(z2满足().A.在复平面上连续B.在原点处连续C.在负实轴连续D.在除原点及负实轴上连续24. 方程1iziz表示的图形是（）.A.圆B. 直线C.椭圆D.
6、双曲线25.4=().A. 0B.i 2C.i 2D.i 226. 若yixezf55)(，则)(zf().A2z3B. 0C.ze55D. z27. 计算积分LdzzI26，其中) 10(:rrzL，方向正向，I（）.A2Bi2Ci2D028.)( iLn =（）.A0B不存在CiDik 2229. 下列选项正确的是（） A函数)(zf在一点 z 处解析，则)(zf在 z 处连续B函数)(zf在一点 z 处连续，则)(zf在 z 处解析C函数)(zf在一点 z 处可导，则)(zf在 z 处解析D函数)(zf在一点 z 处不解析，则)(zf在 z 处不连续30.d)sin(1000（）.A.1
7、00B.1C.2D.31.复变函数zzf)(在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析32.2z是函数21)(zzf的()(A)连续点（B）解析点（C)奇点（D）可导点33复数ii131z位于复平面第() 象限.A一B二C三D四34. 下列等式不成立的是().Ai 43幅角的主值为34arctanB)arg()5arg(ii；C1eLn；D)zRe(2zz。35.下列命题中正确的是().A31z表示圆的内部；B310 z为单连通域C4arg0z是有界的；D54z1z表示的图形是椭圆。36.极限zzzlim0的值等于（）.A1；B0；C-1；D不存在。
8、37.下列命题中正确的是().Azsin是有界函数；BLnzLnz22C2121)(LnzLnzzzLn；DLnz在复平面内除原点外是解析的38.下列函数中，在整个复平面上解析的是().Az；Bzez sinCzez tan；D)Re(zz39. 计算积分LdzzzI21，其中L为含1z在内的任何正向闭曲线，I（）.A2Bi2Ci2D040.下列复数中，使得方程031iez成立的是（）.A2ln；Bi22lnCi32ln；Di4ln41.设)()(tutf，则 F)(tf=().（A）)(1wjw（B）（C）0jwte（D）14 42积分51sinzzzdz()（A）0（B）61 （C）3i
9、（D）i 二、填空题1.设( )td是单位脉冲函数，则( )td=.2.曲线积分34sin()zzdzzp=- .3.已知复变函数22( )3326f zxyxyi，若zxiy，则( )f z关于变量z的表达式为.4.i1_.5. 当a_， 函数)9()(yxiayxzf为复平面上的一个解析函数.6. 复数32cos32siniz的指数形式为z_.7. 函数ttf5sin)(的 Fourier 变换为_.8.tdtet2cos03_.三、计算题计算题1. 已知)()(2xzyixzf，求)2(if。 (6 分)解：2)(zzf，故zzf2)(则iif24)2(2. 计算积分dzzzzI21的值
10、，其中为正向圆周：4z 。 （6 分）解：dzzdzzdzzzzzI1121) 1(2）（）（令1 . 0:1ZL方向逆时针,1 . 01:2ZL，方向逆时针则由复合闭路定理可知：idzzdzzdzzdzzILLLL211121221213. 计算积分dzzC)2Im(，其中 C 为从原点到 1+i 的直线段。 （6 分）解：yixz，yixz222故yz2)2Im(设 C:ixxiyxz，x从 0 到 1则在 C 上dxidz)( 1dzzC)2Im(=dxix)( 1210=i14. 求ii）（ 1。 （6 分）解：ii）（ 1=iiLne)1( =)1(iiLne=)1(1ilniiAr
11、gie22124lnike）（,.2, 1, 0k5.已知函数jetfj1)1(F，求1)(ttf(F。 （8 分）解：由jetfj1)1(F可知jtf11)(F2)1 (1)()(jFddjttf(F2)(1jttf(F6.已知sstfcos1)( L，求)(lim00dttfts L。解：)()(sFtf LssFdttft)()(0 L21)(lim00dttfts L7.已知vu,均是以yx,为自变量的实二元函数，且xvu2，试确定解析函数ivuzf)(，且0)0(f.解：xvu2且ivuzf)(解析则02yyxxxyyxvuvuvuvu求出cyxvcyxu,由于0)0(f，故0c则)
12、()(yxiyxzf8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01，若42ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。解:由于指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(01)ks （故4104sdteestt2102sdteestt故dsssdtdseeesssttt4121)(042即：4s2sln)(024dtdseeessttt4s2sln)(024dteteesttt故teetftt24)(9.解微分方程 1)0()0(65yyeyyyt.解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，
13、并代入初始条件得11)(6)0()( 5)0()0()(2ssYyssYysysYs611)()65(2sssYss1212332513277)(2sssssssssYttteeety21325)(2310.复变函数5( )zf ze=的周期为.11.设34zi，则2ze.12.函数( )cos6f tt的傅立叶变换cos6 Ft .13.xyiyxzf2)(22的导数)(zf.14.已知复变函数22( )3326f zxyxyi，若zxiy，则( )f z关于变量z的表达式为.三三计算题计算题1.已知yixz，zzxzzzf2)(3，求)1 (if 。解：32)(zzzf232)(zzzfz
14、zf62)( iif68)1 ( 2. 计算积分dzzzzI342的值，其中为正向圆周：7z 。解：dzzdzzdzzzzzI343373)3(3437）（）（令1 . 0:1ZL,1 . 03:2ZL则由复合闭路定理可知：idzzdzzdzzdzzILLLL234343373372121）（）（3. 计算积分dzzezz221解：分别以iz 和iz为圆心作两个小圆周1C和2C，方向逆时针，则211211112222CzCzCzCzzzizizedzizizedzzedzzedzze=1sin222iieeiii4. 已知函数jetfj1)2(2F，求1)(ttf(F。解：由jetfj1)2(
15、2F可知jtf11)(F2)1 (1)()(jFddjttf(F2)(1jttf(F5. 已知sstf4cos1)( L，求)(lim00dttfts L。解：ssFdttft)()(0 L)()(sFtf L8)(lim00dttfts L6. 已知yxvu3，试确定解析函数ivuzf)(.解：yxvu3且ivuzf)(解析则13yyxxxyyxvuvuvuvu求出cyxvcyxu2,2由于0)0(f，故0c则)()(yxiyxzf8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01，若11ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。解:
16、由于指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(01)ks （故110sdteestt110sdteestt故dsssdtdseeesssttt1111)(0即：1s1sln)(0dtdseeessttt1s1sln)(0dteteesttt故teetftt)(9.解微分方程 1)0()0(2yyeyyyt.解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得21( )(0)(0) ( )(0) 2 ( )1s Y ssyysY syY ss21(2) ( )51ssY sss 22221233( )(2)(1)(2)(1)12ssssY ss
17、ssssss 212( )33tty tee10.求复数1cossin55ipp-+的三角形式和指数形式.（6 分）解：原式22sin2sincos101010i2sinsincos101010i2ln(2 sin)510222 sincossin1055iie11.求解复数方程310zi-=.（6 分）解：32 cossin44zi622442 cossin0,1,233kkzik12.计算曲线积分：43,:312Cdz Czzzi+=-+ .方向逆时针解：3334343()1212zzzdzdzdzzzizzi=+=+-+-+ 2 分又由柯西积分公式，原式4 23 214iiippp=+=
18、gg，13.设c为正向圆周4 z，求5()zcedzzi.解：由高阶导数公式，得 452=()4!12zzziceiidzezi 14.已知22uxky为调和函数，（1）求 k的值；（2）求v，使得( )f zuiv是解析函数，并满足( )1f i .（1）xxyy u2, u2kxxyy u+u220k 1k （2）要使解析，则有xyyxuvuv 且，即2yvx， 2vxyg x 22yygx g xC 222f zxyixyCzziC由于( )1f i 2Ci则22vxyi 14.设 2sinf tt，求 .f tF （8 分）解： 21 cos21sin1cos222ttFFFtF 1=
19、2+2 +-22 15.求微分方程,2tteyyy 满足1)0(y和2)0( y的解.解：设 L ( )y t=( )Y s，对方程两端同时取拉氏变换有：221( )2)2( ) 1)( )(1)s Y sssY sY ss 221(21) ( )(1)ssY sss所以：42421111( )(1)(1)(1)1(1)sY ssssss从而：31( )3!ttty tt eete=31(1)6tett 16.求积分方程组02( )04ttxxydxxye满足初始条件(0)0,(0)1xx 的解.解：对方程组的每个方程两端取 Laplace 变换，并代入初始条件，得221( ) 12( )(
20、)014( )4( )( )1s X ssX sY sss X ssX sY ss 化简并解之得222222411( )(1)(1)(1)(1)4 (2)(2)(2)( )(1)(1)(1)(1)X ss sss sss ssss sY ssssss 即2231113151( )41412 (1)11151311( )412 (1)41X sssssY ssss 取逆变换得原方程组得解为1135( )344211531( )424ttttttx teetey tetee 17.设iiz133，求arg z18.求复数22(cos3sin3 )(cos5sin5 )ii的指数形式和三角形式解：原
21、式22cos3sin3cos5sin5iicos6sin6cos10sin10iicos16sin16i19.求函数)3/5sin()(ttf的 Fourier 变换.解：dtetfFtj)()(dtettj)35sin(dtetttj)5cos35sin)5()5(23)5()5(21j)5()3()5()3(2jj20.已 知22( , )2u x yxyx， 求一 解 析 函数( )( , )( , )f zu x yiv x y， 并使(0)2fi.解：xxyy u2, u2 xxyy u+u0要使解析，则有xyyxuvuv 且，即2xvy， 2vxyg y 222xxgy 2g yy
22、C 22+222f zxyxixyyC由于(0)2fi2C 22+2222f zxyxixyy21.求函数zzezfzsin92)(2的解析区域，并求其导函数.解：由zezsin,均在复平面上解析，由092 z有3z，故)(zf的解析区域为,33 C,（集合 A-B 表示在 A 中并且不在 B 中的元素）由导数求导法则有zzzzezzezzezfzzzcos)9()29(2cos)9(22)9(2)(22222222.在映射2zw 下，求双曲线422 yx在w平面的象.解：令iyxz，ivuw，则xyiyxiyxivuw2)(222故422yxu，即该双曲线的像为平行于v轴的直线.23.计算i
23、i1)1 (的值及其主值.解：)()()()()(kiniiLniieei242l2111111)ln()ln(22424221kike)lnsin()lncos(242242224kikek，2, 1, 0k.令0k可得主值，)2ln4sin()2ln4cos(24ie24.计算积分dzzzz311) 1(sin原式1sin)sin( )(sin! 2211izizizz四解答题1.求函数. 0,sin, 0, 0)(ttettft的 Fourier 积分。解：dedeftftjj )(21)(dedejeeetjjjj 2210dedjeetjjjjj 2210)- 1(-)-1(-dej
24、jjtj) 111) 11141（dtt0424sin2cos)2(12.求函数tttf, 1, 0)(的 Laplace 变换。解： 对于0, 10, 0)(1tttf，求出sdtesFst1)(01故由 Laplace 变换的平移性质sessF1)(3. 利用 Fourier 变换，解积分方程01, 01( )sin2, 120, 2tgtdtt 解：设积分方程右端的分段函数为( )f t，即0( )sin( )gtdf t则1200122( )( )sinsin2sin122122coscos(1 cos2cos2 )01gf ttdttdttdttt 4. 应用拉氏变换解满足初始条件(
25、0)0,(0)1yy的微分方程2tyyye解：设( )( )y tY s，对方程两边取拉氏变换，得21( )1( )2 ( ).1s Y ssY sY ss 解得1111( )(1)(1)211Y sssss再取拉氏逆变换，得1( )().2tty tee5 求如下微分方程组( )( )( )( )3 ( )2 ( )2ttx tx ty tey tx ty te满足初始条件：(0)(0)1xy的解。解：设 ( )( ), ( )( ).L x tX s L y tY s对方程组的每个方程两端取拉氏变换得：1(1)( )( ) 112(2) ( )3( ) 11sX sY sssY sX ss
26、 解之得1( )( )1X sY ss取拉氏逆变换得原方程组的解为( )( ).tx ty te6.求微分方程,2tteyyy 满足1)0(y和2)0( y的解.解：设 L ( )y t=( )Y s，对方程两端同时取拉氏变换有：221( )2)2( ) 1)( )(1)s Y sssY sY ss 221(21) ( )(1)ssY sss所以：42421111( )(1)(1)(1)1(1)sY ssssss从而：31( )3!ttty tt eete=31(1)6tett 7.求解方程 56.(0)(0)1tyyyeyy，解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得11)(6)0(
27、)( 5)0()0()(2ssYyssYysysYs611)()65(2sssYss1212332513277)(2sssssssssYttteeety21325)(238.求正弦函数ttf0sin)(的 Fourier 变换.解：根据 Fourier 变换公式，有：dtieeetdtetfFFtitititi2sin)()(000dteeititi)()(0021)(2)(22100i)()(00 i9.求函数elsetttf, 010 , 101, 1)(的 Fourier 变换.解：1001)()(dtedtedtetfFtititicos42111001iieieieieiititi10. 求函数ttf3cos)(的 Laplace 变换.解：0330023cos)()(dteeetdtedtetfsFititststst0)3(0)3(2121dtedtetsitsi9)3131(212ssisis11.求解方程 56.(0)(0)1tyyyeyy，解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得11)(6)0()( 5)0()0()(2ssYyssYysysYs611)()65(2sssYss1212332513277)(2sssssssssYttteeety21325)(23