2004考研数一真题及解析.pdf

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1、 2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：一、填空题：本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线lnyx上与直线1 yx垂直的切线方程为 . (2) 已知xxxeef)(，且(1)0f, 则( )f x . (3) 设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，则曲线积分Lydxxdy2的值为 . (4) 欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为 . (5) 设矩阵100021012A， 矩阵B满足EBAABA*

2、2， 其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B (6) 设随机变量X服从参数为的指数分布，则DXXP= . 二、选择题：二、选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项前的字母填在题后的括号内. (7) 把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( ) (A),. (B),. (C),. (D),. (8) 设函数

3、( )f x连续，且, 0)0( f则存在0，使得 ( ) (A)( )f x在(0，)内单调增加. (B)( )f x在)0 ,(内单调减少. (C)对任意的), 0(x，有( )(0)f xf . (D)对任意的)0 ,(x，有( )(0)f xf . (9) 设1nna为正项级数，下列结论中正确的是 ( ) (A) 若nnnalim=0，则级数1nna收敛. (B) 若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散. (C) 若级数1nna收敛，则0lim2nnan. (D) 若级数1nna发散, 则存在非零常数，使得nnnalim. (10) 设( )f x为连续函数，ttydx

4、xfdytF1)()(，则)2(F等于 ( ) (A) 2 (2)f. (B) (2)f. (C) (2)f. (D) 0. (11) 设A是3阶方阵， 将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQC的可逆矩阵Q为 ( ) (A)101001010 (B)100101010. (C)110001010. (D)100001110. (12) 设,A B为满足0AB的任意两个非零矩阵，则必有 ( ) (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (D)

5、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (13) 设随机变量X服从正态分布(0,1)N)，对给定的) 10(，数u满足uXP，若 xXP，则x等于( ) (A) 2u. (B) 21u. (C) 21u . (D) 1u . (14) 设随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布，且其方差为. 02 令niiXnY11，则( ) (A) Cov(.),21nYX (B) 21),(YXCov. (C) 212)(nnYXD. (D) 211)(nnYXD. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应

6、写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 12 分) 设2ebae, 证明)(4lnln222abeab. (16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg的飞机， 着陆时的水平速度为 700kmh. 经测试， 减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100 . 66k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注kg表示千克，kgh表示千米/小时.) (17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分

7、,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI 其中是曲面)0(122zyxz的上侧. (18)(本题满分 11 分) 设有方程01 nxxn， 其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根nx， 并证明当1时，级数1nnx收敛. (19)(本题满分 12 分) 设( , )zz x y是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz 的极值点和极值. (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组 )2(, 0)(, 02)2(2, 0)1 (212121nxannxnxxxaxxxxannn 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. (21)(本题满分 9

8、 分) 设矩阵51341321aA的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化. (22)(本题满分 9 分) 设A,B为随机事件，且111( ),(),()432P AP B AP A B，令 ;, 0, 1不 发 生发生AAX ., 0, 1不发生发生BBY 求：(I)二维随机变量(, )X Y的概率分布； (II)X和Y的相关系数.XY (23)(本题满分 9 分) 设总体X的分布函数为 11,1,( ;)1,0,xF xxx 其中未知参数nXXX, 121为来自总体X的简单随机样本， 求：(I) 的矩估计量； (II) 的最大似然估计量. 2004 年全国硕士研究生入学统

9、一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】1 xy 【详解】方法方法 1：因为直线1 yx的斜率11k ，所以与其垂直的直线的斜率2k满足1 21k k ，所以21k ，即21k ， 曲 线lnyx上 与 直 线1 yx垂 直 的 切 线 方 程 的 斜 率 为1 ， 即11)(lnxxy，得1x，把1x代入lnyx，得切点坐标为)0 , 1 (，根据点斜式公式得所求切线方程为：) 1(10 xy，即1 xy 方法方法 2： 本题也可先设切点为)ln,(00 xx， 曲线lnyx过此切点的导数为1100 xyxx，得10 x， 所以切点

10、为00(,ln)1,0 xx， 由此可知所求切线方程为) 1(10 xy， 即 1 xy. (2)【答案答案】2)(ln21x 【详解】 先求出)(xf 的表达式，再积分即可. 方法方法 1：令tex，则txln，1xet，于是有tttfln)(，即.ln)(xxxf 两边积分得 2l n1( )l nl n( l n)2xfxd xxdxxCx. 利用初始条件(1)0f, 代入上式：21(1)(ln1)02fCC，即0C ，故所求函数为 ( )f x= 2)(ln21x. 方法方法 2：由lnxxe，所以xxxeef)(lnlnxxxxeeee，所以.ln)(xxxf下同. (3)【答案】2

11、3 【详解】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，用参数式可表示为 .20:,sin2,cos2yx 于是 2Lxdyydx202cos2sin2 2sin2cosdd 20 2cos2cos2 2sin2sin d 2222222002cos4sin2 cossin2sindd 2222200022sin22sinddd 220021 cos2d 222000131cos22sin2222d 3133sinsin002222 (4)【答案】221xcxcy 【详解】 欧拉方程的求解有固定方法， 作变量代换tex 化为常系数线

12、性齐次微分方程即可. 令tex ，有1ln ,dttxdxx，则 1dydy dtdydxdt dxx dt， 221d yddydxdxx dt211dyddyd uvvduudvxdtx dxdt 211dyddydtxdtx dtdtdx 2222222111dyd yd ydyx dtxdtxdtdt 代入原方程：222211420d ydydyxxyxdtdtx dt，整理得 02322ydtdydtyd， 此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320rr，所以特征根为：121,2rr ，12rr，所以02322ydtdydtyd的通解为 1221212rtr tttycec

13、 ecec e 又因为tex ，所以2211,tteexx，代入上式得 212122.ttccyc ec exx (5)【答案】91 【详解】 方法方法 1：已知等式两边同时右乘A，得*2ABA ABA AA， 由伴随矩阵的运算规律：*A AAAA E，有2AB AB AA，而 210120001A 3 321( 1)12 2 2 1 1 3， 于是有 ABAB63，移项、合并有 ABEA)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有 (36 )363AE BAE BA， 而 36AE2101003 1206 01000100163060003036

14、0060300003006003 3 303( 1)( 3)( 3) 3 330 27， 故所求行列式为B33627AAE19 方法方法 2：由题设条件*2ABABAE，得 *2ABABA*(2 )AE BAE 由方阵乘积行的列式的性质： 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积， 故两边取行列式，有 *(2 )21AE BAAE B AE 其中210120001A 3 321( 1)12 2 2 1 1 3； 由伴随矩阵行列式的公式：若A是n阶矩阵，则 1nAA. 所以，3 12AAA=9 ； 又 0102100001AE1 210( 1)01 =1. 故1192BAE A. (6)【答案】e1

15、【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为 ,0( )00 xexf xx若若，其方差21DX. 于是，由一维概率计算公式，( )bXaP aXbfx dx，有 DXXP=dxeXPx11=11xee 二、选择题二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】 方法方法 1：20220000tantan2limlimlim0coscosxxxxxtdtxxxt dt洛必达，则是的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项， 又2323000001sinsin2limlimlim2 tantanxxx

16、xxxt dtxxxtdt洛必达 201lim4xxx 等价无穷小替换， 可见是比低阶的无穷小量，故应选(B). 方法方法 2：用kx(当0 x时)去比较. 2201000coscoslimlimlim,xkkkxxxt dtxxxkx洛 欲使上式极限存在但不为 0，应取1k ，有22000000lim coscoslimlim1limxxxxttxxx， 所以(当 0 x时)与x同阶. 2011300000tantan222limlimlimlimlimxkkkkkxxxxxtdtxxxxxxkxkxkx洛 欲使上式极限存在但不为 0，应取3k , 有33 20002tan2tan2liml

17、imlim333xxxxxxxx， 所以(当 0 x时)与3x同阶. 313132222011100000sinsinlimlimlimlimlim,222xkkkkkxxxxxt dtxxxxxxxkxkxkx洛 欲使上式极限存在但不为 0，应取2k , 有22 1001limlim2 24xxxxx， 所以(当 0 x时)与2x同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是, , ，选(B). (8)【答案】 (C) 【详解】函数( )f x只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B). 由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0 xfxffx 根据极限的保号性，

18、知存在0，当), 0()0 ,(x时，有0)0()(xfxf. 即当)0 ,(x时，0 x，有( )(0)f xf；而当), 0(x时，0 x有( )(0)f xf. (9)【答案】 (B) 【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项. 方法方法 1：排除法. 取11 ln1nann，则nnnalim=0， 又1111 ln11pnpnnp收敛，当发散，当， 所以1111 ln1nnnann发散， 排除 A， D； 又取nnan1，因为p级数1111pnpnp收敛，当发散，当，则级数111nnnan n收 敛，但221limlimlimnnnnn annn

19、n ，排除(C), 故应选(B). 方法方法 2：证明(B)正确. lim0nnna,即lim1nnan.因为11nn发散， 由比较判别法的极限形式知，1nna也发散，故应选(B). (10)【答案】(B) 【详解】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: )()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上. 方法方法 1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t，其他地方不出现t 由由ttydxxfdytF1)()(知：1yxtyt，交换积分次序11xtyx，

20、得 ttydxxfdytF1)()(= txtdxxxfdxdyxf111) 1)()( 于是，) 1)()(ttftF，从而有 )2()2(fF，故应选(B). 方法方法 2：设( )( )xf x，于是 1( )( )ttyF tdyf x dx11( )( )ttttyydyx dxdydx 1( )( )tty dy1( )(1)( )tt ty dy 所以 ( )( )(1)( )( )( )(1),F tt tttf t t 所以 ( 2 )( 2 )Ff，选(B). (11)【答案】(D) 【详解】由题设，将A的第 1 列与第 2 列交换，即 12010100001AEAB， 将

21、B的第 2 列加到第 3 列，即 100010100011011100011100.001001001001BAAAQ 故011100001Q，应选(D). (12)【答案】(A) 【详解】 方法方法 1： 由矩阵秩的重要公式： 若A为nm矩阵，B 为np矩阵， 如果0AB，则( )( )r Ar Bn 设A为nm矩阵，B为sn矩阵，由0AB知，( )( )r Ar Bn，其中n是矩阵A的列数，也是B的行数 因A为非零矩阵，故( )1r A ，因( )( )r Ar Bn，从而( )1r Bnn ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B的行向量组线性相关. 因B为非零矩阵

22、，故( )1r B ，因( )( )r Ar Bn，从而( )1r Ann ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A的列向量组线性相关. 故应选(A). 方法方法 2：设A为nm矩阵，B为sn矩阵，将B按列分块，由0AB得， 12,0,0,1,2, .siABAAis 因B是非零矩阵，故存在0i，使得0iA. 即齐次线性方程组0Ax 有非零解. 由齐次线性方程组0Ax 有非零解的充要条件( )r An, 知( )r An. 所以A的列向量组线性相关. 又()0TTTABB A，将TA按列分块，得 12,0,0,1,2,.TTTTTTTTmiB ABBim 因A是非零矩阵，

23、故存在0Ti，使得0TTiB，即齐次线性方程组0Bx 有非零解. 由齐次线性方程组0Bx 有非零解的充要条件，知TB的列向量组线性相关，由TB是由B行列互换得到的，从而B的行向量组线性相关，故应选(A). 方法方法 3：设 (),ijm nAa()ijn sBb, 将A按列分块，记 12nAAAA 由0AB11121212221212ssnnnnsbbbbbbAAAbbb 1 11111,0nnsn snb Ab Ab Ab A (1) 由 于0B, 所 以 至 少 有 一 个 0ijb (1,1injs ), 又 由 (1) 知 , 11220jjijinjnb Ab Ab Ab A, 所以

24、12,mAAA线性相关. 即A的列向量组线性相关. (向量组线性相关的定义：如果对m个向量12,nmR ，有m个不全为零的数12,mk kkR，使11220mmkkk成立，则称12,m 线性相关.) 又将B按行分块，记 12nBBBB, 同样， 0AB11121121222212nnmmmnnaaaBaaaBaaaB111122121122221122nnnnmmmnna Ba Ba Ba Ba Ba Ba BaBaB0 由于0A,则至少存在一个0ija (1,1imjn ), 使 11220iiijjinna Ba Ba Ba B, 由向量组线性相关的定义知，12,mBBB线性相关, 即B的

25、行向量组线性相关， 故应选(A). 方法方法 4：用排除法.取满足题设条件的,A B. 取001000,10010001AB，有00100100,10001AB A的行向量组，列向量组均线性相关，但B的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立. 又取110100,00000100AB，有1101000000100AB， A的行向量组线性无关，B的列向量组线性相关，故(C)不成立. 由排除法知应选(A). (13)【答案】C 【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0 x有 12P XxP XxP Xx .或直接利用图形求解. 方法方法 1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，uX

26、P，于是 211xXPxXPxXPxXPxXP 即有 21 xXP，可见根据分位点的定义有21 ux，故应选(C). 方法方法 2： 图 1 图 2 如图 1 所示题设条件. 图 2 显示中间阴影部分面积，P Xx.两端各余面积12，所以12P Xu，答案应选(C). (14)【答案】A. 【详解】由于随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布，所以必有： 2, (,)0, ijijCov XXij 又 222111()nnniiiiiiiiDa Xa D Xa O x y ( )f x P Xu O x y P Xx 12 ( )f x 下面求1(, )Cov X Y和1()D XY. 而1

27、1,niiYXn故本题的关键是将Y中的1X分离出来，再用独立性来计算. 对于选项(A)： 1111112111(, )(,)(,)(,)nniiiiCov X YCov XXCov XXCov XXnnn11DXn21n 所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X与Y独立时，有 ()D XYD XD Y. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到： 22211222111(1)1()()nnnnD XYDXXXnnnnn =222233nnnnn， 222222111) 1()111()(nnnnXnXnXnnDYXDn =.222222

28、nnnnn 所以本题选 (A) 三、解答题三、解答题 (15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 方法方法 1：因为函数 2lnf xx在2 , ,a be e上连续，且在, a b内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件， 对函数 2lnf xx在 , a b上应用拉格朗日中值定理，得 22222lnlnlnln,bababaeabe 下证：22ln4e. 设tttln)(， 则2ln1)(ttt， 当te时，1 ln1 ln0te ， 即, 0)( t 所以)(t单调减少，又因为2e，所以)()(2e，即 2222lnlneee，得22ln

29、4e 故 )(4lnln222abeab. 方法方法 2：利用单调性， 设xexx224ln)(，证( )x在区间2, e e内严格单调增即可. 24ln2)(exxx，(222222ln444()20eeeeee，)2ln12)(xxx , 当xe时，1 ln1 ln0 xe ，, 0)( x 故)(x单调减少， 从而当2exe时，2( )()0 xe，即当2exe时，)(x单调增加. 因此当2exe时，)()(ab，即aeabeb22224ln4ln， 故 )(4lnln222abeab. 方法方法 3：设2224( )lnln()xxaxae, 则2ln4( )2xxxe，21 ln(

30、)2xxx, xe时, 1 ln1 ln0 xe ，得( )0 x， ( )x在2( ,)e e上单调减少, 从而当2exe时, 22244( )()0 xeee，( )x在2( ,)e e上单调增加. 从而当2eaxbe时, ( )( )0 xa. ( )0b，即2224lnln()babae. (16)【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法方法 1：由题设，飞机质量9000mkg，着陆时的水平速度hkmv/7000. 从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为( )x t，速度为( )v t，则 0)0(,)0(0 xvv. 根据牛顿第二定律，

31、得kvdtdvm. 又dxdvvdtdxdxdvdtdv. 由以上两式得 dvkmdx，积分得 .)(Cvkmtx 由于0)0(,)0(0 xvv，所以0(0)0.mxvCk 故得0vkmC ， 从而 ).()(0tvvkmtx 当0)(tv时， ).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km. 方法方法 2： 根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm, 分离变量：dvkdtvm ，两端积分得：1lnkvtCm ， 通解：tmkCev，代入初始条件00vvt，解得0vC ，故.)(0tmkevtv 飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v

32、，对应地t . 于是由dxvdt，有 000000( )1.05().kkttmmmvmvxv t dtv edtekmkk 或由 0ktmdxv tv edt，知) 1()(000tmkttmkemkvdtevtx，故最长距离为当t时，).(05. 1)(0kmmkvtx 方法方法 3：由kvdtdvm ，dxvdt，化为x对t的求导，得dtdxkdtxdm22, 变形为 022dtdxmkdtxd，0(0)(0), (0)0vxv x 其特征方程为 02mk，解之得mk21, 0，故.21tmkeCCx 由 2000000,ktmttttkCdxxvevdtm ，得,021kmvCC 于是

33、 ).1 ()(0tmkekmvtx 当t时，).(05. 1)(0kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km. (17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用. 方法方法 1： 加、 减曲面片高斯公式. 取1为xoy平面上被圆122 yx所围部分的下侧， 记为由与1围成的空间闭区域，则 dxdyzdzdxydydzxI1) 1(322233 133212223(1)x dydzy dzdxzdxdyII 由高斯公式：设空间闭区域是由分段光滑的闭曲面所围成，函数,P x y zQ x y zR x y z在上具有一阶连续偏导数，则有 PQRPdy

34、dzQdzdxRdxdydvxyz 这里3322,2,3(1)Px QyRz，2226,6,6PQRxyzxyz， 所以 2216()Ixyz dv 利用柱面坐标：cossin, 01, 02 ,xryrrdvrdrd dzzz ，有： 2216()Ixyz dxdydz=rdzrzdrdr)(620101022 221221123200011212122rrzrr zdrrrrdr 13246011124346rrr 11226 记D为1在xoy平面上的投影域22,1Dx y xy，则0z ，0dz ，又1为220(1)zxy的下侧，从而： 13322223(1)3 0 1DIx dydzy

35、 dzdxzdxdydxdy 33Ddxdy (其中Ddxdy为半径为 1 圆的面积，所以11Ddxdy) 故 1223.III 方法方法 2：用转换投影法：若,zz x y，z对, x y 具有一阶连续偏导数，则 ,zzdzdxdxdydydzdxdyxy . 曲面22221:1,(1),2 ,2zzzxyxyxyxy ，由转换投影公式 332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy 3322()2()3(1)zzxyzdxdyxy 44222443(1)3Dxyxydxdy 利用极坐标变换：cos, 01, 02 ,sinxrrdxdyrdrdyr ，所以 21444422004c

36、os4sin3(1)3Idrrrrdr 21545453004cos4sin3(2)drrrrdr 24404413( cossin)6622d 2222222004cossin2cossin6dd 222041 2cossin26d 22220041cossin 2263dd 20411 cos4236d 22004112cos4sin433624d 0 或244044( cossin)66d直接利用公式4422003 1cossin4 2 2dd 及224444220000cos4cos4sinsindddd 则 2440444 3 1( cossin)2 4666 4 2 2d 所以，原

37、式2 (18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用比较法判定. 零点定理：设函数 f x在闭区间, a b 上连续，且 0f af b，那么在开区间, a b 内至少存在一点，使 0f；单调性：设函数 f x在闭区间, a b 上连续，在, a b 内可导，如果在, a b 内 0fx，那么函数 f x在, a b 上单调增加；比较审敛 法：设1nnu和1nnv都是正项级数，且nnuv，若级数1nnv收敛，则级数1nnu收敛. 【 证 明 】 记( )1nnfxxnx， 则( )nfx是 连 续 函 数 ， 由01)0(nf，0) 1 ( nfn， 对

38、照连续函数的零点定理知， 方程01 nxxn存在正实数根).1 , 0(nx 当0 x时 ，0)(1nnxxfnn， 可 见)(xfn在), 0 上 单 调 增 加 , 故 方 程01 nxxn存在惟一正实数根.nx 由01 nxxn与0nx知nnxxnnn110，故当1时，函数yx单调增，所以)1(0nxn. 而正项级数11nn收敛，所以当1时，级数1nnx收敛. (19) 【分析】根据极值点存在的充分条件： 设函数( , )zf x y在点00,xy的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0 xyfx yfx y， 令000000(,),(,),(,)x xx y

39、y yfxyAfxyBfxyC， 则(,)zfx y在00,xy处是否取得极值的条件如下： (1)20ACB时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值； (2)20ACB时没有极值； (3)20ACB时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论. 所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样， 差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数. 【详解】因为 0182106222zyzyxyx，所以 两边对x求导：02262xzzxzyyx

40、， 两边对y求导：0222206yzzyzyzyx. 根据极值点存在的充分条件，令 00zxzy，得 303100 xyxyz，故 .,3yzyx 将上式代入0182106222zyzyxyx，可得 3, 3, 9zyx 或 . 3, 3, 9zyx 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再分别对, x y求偏导数，分别对, x y求偏导数 式对x求导： 02)(22222222xzzxzxzy， 式对x求导：, 02222622yxzzxzyzyxzyxz 式对y求导： , 02222622yxzzxzyzyxzyxz 式对y求导： 02)(22222022222yzzyzyzy

41、yzyz， 将3, 3, 9zyx 0, 0yzxz代入，于是61)3 , 3 , 9(22xzA，21)3 , 3 , 9(2yxzB，35)3 , 3 , 9(22yzC，故03612 BAC，又061A，从而点(9,3)是( , )z x y的极小值点，极小值为(9,3)3z. 类似地，将. 3, 3, 9zyx0, 0yzxz代入，于是22( 9, 3, 3)16zAx ， 2( 9, 3, 3)12zBx y ，22( 9, 3, 3)53zCy ，可知03612 BAC， 又061A，从而点(-9, -3)是( , )z x y的极大值点，极大值为( 9, 3)3z . (20)【

42、详解】 方法方法 1： 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 11112222aaAnnnna1()(2,)iiin 行行111120000aaaBnaa 对|B是否为零进行讨论： 当0a时，( )1r An ，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是mn矩阵，齐次方程组0Ax 有非零解的充要条件是( )r An. 故此方程组有非零解，把0a代入原方程组，得其同解方程组为 , 021nxxx ( ) 此时，( )1r A ，故方程组有1nrn 个自由未知量. 选23,nx xx为自由未知量，将他们的1n组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入( )式，得基础解系 ,)0 , 0

43、 , 1 , 1(1T ,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn 于是方程组的通解为 ,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数. 当0a时，对矩阵B作初等行变换，有 11112100001aBn( 1) 12,3iin 行()(1)00022100001n nan， 可知2) 1( nna时，nnAr1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2) 1( nna代入原方程组，其同解方程组为 , 0, 03, 0213121nxnxxxxx 此时，( )1r An，故方程组有(1)1nrnn个自由未知量.选2x为自由未量，取21

44、x ，由此得基础解系为Tn), 2 , 1 (，于是方程组的通解为kx ， 其中k为任意常数. 方法方法 2：计算方程组的系数行列式： 11112222aaAnnnna00011110002222000aaannnn矩阵加法 aE+nnnn22221111aEQ， 下面求矩阵Q的特征值： 11112222EQnnnn11112001(- )(2,3, )00iiinn行行 (1)1112( ) 1000(2,3, )000n niiin列列1(1)2nn n 则Q的特征值2) 1(, 0 , 0nn，由性质：若Axx，则()() ,mmkA xkx A xx，因此对任意多项式( )f x，(

45、)( )f A xfx，即( )f是( )f A的特征值. 故，A的特征值为(1), ,2n na aa, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A行列式.)2) 1(1nannaA 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是n阶矩阵，齐次方程组0Ax 有非零解的充要条件是0A. 可知，当0A，即0a或2) 1( nna时，方程组有非零解. 当0a时，对系数矩阵A作初等行变换，有 11112222Annnn1)(2,)iiin 行 （行1111000000000，. 故方程组的同解方程组为 , 021nxxx 此时，( )1r A ，故方程组有1nrn 个自由未知量.选23,nx xx为自由未知量

46、，将他们的1n组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入( )式， 由此得基础解系为 ,)0 , 0 , 1 , 1(1T ,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn 于是方程组的通解为 ,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数. 当2) 1( nna时， 11112100001aBn( 1) 1(2,3)iin 行(1)00022100001n nan， 即 00002100001n，其同解方程组为, 0, 03, 0213121nxnxxxxx 此时，( )1r An， 故方程组有(1)1nrnn个自由未知量. 选2x为自由未量

47、，取21x ， 由此得基础解系为Tn), 2 , 1 (， 于是方程组的通解为kx ， 其中k为任意常数. (21)【详解】A的特征多项式为 12314315EAa2(2)021114315a 行 （） 行 1101(2) 14315a提出 行公因数1101( 1)2(2) 03315a 行行 11012(2) 033015a 行行33(2)15a (2)(3)(5)3(1)a2(2)(8183 ).a 已知A有一个二重特征值，有两种情况，(1)2就是二重特征值，(2)若2不是二重根，则28183a是一个完全平方 (1) 若2是特征方程的二重根，则有, 03181622a 解得2a . 由 E

48、A2(2)(818 3 ( 2) 2(2)(812)2(2) (6)0 求得A的特征值为 2,2,6, 由 1232123123EA1231(-1)2,000113000行倍加到 行行的 倍加到 行， 知21EA秩，故2对应的线性无关的特征向量的个数为3 12nr ，等于2的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A可相似对角化. (2) 若2不是特征方程的二重根，则a31882为完全平方，从而18 316a，解得 .32a 当32a时，由 EA22(2)(8183 ()3 2(2)(816)2(2)(4)0 知A的特

49、征值为 2，4，4，由 32341032113EA1133行行323103000 知42EA秩， 故4对应的线性无关的特征向量有3 21nr , 不等于4的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A不可相似对角化. (22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强. 通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件， 可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来， 这种命题方式值得注意. 先确定(, )X Y的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(, )

50、X Y的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数. 【详解】(I) 由于1()( ) (|)12P ABP A P B A，所以,61)()()(BAPABPBP 利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有 121)(1, 1ABPYXP， 61)()()(0, 1ABPAPBAPYXP， ,121)()()(1, 0ABPBPBAPYXP )(1)(0, 0BAPBAPYXP21( )( )()3P AP BP AB (或321216112110, 0YXP)，故(, )X Y的概率分布为 Y X 0 1 0 32 121 1 61 121 (II) ,X Y的概率