2013考研数一真题及解析.pdf

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1、 2012013 3 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. （1）已知极限0arctanlimkxxxcx，其中, c k为常数，且0c ，则（ ） （A）12,2kc （B）12,2kc （C）13,3kc （D）13,3kc （2）曲面2cos()0 xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平

2、面方程为（ ） （A）2xyz （B）2xyz （C）23xyz （D）0 xyz （3） 设1( )2f xx，102( )sin(1,2,.)nbf xn xdx n， 令1( )s i nnnS xbn x， 则9()4S （ ） （A）34 （B）14 （C）14 （D）34 （4）设222222221234:1,:2,:22,:22,lxylxylxylxy为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxIydxxdy i，则( )iMAX I( ) （A）1I （B）2I （C）3I （D）3I （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若,BABC则 可

3、逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 （6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为 （A）a0,b2 （B）为任意常数ba, 0 （C）0, 2ba （D）为任意常数ba, 2 （7）设123XXX，是随机变量，且22123N(0,1)N(5,3 )XN，X0,2），X, 22(1,2,3),jjPPXj 则（ ） （A）123PPP （B）213PPP （C）312PPP （D）132

4、PPP （8） 设随机变量 ( ),(1, ),Xt n YFn给定(00.5),aa常数 c 满足P Xca,则2P Yc（ ） （A） （B）1 （C）2 （D）1 2 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. (9)设函数( )f x由方程(1)xyyxe确定，则1lim ( ( ) 1)nn fn (10)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程的通解为y (11)设sinsincosxtyttt（t为参数） ，

5、则224td ydx (12)21ln(1)xdxx （ 13 ） 设ijA(a )是 三 阶 非 零 矩 阵 ，|A|为 A 的 行 列 式 ，ijA为ija的 代 数 余 子 式 ， 若ijijaA0(i, j1,2,3),_A则 （14）设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a为常数且大于零，则1|P YaYa_。 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 计算10( ),f xdxx其中1

6、ln(1)( )xtf xdtt （16） （本题满分 10 分） 设数列na满足条件：0123,1,(1)0(2),nnaaan nan( )S x是幂级数0nnna x的和函数， （I） 证明：( )( )0SxS x, （II） 求( )S x的表达式. （17） （本题满分 10 分） 求函数3( , )()3x yxf x yye的极值. （18） （本题满分 10 分） 设奇函数( )f x 在-1,1上具有 2 阶导数，且(1)1,f证明： （I） 存在(0,1),( )1f使得 （II） 存在1,1 ，使得( )( )1ff （19） （本题满分 10 分） 设直线 L 过(1

7、,0,0),(0,1,1)AB两点， 将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面, 与平面0,2zz所围成的立体为， （I） 求曲面的方程 （II） 求的形心坐标. （20） （本题满分 11 分） 设101,101aABb，当, a b为何值时，存在矩阵C使得AC CAB，并求所有矩阵C。 （21） （本题满分 11 分） 设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。 （I）证明二次型f对应的矩阵为2TT ； （II）若, 正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。 （22） （

8、本题满分 11 分） 设随机变量的概率密度为2103( )40 xxf x其他，令随机变量211212xYxxx, （I）求 Y 的分布函数 （II）求概率P XY （23） （本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为 23,0,0,.xexfxx其它其中为未知参数且大于零，12,NXXX，为来自总体X的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 2012013 3 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案 一、一、选择题：选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

9、分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. （1）已知极限0arctanlimkxxxcx，其中, c k为常数，且0c ，则（ ） （A）12,2kc （B）12,2kc （C）13,3kc （D）13,3kc 【答案】D 【解析】33300011()arctan133limlimlim,3,3kkkxxxxxxo xxxxckcxxx （2）曲面2cos()0 xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平面方程为（ ） （A）2xyz （B）2xyz （C）23xyz （D）0 xyz 【答案】A

10、【解析】设2( , , )cos()F x y zxxyyzx， 则( , , )2sin() 1(0,1, 1)1xxF x y zxyxyF ； ( , , )sin()(0,1, 1)1yyF x y zxxyzF ； ( , , )(0,1, 1)1zzF x y zyF， 所以该曲面在点(0,1, 1)处的切平面方程为(1)(1)0 xyz， 化简得2xyz ，选 A （3）设1( ),0,12f xxx，102( )sin(1,2,.)nbf xn xdx n，令1( )sinnnS xbn x，则9()4S （ ） （A）34 （B）14 （C）14 （D）34 【答案】C 【解

11、析】【解析】 根据题意， 将函数在 1,1上奇延拓1,012( )1,102xxf xxx ， 它的傅里叶级数为( )S x它是 以2为 周 期 的 ， 则 当( 1,1)x 且( )f x在x处 连 续 时 ，()()Sxfx， 因 此991111()(2 )()()()444444SSSSf （4）设222222221234:1,:2,:22,:22,lxylxylxylxy为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxIydxxdy i，则( )iMAX I( ) （A）1I （B）2I （C）3I （D）4I 【答案】D 【解析】33()(2)(1,2,3,4

12、)63iilyxIydxxdy i 22(1)2iDyxdxdy x y O 1 2 利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,D D上函数为正值，则区域大，积分大，所以41II，在4D之外函数值为负，因此4243,IIII，故选 D。 （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（ ） （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】 （B） 【解析】由ABC 可知 C 的列

13、向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有1 CBA，从而A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B） 。 （6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为 （A）0,2ab （B）为任意常数ba, 0 （C）0, 2ba （D）为任意常数ba, 2 【答案】(B) 【解析】由于1111aabaa为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为1111aabaa的特征值为0 , 2 b。 又211()(2)211aEAababaa ，从而为任意常数ba, 0。 （7

14、）设123XXX，是随机变量，且22123N(0,1)N(5,3 )XN，X0,2），X, 22(1,2,3),jjPPXj 则（ ） （A）123PPP （B）213PPP （C）312PPP （D）132PPP 【答案】 （A） 【解析】由221230,1 ,0,2,5,3XNXNXN知， 111222221pPXP X ， 222222211pPXP X ，故12pp. 由根据235,3XN及概率密度的对称性知，123ppp，故选（A） （8） 设随机变量 ( ),(1, ),Xt n YFn给定(00.5),aa常数 c 满足P Xca,则2P Yc（ ） （A） （B）1 （C）2

15、（D）1 2 【答案】 （C） 【解析】由 ( ),(1, )Xt n YFn得，2YX，故2222P YcP XcP XcXca或 二、填空题二、填空题(9(91414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分请将答案写在分请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上) ) (9)设函数( )f x由方程(1)xyyxe确定，则1lim ( ( ) 1)nn fn 【答案】1 【解析】01( ) 1lim ( ( ) 1)lim(0)nxf xn ffnx 由(1)xyyxe，当0 x时，1y 方程两边取对数ln()(1)yxxy 两边同时对x求导，得11(1)yyxyy

16、x 将0 x，1y 代入上式，得(0)1f (10)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程的通解为y 【答案】3212xxxyCeC exe 【解析】因321xxyexe，22xxyexe是非齐次线性线性微分方程的解，则312xxyyee是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为312xxpyC eC e，因此该方程的通解可写为3212xxxyCeC exe (11)设sinsincosxtyttt（t为参数） ，则224td ydx 【答案】2 【解析】sincossincos ,cosdydxtt

17、tttttdtdt， coscosdytttdxt， ()1dyddxdt，所以221cosd ydxt，所以2242td ydx (12)21ln(1)xdxx 【答案】ln2 【解析】12111ln1ln1ln()(1)11(1)xxdxxddxxxxxx 1111111lnln(1)lnln2(1)11xdxdxxxxxxxx （ 13 ） 设ijA(a )是 三 阶 非 零 矩 阵 ，|A|为 A 的 行 列 式 ，ijA为ija的 代 数 余 子 式 ， 若ijijaA0(i, j1,2,3),_A则 【答案】1 【解析】 0ijijaA由可知，*TAA 11223311223333

18、22110iiiiiijjjjjjijijjiAa Aa Aa Aa Aa Aa Aaa 2*,=-1.TAAAAA 从而有故 （14）设随机变量 X 服从标准正态分布N(0,1)X,则2()XE Xe= _。 【答案】22e 【解析】由0,1XN及随机变量函数的期望公式知 221242222211222xxXxE Xexeedxxedxe. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题答题纸纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 计算10( ),f

19、 xdxx其中1ln(1)( )xtf xdtt 【解析】11110000ln(1)( )1ln(1)xxtdtf xttdxdxdxdttxxx 1110000ln(1)1ln(1)ln(1)22ttttdtdxtdtdtttxt 111000112002112200104ln(1)4ln(1)14ln244ln242111 114ln284ln281114ln28arctan4ln28(1)4ln2824ttd tttdtttudtudutuududuuuuu （16） （本题满分 10 分） 设数列na满足条件：0123,1,(1)0(2),nnaaan nan( )S x是幂级数0nn

20、na x的和函数， （III） 证明：( )( )0SxS x, （IV） 求( )S x的表达式. 【解析】 （I）设0( )nnnS xa x，11( )nnnS xa nx，22( )(1)nnnS xa n nx， 因为2(1)0nnan na，因此222220( )(1)( )nnnnnnnnnSxa n nxaxa xS x； （II）方程( )( )0SxS x的特征方程为210 ， 解得111,1 ，所以12( )xxS xcec e， 又012(0)33aScc，112(0)11aScc ， 解得122,1cc ，所以( )2xxS xee。 17（本题满分 10 分） 求函

21、数3( , )()3x yxf x yye的极值. 【解析】332233()(+y+)033()(1+y+)033x yx yx yxx yx yx yyxxfx eyexexxfeyee 解得42(1,),( 1,)33 ， 33222332233(2)()(+22 + )33+()=(+ +1)33(1)(+2)33x yx yx yxxx yx yx yxyx yx yx yyyxxAfxx exyexx y exxBfexyexyexxCfeyeye 对于4(1,)3点，11123333,0,0,AeBeCeACBA 4(1,)3为极小值点，极小值为13e 对于2( 1,)3，5552

22、333, =0AeBeCeACB ,不是极值. （18） （本题满分 10 分） 设奇函数( )f x 在-1,1上具有 2 阶导数，且(1)1,f证明： （III） 存在(0,1),( )1f使得 （IV） 存在1,1 ，使得( )( )1ff 【解析】 （1）令( )( ),(0)(0)0,(1)(1) 10,F xf xx FfFf 则0,1 使得( )0,( )1Ff即 （2）令( )( ) 1),xG xefx则( )0,G 又由于( )f x为奇函数，故( )fx为偶函数，可知()0G, 则,1,1 使( )0,G 即( ) 1( )0efe f，即( )( )1ff （19） （

23、本题满分 10 分） 设直线 L 过(1,0,0),(0,1,1)AB两点， 将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面, 与平面0,2zz所围成的立体为， （III） 求曲面的方程 （IV） 求的形心坐标. 【解析】 （1）l过,A B两点，所以其直线方程为：1100111xzxyzyz 所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为： 222222213(1)()224xyxyzzz （2）由形心坐标计算公式可得22202220(1)75(1)zdxdydzzzzdzzdxdydzzzdz，所以形心坐标为7(0,0, )5 （20） （本题满分 11 分） 设101,101aABb，当, a b为何值时，存在

24、矩阵C使得AC CAB，并求所有矩阵C。 【解析】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设1234xxCxx，则由AC CAB可得线性方程组： 2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb （1） 01001011110111101101010110111010001000100100101011101010000100001aaaaaaaaaabababaaaba 由于方程组（1）有解，故有10,10aba ，即1,0,ab 从而有 01001011110101100101110000001000000aaaab，故有112211231421,.xkkxkkkxkxk 其中 、

25、 任意 从而有121121kkkCkk （21） （本题满分 11 分） 设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。 （I）证明二次型f对应的矩阵为2TT ； （II）若, 正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。 【解析】(1) 222222222111222333121212131313232323( 2)( 2)( 2)( 42)( 4)( 42)fabxabxabxa ab bx xa ab bx xa ab bx x 222211121 2131 311213

26、11 21 32222121 222232 3122231 222 32222131 3232 333132331 32 3322222222222TTaba abba abbaa aa abbbbbfa abbaba ab ba aaa abbbb ba abba ab baba aa aabbb bb则 的矩阵为（2）,2 ,TTTTTTAA 令A=2则22，则 1,2 均为 A 的特征值，又由于( )(2)()()2TTTTr Arrr，故 0 为 A 的特征值，则三阶矩阵 A 的特征值为 2,1,0，故 f 在正交变换下的标准形为22122yy （22） （本题满分 11 分） 设随机

27、变量的概率密度为2103( )40 xxf x其他，令随机变量211212xYxxx, （I）求 Y 的分布函数 （II）求概率P XY 【解析】 （1） YFyP Yy 由Y的概率分布知，当1y 时， 0YFy ； 当2y 时， 1YFy ； 当12y时， 1111YFyP YyP YPYyP YPXy =32221112199yP XPXyx dxx dx 31(18)27y (2) 8,1,12,227P XYP XY XP XYXP XY X （23） （本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为 23,0,0,.xexfxx其它其中为未知参数且大于零，12,NXXX，为来自总体X的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【解析】 (1)2300( )()xxEXxf x dxxedxedxx， 令E XX， 故矩估计量为X. (2)2233111100( )( ; )00iinnxxnniiiiiiiiexexLf xxx其他其他 当0ix 时， 111ln ( )2 ln3lnnniiiiLnxx 令1ln ( )210niidLndx， 得121niinx，所以得极大似然估计量=121niinx.