2010考研数一真题及解析.pdf

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1、 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学一一试题试题 一、选择题选择题(18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.) (1) 极限2lim()()xxxxa xb ( ) (A) 1. (B) e. (C) a be. (D) b ae. (2) 设函数( , )zz x y,由方程,0y zFx x确定,其中F为可微函数,且20F,则zzxyxy( ) (A) x. (B) z. (C) x. (D) z. (3) 设,m n是正整数,则反常积分210l

2、n1mnxdxx的收敛性 ( ) (A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关. (C) 与,m n取值都有关. (D) 与,m n取值都无关. (4) 2211limnnnijnninj ( ) (A) 1200111xdxdyxy. (B) 100111xdxdyxy. (C) 1100111dxdyxy. (D) 11200111dxdyxy. (5) 设A为m n矩阵,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵,若ABE,则 ( ) (A) 秩 r Am,秩 r Bm. (B) 秩 r Am,秩 r Bn. (C) 秩 r An,秩 r Bm. (D) 秩 r An,秩 r Bn. (6)

3、设A为 4 阶实对称矩阵,且2AAO,若A的秩为 3,则A相似于 ( ) (A) 1110. (B) 1110. (C) 1110. (D) 1110. (7) 设随机变量X的分布函数0,01( ),0121,1xxF xxex,则1P X = ( ) (A) 0. (B) 12. (C) 112e. (D) 11 e. (8) 设1( )f x为标准正态分布的概率密度,2( )fx为1,3上均匀分布的概率密度,若12( ),0( )( ),0af x xf xbfx x,(0,0)ab为概率密度,则, a b应满足 ( ) (A) 234ab. (B) 324ab. (C) 1ab. (D)

4、 2ab. 二、填空题填空题(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.) (9) 设20,ln 1,ttxeyudu 求220td ydx. (10) 20cosxxdx. (11) 已知曲线L的方程为11,1yxx ,起点是1.0,终点是1,0,则曲线积分2Lxydxx dy. (12) 设22, ,1x y z xyz ,则的形心的竖坐标z . (13) 设1231,2, 1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa,若由123, 生成的向量空间的维数是 2,则a . (14) 设 随 机 变 量X的 概 率 分 布 为!CP Xkk,0,1,2,k ,

5、则2E X= . 三、解答题解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程322xyyyxe的通解 (16)(本题满分 10 分) 求函数 2221xtf xxt edt的单调区间与极值. (17)(本题满分 10 分) (I)比较10lnln 1nttdt与10lnntt dt1,2,n 的大小,说明理由； (II)记10lnln 1nnuttdt1,2,n ,求极限limnnu. (18)(本题满分 10 分) 求幂级数121121nnnxn的收敛域及和函数. (19)(本题满分 1

6、0 分) 设P为椭球面222:1S xyzyz上的动点,若S在点P处的切平面与xOy面垂直,求点P的轨迹C,并计算曲面积分223244xyzIdSyzyz,其中是椭球面S位于曲线C上方的部分. (20)(本题满分 11 分) 设110111aAb ，,已知线性方程组Axb存在两个不同的解. ( I ) 求,a； ( II ) 求方程组Axb的通解. (21)(本题满分 11 分) 已知二次型123(,)Tf x xxx Ax在正交变换xQy下的标准形为2212yy,且Q的第三列为22(,0,)22T. ( I ) 求矩阵A； ( II ) 证明AE为正定矩阵,其中E为 3 阶单位矩阵. (22

7、)(本题满分 11 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 2222( , )xxy yf x yAe,x,y, 求常数A及条件概率密度|( | )Y Xfy x (23) (本题满分 11 分) 设总体X的概率分布为 X 1 2 3 P 1 2 2 其中参数0,1未知,以iN表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(1,2,3i ).试求常数123,a a a,使31iiiTa N为的无偏估计量,并求T的方差. 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题数学一试题参考答案参考答案 一、选择题选择题 (1)【答案】 (C).

8、 【解析】本题属于未定式求极限,极限为1型,故可以用“e的抬起法”求解 2limxxxxaxb2lnlimxxx ax bxe2limlnxxxx ax be, 其中又因为 2222()()limlnlimln1()()()()lim()()()lim()()xxxxxxx ax bxxx ax bx ax bx xx ax bx ax ba b xabxx ax bab 故原式极限为a be,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B). 【解析】122212122221xzyzyzFFFFFyFzFzxxxxxFFxFFx , 112211yzFFFzxyFFFx , 1212222yFz

9、FyFFzzzxyzxyFFF (3) 【答案】 (D). 【解析】0 x与1x都是瑕点.应分成 22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx, 用比较判别法的极限形式,对于2120ln1mnxdxx,由于121012ln (1)lim11mnxnmxxx. 显然,当1201nm,则该反常积分收敛. 当120nm,1210ln (1)limmxnxx存在,此时2120ln1mnxdxx实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n是什么正整数,2120ln1mnxdxx总收敛.对于2112ln1mnxdxx,取01,不论,m n是什么正整数, 1211211ln

10、(1)limlimln (1) (1)01(1)mnmxxxxxxx, 所以2112ln1mnxdxx收敛,故选(D). (4)【答案】 (D). 【解析】222211111()nnnnijijnnninjninj 22111()()nnjinnjni 12220211111limlim,11 ( )nnnnjjndyjnjnyn 1011111limlim,11 ( )nnnniindxininxn 2222111111limlim()()nnnnnnijjinnjnininj 221(lim)nnjnnj1(lim)nninni 1120011()()11dxdyxy11200111dxd

11、yxy. (5)【答案】 (A). 【解析】由于ABE,故()( )r ABr Em.又由于()( ), ()( )r ABr A r ABr B,故 ( ),( )mr A mr B 由于A为m n矩阵,B为nm矩阵,故 ( ), ( )r Am r Bm 由、可得( ), ( )r Am r Bm,故选 A. (6)【答案】 (D). 【解析】设为A的特征值,由于2AAO,所以20,即(1)0,这样A的特 征 值 只 能 为 -1或0. 由 于A为 实 对 称 矩 阵 , 故A可 相 似 对 角 化 , 即A,( )( )3r Ar ,因此,1110 ,即1110A . (7) 【答案】

12、(C). 【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中( )F x的形式,得到随机变量X既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即 111111111 0122P XP XP XFFee ,故本题选(C). (8)【答案】 (A). 【解析】根据题意知, 22112xfxe(x), 21,1340,xfx 其它 利用概率密度的性质: 1f x dx,故 03121001312424aaf x dxafx dxbfx

13、 dxfx dxbdxb 所以整理得到234ab,故本题应选(A). 二、填空题填空题 (9) 【答案】0. 【解析】因为 22ln 1ln 1tttdytedxe , 22222ln 12ln 11ttttdted ydtteteedxdtdxt ,所以2200td ydx. (10)【答案】 4. 【解析】令xt,2xt,2dxtdt,利用分部积分法, 原式22000cos22cos2sintttdtttdtt dt 20002sin2 sin4costtttdttdt 0004coscos4 cos4sin4tttdtt . (11) 【答案】0. 【解析】12222LLLxydxx d

14、yxydxx dyxydxx dy 01221011xx dxx dxxx dxxdx 01221022xx dxxxdx 01322310223223xxxx 211203223 (12) 【答案答案】23. 【解析】 22212212110000211212000021rrrzdrdrzdxdydzdrdrzdzdxdydzdrdrdzdrrdr 421001222rdrdr1262004122rrd 20112266322d. (13)【答案】6a. 【解析】因为由123, 生成的向量空间维数为 2,所以123(,)2r . 对123(,) 进行初等行变换： 12311211211221

15、1013013(,)1010130060202000aaa 所以6a. (14) 【答案】2. 【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知 001!kkCP XkCek,整理得到1Ce,即 111!keP Xkekk. 故X服从参数为1的泊松分布,则1,1E XD X,根据方差的计算公式有 2221 12E XD XE X . 三、解答题解答题 (15) 【解析】 对应齐次方程的特征方程为2320,解得特征根121,2,所以对应齐次方程的通解为212xxcyCeC e 设原方程的一个特解为*()xyx axb e,则 *22xyaxaxbxb e, *2422xyaxaxbxab e, 代入

16、原方程,解得1,2ab ,故特解为*(2)xyxxe 故方程的通解为*212(2)xxxcyyyCeC ex xe (16)【解析】因为22222222111( )()xxxtttf xxt edtxedttedt, 所以2224423311( )2222xxtxxtfxxedtx ex exedt,令( )0fx,则0,1xx . 又22421( )24xtxfxedtx e,则201(0)20tfedt,所以 221011011(0)(0)(1)22ttft edtee 是极大值. 而1( 1)40fe ,所以( 1)0f 为极小值. 又因为当1x时,( )0fx；01x时,( )0fx；

17、10 x 时,( )0fx；1x时,( )0fx,所以( )f x的单调递减区间为(, 1)(0,1) ,( )f x的单调递增区间为( 1,0)(1,). (17)【解析】 (I)当01x时0ln(1)xx,故ln(1)nntt,所以 lnln(1)lnnnttt t, 则 1100lnln(1)lnnnttdtt t dt1,2,n . (II)11110001lnlnln1nnnt t dtt t dttd tn 211n,故由 12010ln1nnut t dtn, 根据夹逼定理得210limlim01nnnun,所以lim0nnu. (18)【解析】 (I) (1) 1222(1)1

18、122( 1)( 1)2(1) 121limlim( 1)( 1)2121nnnnnnnnnnxxnnxxnn222(21)21limlim2121nnnxnxxnn, 所以,当21x ,即11x 时,原级数绝对收敛.当21x 时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R . 当1x 时,11211( 1)( 1)2121nnnnnxnn,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为1,1. (II) 设1122111( 1)( 1)( )2121nnnnnnS xxxxnn,其中令 12111( 1)( )21nnnS xxn1,1x , 所以有 12221111( )( 1)()nnnn

19、nSxxx 1,1x , 从而有 12211( )1 ()1Sxxx 1,1x , 故 11201( )(0)arctan1xS xdxSxx,1,1x . 1( )S x在1,1x 上是连续的,所以( )S x在收敛域1,1上是连续的.所以 ( )arctanS xxx,1,1x . (19)【解析】 ( I )令222, ,1F x y zxyzyz,故动点, ,P x y z的切平面的法向量 为2, 2, 2xyzzy, 由 切 平 面 垂 直xOy, 故 所 求 曲 线C的 方 程 为222120 xyzyzzy. ( II ) 由, 02, 1222yzyzzyx 消去z,可得曲线C

20、在xOy平面上的投影曲线所围成的xOy上的区域223:( , )|14Dx yxy,由 xxyzzyx1222,由 dxdyzyyzzydxdyyzxzdS24412222, 故 22323344DDDxyzIdSxdxdyxdxdydxdyyzyz 233123Ddxdy . (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法. 方法 1：( I )已知Axb有 2 个不同的解,故( )( )3r Ar A,对增广矩阵进行初等行变换,得 111110101010111111aAa 221111110101

21、01010110011aa 当1时,11111111000100010000000Aa,此时,( )( )r Ar A,故Axb无解(舍去) 当1时,111102010002Aa,由于( )( )3r Ar A,所以2a ,故1 ,2a. 方法 2：已知Axb有 2 个不同的解, ,故( )( )3r Ar A,因此0A ,即 211010(1) (1)011A, 知1或-1. 当1时,( )1( )2r Ar A ,此时,Axb无解,因此1.由( )( )r Ar A,得2a . ( II ) 对增广矩阵做初等行变换 3101211121112102010201010211110000000

22、0A 可知原方程组等价为1323212xxx ,写成向量的形式,即123332110210 xxxx . 因此Axb的通解为32110210 xk ,其中k为任意常数. (21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换xQy下的标准形为2212yy,所以A的特征值 为1231,0. 由于Q的第 3 列为22,0,22T,所以A对应于30的特征向量为22,0,22T,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121的特征向量为123,Tx x x,则30T ,即1322022xx. 求得该方程组的基础解系为120,1,0,1,0,1TT ,因此12, 为属于

23、特征值1的两个线性无关的特征向量. 由于12, 是相互正交的,所以只需单位化： 12121210,1,0,1,0,12TT. 取12312022,10012022Q ,则110TQ AQ ,且1TQQ, 故 1102201011022TAQ Q. ( II )AE也是实对称矩阵,A的特征值为 1,1,0,所以AE的特征值为 2,2,1,由于AE的特征值全大于零,故AE是正定矩阵. (22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度,f x y后,要求条件概率密度|( | )Y Xfy x,可以根据条件概率公式|( , )(| )( )Y XXf x yfy xfx来进行计算.本题中还有待定参数

24、,A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下. 22222222()(),xxy yy xxxy xXfxf x y dyAedyAedyAeedy 2,xAex . 根据概率密度性质有 21xXfx dxAedxA,即1A, 故 21xXfxe,x. 当x时,有条件概率密度 222222222(),11,xxy yxxy yx yY XxXf x yAefy xeexyfxAe . (23)【解析】22123,1,NB nNB nNB n 31122331iiiE TEa Na E Na E Na E N 221231ana na n212132nan aan aa. 因 为T是的 无 偏 估 计 量 , 所 以 E T, 即 得12132010nan aan aa, 整 理 得 到10a ,21,an 31an.所以统计量 12323111110TNNNNNnNnnnn. 注意到1( ,1)NB n,故 11211D TDnND Nnn11n.