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1、 考点精编 教师事业部 1 2021 年国考资格证年国考资格证数学学科数学学科考点精编考点精编 第一模块第一模块 考情分析考情分析 一、考试内容分析一、考试内容分析 数学学科知识与教学能力是初高中学段教师资格统考科目三的考试科目， 考试内容包括数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能四个模块。从近年统考省份教师资格数学学科知识与教学能力的真题来看，试题类型分为单项选择题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题六种题型，考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。 二、题型解读二、题型解读 （一）单项选择题 单项选择题是数学教师资格考试的主要题型之一， 其主要考查学科知识和课程知识，
2、 考查内容较为广泛。学科知识所占比重较大，侧重于对概念、定义、定理、性质等的应用，计算能力较强；课程知识属于识记或理解记忆的内容，考查题量不多，得分也较为容易。 （二）简答题 简答题是数学教师资格考试中常见题型之一，其题目设计灵活多变，层出不穷。简答题一般包括 5 小题，前三道考查学科知识，后两道考查课程知识和教学知识。其中学科知识多以证明、求解形式呈现，考查对基本定理、基本公式的运用，在证明及解答过程中需做到熟练应用；课程知识和教学知识的考查多以列举、简答形式呈现，考查对基本概念、基本原则的识记，在答题过程中须做到言简意赅，避免回答过长，知识点全面即可。 （三）解答题 解答题考查内容多为大学
3、数学专业基础知识，如导函数、矩阵及线性空间等。该部分综合性强，难度较大，解答题是按步骤给分，故在答题时须条理清楚、字迹工整，方便阅卷老师一目了然。 （四）论述题 论述题考查内容为课程知识、教学知识、教学技能，多为对一些观点或行为进行评价，其综合性较强，具有知识量大、解题方法多、凸显数学思想方法等特点。该类型题目在答题时需提出论点并论证。故在答题时要找到关键字，分点论述，同时保持卷面清洁。 （五）案例分析题 案例分析题考查的内容为教学技能，给出教学片段，提出问题。要求考生依据一定的理论知识给出评价或做出决策，考查考生运用知识解决问题的能力。该题型属于综合性题目，区分度较高，考生需把握住案例分析的
4、特点和规律，掌握正确的解题模式。 （六）教学设计题 考点精编 教师事业部 2 教学设计就是给出一个课题，按要求进行设计。一般从教学目标、教学重难点、教学过程（及设计意图）等几个问题进行考查。教学设计题是考查考生运用有关知识进行教学设计能力的集中体现，属于综合性题目，它不仅能考查考生对知识的了解程度，而且考查考生运用知识解决实际问题的能力。 三、备考策略三、备考策略 在数学学科知识与教学能力的笔试中涉及到的知识点非常多， 出题形式灵活， 这些都给考生复习备考造成困难，因此对于数学专业知识备考可以分为以下几个阶段： （一）研究考试内容阶段 该阶段的任务是考生需对考试的范围了解清楚， 另外可以根据真
5、题要求进行自我摸底测试，明确自身的实际情况与考试要求的差距。接下来考生可以结合自身的情况，制定复习计划。 （二）基础知识梳理在此阶段，各位考生应当以梳理知识点为主，并配合做对应专题的习题， 这样可以巩固所复习的知识同时也提高运算的准确性和高效性。 建议考生每一专题复习结束后用思维导图将各模块知识之间建立联系， 另外对于错题难题进行分类整理并分析原因，因为第二阶段在复习中最为关键，持续的时间也较长。为了更加高效地学习掌握知识和做题方法，考生可以选择有系统教研的辅导班来帮助自己。 （三）综合练习阶段 在第二阶段全面复习结束后就应该做一些综合考点的题目， 这部分题目主要的考查题型为简答题，解答题，论
6、述题，案例分析及教学设计。在复习备考的解答题综合练习阶段需要着重复习大学数学专业基础知识，如导函数、矩阵及线性空间等。另外对于案例分析也可以分类型进行练习，掌握常规出题类型。综合练习阶段是一个将知识内化并综合应用的阶段，因此考生应该多分析，多总结答题思路和答题方法。 在备考教学设计题的过程中， 考生要用心准备相关的教材内容， 掌握教学设计的基本技能。在设计和解读的过程中，要注意体现学生为主体，设计利用学生的主动性，强调对思想方法和情感态度价值观的引导。 （四）模拟考试阶段 基础复习之后， 考生可以按照历年真题要求进行实战演练。 建议考试最好能够尽可能逼真地模拟考试情境的各个方面， 其中包括考试
7、过程中做题顺序和每个题型时间的安排。 在考试前一天考生尽量调整作息时间以保证在考场上呈现最佳水平。 考点精编 教师事业部 3 第二模块第二模块 高频知识点汇总高频知识点汇总 第一部分第一部分 数与代数数与代数 第一章第一章 函数函数 一、函数的定义一、函数的定义 1.求定义域 （1）分母不为 0； （2）偶次方根的被开方数非负； （3）对数的真数部分大于 0； （4）0的零次幂没有意义。 2.求值域 （1）图象法； （2）配方法； （3）分离常数法； （4）基本不等式； （5）单调性。 3.求解析式 （1）凑配法； （2）换元法； （3）特殊值法； （4）解方程组法； （5）待定系数法。 二、
8、函数的基本性质二、函数的基本性质 1.单调性 （1）确定单调区间的方法： （1）定义法； （2）导数法； （3）图象法。 （2）复合函数yf g x= =（ ）在公共定义域上的单调性：同增异减。 2.奇偶性 一般地，对于函数f x（ ）的定义域内的任意一个x，若： （1）偶函数：fxf x=（） （ ），图象关于y轴对称； （2）奇函数：fxf x= = （）（ ），图象关于原点对称。 3.周期性 （1）对于定义域内的任意一个x，使f xTf x+=+=（） （ ）恒成立，则f x（ ）叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。 （2）yf x= = （ ）对xR 时，f xaf xa+=+=（
9、） （）或2f xaf x=（） （ ），0a （）恒成立，则yf x= = （ ）是周期为2a的周期函数； （3）若yf x= = （ ）是偶函数，其图象又关于直线xa= =对称，则f x（ ）是周期为2 a的周期函数； 考点精编 教师事业部 4 4.对称性 2（） （）（） （ ）f xaf xaf xaf x+=+=函数f x（ ）关于直线xa= =对称。 5.凹凸性 设f x（ ）在区间I上连续，若对于I上任两点12,x x恒有121222xxf xf xf+ （ ） （ ）（），那么f x（ ）在I上的图形是凸的 （凸弧） ； 如果恒有121222xxf xf xf+ （ ） （ ）
10、（）， 那么称f x（ ）在I上的图形是凹的（或凹弧） 。 三、特殊函数的图象三、特殊函数的图象 1.指数函数的图象与性质： a的范围 01a 1a 图象 恒过点 01（ ， ） 01（ ， ） 定义域 R R 值域 0 + （ ，） 0 + （ ，） 单调性 单调递减 单调递增 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 2.对数函数的图象与性质 a的范围 01a 1a 图象 恒过点 10（， ） 10（， ） 定义域 0 + （ ，） 0 + （ ，） 值域 R R 单调性 单调递减 单调递增 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 四、特殊函数的计算四、特殊函数的计算 考点精编 教师事业部 5 1.指数的运算性质：
11、 （1）01mnmnaaamnn+ +=N（， 、，）； （2）101mnmnaamnna + +=N（， 、，）； （3）0rsrsa aaars+ +=R（， 、）； （4）0rsr saaaars =R（， 、）； （5）0rsrsaaars=R（ ）（， 、）； （6）0（）（ 、，）rrraba babr=R。 2.对数的运算性质： 设0a ，且1a ，M、0N ，则有 （1）logloglogaaaM NMN=+（）； （2）logloglogaaaMMNN=； （3）loglognmaamMMn=（mR，0n ） ； （4）logloglogcacbba=（0c ，且1c ，0b
12、 ） ； （5）logaMaM=。 第二章第二章 三角函数三角函数 一、三角变换公式一、三角变换公式 1.诱导公式 （1）()()sinsin2cos为偶数为奇数nnn=； （2）()()coscos2sin为偶数为奇数nnn= 求任意角三角函数时，可以转化为特殊角的三角函数： “奇变偶不变，符号看象限” 。 2.三角恒等变换 （1）22sincos1+=，221tansec+=，221cotcsc+=； （2）sintancos=，coscotsin=； （3）tancot1=，sincsc1=，cossec1=。 3.两角和与差公式 （1）sinsincoscossin=（）； （2）co
13、scoscossinsin=（）； 考点精编 教师事业部 6 （3）tantantan1tantan=（）。 4.积化和差公式 （1）1sincossinsin2=+（）（）； （2）1cossinsinsin2=+（）（）； （3）1coscoscoscos2=+（）（）； （4）1sinsincoscos2= +（）（）； 5.和差化积公式 （1）sinsin2sincos22+=； （2）sinsin2cossin22+=； （3）coscos2coscos22+=； （4）coscos2sinsin22+= ； 6.倍角公式 （1）sin22sincos=； （2）2222cos2co
14、ssin2cos112sin= = ； （3）22tantan21 tan=。 7.半角公式 （1）21cossin22=； （2）21coscos22+=； （3）1 cossin1 costan=2sin1 cos1 cos= +。 二、三角函数的图象与性质二、三角函数的图象与性质 （一）正弦函数 1.定义域：R 2.值域：11 ， 考点精编 教师事业部 7 3.单调性 2222kkk+Z，（）上单调递增；32222kkk+Z，（）上单调递减。 4.奇偶性与对称性 （1）奇函数，关于原点对称； （2）对称中心：0（， ）k（）k Z，是图象与x轴的交点； （3）对称轴：直线2（）xkk=+
15、 Z，是过最高点或最低点且垂直于x轴的直线。 5.周期性：最小正周期2T = 。 （二）余弦函数 1.定义域：R 2.值域：11 ， 3.单调性 22kkk+Z， （）上单调递增；22kkk+Z，（）上单调递减。 4.奇偶性与对称性： （1）偶函数，关于y轴对称； （2）对称中心：02（， ）k+ （）k Z，是图象与x轴的交点； （3）对称轴：直线xk= （）k Z，是过最高点或最低点且垂直于x轴的直线。 5.周期性：最小正周期2T = 。 （三）正切函数 1.定义域： |2x xkk+ Z， 2.值域：R 3.单调性：22（，）kk+ + （）k Z上单调递增。 4.奇偶性与对称性： （1
16、）奇函数，关于原点对称； （2）对称中心：02（， ）k（）k Z，是图象与x轴的交点或渐近线与x轴的交点； （3）对称轴：不存在。 5.周期性：最小正周期是T = 。 三、解三角形三、解三角形 1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC=（R为外接圆半径） 。 考点精编 教师事业部 8 2.余弦定理：222cos2bcaAbc+=；222cos2acbBac+=；222cos2abcCab+=。 3.面积公式：111sinsinsin222ABCSabCacBbcA=。 第三章第三章 数列数列 一、等差数列一、等差数列 1.通项公式：11（）naand=+*（）nN 2.前n项和公式：
17、111111222（）（）（）nnnn aaSnan ndnan nd+=+= 3.性质 （）mnaamnd=，其中ma，na为第m，n项； 等差中项：abc， ，成等差数列，b叫作a与c的等差中项，则2bac=+； 若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+； 232，nnnnnSSSSS成等差数列。 二、等比数列二、等比数列 1.通项公式：11nnaa q=100（，）naqN*（）nN 2.前n项和公式：11111111（）（）（）nnnaqaaqqSqqna q= 3.性质 m nmnaqa=，其中ma，na为第m，n项； 若mnpq+=+，则mnpqaaaa=； 等比中项：abc，
18、，成等比数列，b叫作a与c的等比中项，则2ba c=； 232，nnnnnSSSSS成等比数列。 第四章第四章 推理与证明推理与证明 一、合情推理和演绎推理一、合情推理和演绎推理 1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理。 2.演绎推理 “三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究 考点精编 教师事业部 9 的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 二、直接证明与间接证明二、直接证明与间接证明 1.直接证明 常见的直接证明方法有综合法和分析法。 2.间接证明 常见的间接证明有：反证法。 三、数学归纳法三、数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤： （1）
19、证明当取第一个值时命题成立； （2）假设时，命题成立，证明当时命题也成立； 由（1） 、 （2）就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第一章第一章 解析几何解析几何 一、向量一、向量 1.数量积 cos0= ，a baba ba b。 其中，cos=Ra bba， 称为b在a方向上的投影。 2.平面向量的坐标运算 （1） 若11xy= = （ ， ）a，22xy= = （ ， ）b， 则有：1212,xxyy+=+（）ab，11,（）xy=a， 1212,xxyy=（）ab，1212x xy y=+a b。 （2）若11,（）A x y，22,（）
20、B xy，则有：2121（,）ABxx yy= 、AB两点间距离为222121（） （）ABxxyy=+。 3.向量平行：（） 0ab b的充要条件是12210 x yx y=。 4.向量垂直：设11（ ， ）xy= =a，22（ ， ）xy= =b，则有： （1）向量式：= 0（）0ab ba b； 考点精编 教师事业部 10（2）坐标式：12120 x xy y+=ab； 二、直线与圆二、直线与圆 1.直线方程的五种形式 （1）点斜式：00yyk xx=（）； （2）斜截式：ykxb=+； （3）两点式：112121yyxxyyxx=； （4）截距式：1xyab+=； （5）一般式：0Ax
21、ByC+=。 2.点到直线的距离 已知点00,（）xy与直线0AxByC+=，则点到直线的距离为0022AxByCdAB+=+。 3.平行线间距离 若1l：10AxByC+=，2l：20AxByC+=，则1222CCdAB=+。 注意：x，y对应项系数应相等。 4.两直线间位置关系 设直线1l：11yk xb=+或1110AxB yC+=， 直线2l：22yk xb=+或2220A xB yC+=。 （1）平行：12kk=且12bb；或者12210ABA B=且12210ACA C。 （2）重合：12kk=且12bb=；或者12210ABA B=且12210ACA C=。 （3）相交：12kk
22、；或者12210ABA B。 （4）垂直：121kk= ；或者12120A AB B+=。 5.圆的方程 （1）标准方程：222（） （）xaybr+=，（ ， ）ab圆心，r半径。 （2） 一般方程：220 xyDxEyF+=，2240（）DEF+， 其中，,22（）DE圆心，2242DEFr+=半径。 考点精编 教师事业部 11（3）参数方程：cossinxarybr=+=+，（ ， ）ab圆心，r半径。 三、圆锥曲线三、圆锥曲线 1.椭圆 （1）标准方程：222210（）xyabab+= （2）定义域：xaxa ；值域：ybyb ； （3）长轴长2a，短轴长2b，焦距：2c； （4）准线
23、方程：2axc= 。 2.双曲线 （1）标准方程：22221xyab=00（，）ab （2）定义域：x xaxa或；值域为R； （3）实轴长2a，虚轴长2b，焦距2c； （4）准线方程：2axc= 。 3.抛物线 （1）标准方程：22ypx=（0p ） ，p：焦参数 （2）焦点：,02（）p，通径为2p； （3）准线：2px = ； （4）焦半径：12pAFx=+，过焦点弦长12ABxxp=+。 第二章第二章 立体几何立体几何 一、空间位置关系一、空间位置关系 1.直线与直线的位置关系 （1）相交； （2）平行； （3）异面。 2.直线与平面的位置关系 （1）线在面内； （2）线在面外：相交或
24、平行。 3.平面与平面的位置关系 （1）平面与平面平行； （2）平面与平面垂直。 考点精编 教师事业部 12二、空间数量关系二、空间数量关系 1.异面直线的夹角 范围：02（ ， 。 求法： （几何法）转化为相交两直线的夹角。 （向量法）1212arccos=m mmm，其中1m、2m分别为异面直线a、b的方向向量。 2.直线与平面的夹角 范围：0,2： 当直线与平面垂直或平行 （含直线在平面内） 时， 规定分别为2和 0。 求法： （定义法）作出直线在平面上的射影，找到线面角； （射影法）设斜线段AB在平面内的射影为A B ，则AB与所成的角，cosA BAB =。 （向量法）arcsinA
25、BAB=nn，其中n为平面内的法向量。 3.二面角 二面角的范围：0，。 求法： （定义法）直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性。 （几何法） 已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 （向量法）1212arccos=n nnn或1212arccosn nnn，其中1n、2n分别为平面、的法向量。 第三部分第三部分 统计与概率统计与概率 考点精编 教师事业部 13第一章第一章 排列与组合排列与组合 1.排列 从n个不同的元素中，
26、取（）r rn个不重复的元素的所有排列的个数称为从n个中取r个元素的排列数，用Arn表示，一般不说可重即无重。A11（）（）rnn nnr= + 2.排列数的性质：0A!AA1A!（ ，）（规定）（）nrnnnn rn rnrnrnnr=N。 3.组合 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素的所有组合的个数称为从n个中取r个元素的组合数，用Crn表示。 0A11!CC1A12 1! !（）（）（ ，）（规定）（）（）rrnnnrrn nnrnrnrnr rnr r +=N。 第二章第二章 二项式定理二项式定理 0111CCCC（）（）nnnrn rrnnnnnnaababbabn=+N 二项展
27、开式共有1n +项， 其中第1r +项为1C01rn rrrnTab rn+=（， ， ， ），Crn为第1r +项的二项式系数。二项式系数和为01CCCC2rnnnnnn+=，系数和为（）nab+。 注：项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在（）naxb+ +的展开式中，第1r +项的二项式系数为Crn，第1r +项的系数为Crn rrnab ；而1（）nxx+ +的展开式中项的系数就是二项式系数。 第四部分第四部分 数学史数学史 一、古典时期的希腊数学一、古典时期的希腊数学 1.伊奥尼亚学派 泰勒斯（公元前 625前 547 年
28、） ，是伊奥尼亚学派的创始人。是现在所知的古希腊最早的数学家、哲学家，是古希腊数学的先行者。泰勒斯在数学上最深远的贡献是引入命题证明的思想。从泰勒开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。 考点精编 教师事业部 142.毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯（约公元前 560前 480 年） ，致力于哲学和数学的研究。 主要成就： （1）勾股定理与勾股形数。 （2）多边形数： “多边形数”也称“形数” ，就是形与数的结合物，用点排成的图形。 （3）不可公度：他们认为任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上相当于说：对于任意给定的两条线段，总能找到第三条线段，以它为单位（即公度）线段将能给定的两条线段划分为整数
29、段。 3.亚历山大学派时期 （1）欧几里得（公元前 325前 265 年） 原本是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范。 （2）阿基米德（公元前 287前 212 年） 与牛顿（英，16421727 年） 、高斯（德，17771855 年）并列，有史以来最伟大的三大数学家之一，有人把他称为“数学之神” 。最为杰出的数学贡献是，在圆的度量中，通过计算圆内接和外切正 96 边形的周长，求得圆周率约为 3.14，这是数学史上第一次给出科学求圆周率的方法。 （3）阿波罗尼奥斯（兹） （约公元前 262前 190 年） 二、微积分的诞生二、微积分的诞生 1.牛顿（英，16421727 年） 创造性成果：
30、二项定理（1665） ，无穷级数（1666）以及微积分基本定理。 2.莱布尼茨（德，16461716 年） 莱布尼茨微积分思想的产生首先是出于几何的考虑，尤其是特征三角形的研究，如帕斯卡的特征三角形，关注自变量的增量x与函数的增量y为直角边组成的直角三角形。莱布尼茨看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，由此可“迅速地、毫无困难地建立大量的定理” 。 三、千古谜题三、千古谜题 1.三次、四次方程求根公式的发现。 2.高次方程可解性问题的解决。 3.伽罗瓦与群论。 4.古希腊三大几何问题的解决。 考点精编 教师事业部 15第五部分第五部分 高等数学高等数学 第一章第
31、一章 极限与连续极限与连续 一、求极限的方法一、求极限的方法 1.直接代入法 代入法就是直接将要趋近的值代入函数表达式中， 这种方法的前提条件是这个值能使函数有意义。 2.约公因子法 所趋近的值使得函数没有意义， 因此需要进行约公因子， 约公因子通常运用因式分解的方法。 3.最高次幂法 当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以运用这种方法。主要是比较分子与分母次数的高低：00101101,lim0,mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm=+=+当当当。 4.两个重要极限公式 （1）0sinlim1xxx=； （2）1lim 1e（）xxx+=或10lim 1e（）v
32、vv+=。 5.常用等价无穷小 当0 x 时的常用的等价无穷小量有： sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1 ,ln 1 ,1xxxxxxxxxx exxx ex+（） 考点精编 教师事业部 16 211 2（）xx+；21cos2xx；1lnxaxa。 6.洛必达法则 （1）法则 1（00型） 设lim0（ ）f x =，lim0（ ）g x =；x变化过程中，（ ）fx，（ ）g x皆存在；limfxAg x=（ ）（ ）（或） ，则limf xAg x=（ ）（ ）（或） 。 （2）法则 2（型） 设lim （ ）f x = ，lim（ ）g x = ；x变化过程中，（
33、）fx，（ ）g x皆存在；lim（ ）（ ）fxAg x=（或） ，则lim（ ）（ ）f xAg x=（或） 。 二、连续二、连续 1.函数在一点的连续 （ ）yf x=在点0 x处连续（ ）f x在0 x处既是左连续，又是右连续。 2.函数在区间内（上）连续 （1）如果函数（ ）yf x=在开区间（ ， ）ab内的每一点都连续，则称（ ）f x在（ ， ）ab内连续。 （2）如果（ ）yf x=在开区间（ ， ）ab内连续，在区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称（ ）f x在闭区间 ， ab上连续。 三、函数间断点及其分类三、函数间断点及其分类 1.第一类间断点 设0 x是函数yf
34、 x= （ ）的间断点，如果（ ）f x在间断点0 x处的左、右极限都存在，则称0 x是f x（ ）的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 可去间断点：若0lim （ ）xxf xA=，而f x（ ）在点0 x无定义，或有定义但0（ ）f xA，则称0 x为f x（ ）的可去间断点； 跳跃间断点：若函数f x（ ）在点0 x的左、右极限都存在，但00limlim（ ）（ ）xxxxf xf x+，则称点0 x为函数f x（ ）的跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 （至少一个单侧极限不存在。 ） 考点精编 教师事业部 17常见的
35、第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 第二章第二章 导数与微分导数与微分 一、求导法则一、求导法则 基本初等函数求导 1.0（ ）C = 2.1（ ）xx=，特别：1x =（ ），12（）xx=，211（ ）xx= 3.lnxxaaa=（ ），特别：eexx=（ ） 4.1loglnaxxa=（），特别：1ln（）xx= 5.sincosxx=（） cossinxx= （） 2tansecxx=（） 2cotcscxx= （） sectan secxxx=（） csccot cscxxx= （） 6.21arcsin1xx=（） 21arccos1xx= （） 21arctan1xx=+（）
36、 21arccot1xx= +（） 二、导数的应用二、导数的应用 1.求曲线上一点处的切线方程与法线方程 切线方程：（ ）yf x=在点00（ ，（ ） ）xf x处的切线方程为000yf xfxxx=（ ） （ （）。 法线方程：yf x= （ ）在点00（ ，（ ） ）xf x处的法线方程0001（ ）（）（ ）yf xxxfx= 。 2.求函数单调性 （1）如果在ab（ ， ）内0（ ）fx，那么函数yf x（ ）=在 ， ab上单调增加； （2）如果在ab（ ， ）内0fx（ ），那么函数yf x（ ）=在ab ， 上单调减少。 3.函数的极值与最值 （1）可导函数的极值的基本步骤是：
37、 确定函数f x（ ）的定义域； 求导数fx （ ）； 考点精编 教师事业部 18求方程0fx=（ ）的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，fx （ ）和f x（ ）值的变化情况。 检查fx （ ）的符号并由表格判断极值。 （2）求函数f x（ ）在区间ab ， 上的最大值和最小值的步骤： 求f x（ ）在区间ab（ ， ）上的极值； 将第一步中求得的极值与f a（ ），f b（ ）比较，得到f x（ ）在区间ab ， 上的最大值与最小值。 三、微分中值定理三、微分中值定理 1.罗尔定理（Rolle 定理） ： 若函数（ ）f x满足： （1）在闭区间 ，
38、ab上连续； （2）在开区间ab（ ， ）内可导； （3）f af b=（ ） （ ），则在ab（ ， ）内至少有一点（ ， ）ab，使得0（ ）f=。 2.拉格朗日中值定理（Lagrange 中值定理） ： 设函数f x（ ）满足： （1）在闭区间ab ， 上连续； （2）在开区间ab（ ， ）内可导，则在ab（ ， ）内至少有一点，使得f bf afba=（ ） （ ）（ ）。 3.柯西中值定理 设函数( )f x和( )g x满足： （1）在闭区间ab ， 上连续， （2）在开区间ab（ ， ）内可导，（3）对任一ab （ ， ），( )0g x ，则在开区间ab（ ， ）内至少存在一点
39、，使得( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag=。 第三章第三章 积分积分 一、不定积分一、不定积分 1.基本公式 （1）dk xkxC=+（k为常数） （2）1d1xxxC+=+（1 ） （3）1dlnxxCx=+ （4）sin dcosx xxC= + （5）e dexxxC=+ （6）cos dsinx xxC=+ （7）dlnxxaaxCa=+ （8）2darctan1xxCx=+ （9）22dsecdtancosxx xxCx=+ （10）sec tan dsecxx xxC=+ 考点精编 教师事业部 19（11）22dcscdcotsinxx xxCx= +
40、 （12）csc cot dcscxx xxC= + （13）2darcsin1xxCx=+ 2.积分方法 （1）第一类换元积分法（凑微分法） 定理 1：设F u（ ）为f u（ ）的原函数，ux= （ ）可微，则 dduxfxxxf uu=（ ）（ ） （ ） （ ） （第一类换元积分公式） 。 （2）第二类换元积分法 定 理 2 ：设xt= （ ）是 单 调的 可导函 数， 且在 区间 内部 有0t（ ）， 又 设ftt （ ） （ ）具有原函数，则1ddtxf x xfttt=（ ）（ ） （） （） 。 其中1x（ ）为xt= （ ）的反函数。上式称为第二类换元积分公式。 （3）分部积
41、分法 假定uu x=（ ）与vv x=（ ）均具有连续的导函数，则 dduv xuvvu x=，ddu vuvv u=。称为分部积分公式。 二、定积分二、定积分 1.牛顿-莱布尼茨公式 如果函数（ ）f x在区间ab ， 上连续，且（ ）F x是（ ）f x的任意一个原函数，那么 d（ ）（ ）（ ） （ ）bbaaf x xF xF bF a=。 2.定积分的求法 （1）换元积分法 设函数f x（ ）在区间 ， ab上连续，并且满足下列条件： xt= （ ），且a = （ ），b = （ ）； t（ ）在区间 ， 上单调且有连续的导数t （ ）； 当t从变到时，t（ ）从a单调地变到b，则有
42、ddbaf xxfttt=（ ）（） （）。 （2）分部积分法 设函数uu x=（ ）和vv x=（ ）在区间ab ， 上有连续的导数，则有 ddbbbaaau x v xu xv xv x u x=（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ）。 考点精编 教师事业部 20第四章第四章 级数级数 一、正项级数的判别一、正项级数的判别 1.比较判别法 设1nnu=和1nnv=是两个正项级数， 如果存在某正数N， 对一切nN， 都有nnuv，那么：若级数1nnv=收敛，则级数1nnu=也收敛；若级数1nnu=发散，则级数1nnv=也发散。 2.比值判别法（达朗贝尔） 设0nu， 而1limnnnuu+
43、=， 则当1时，1nnu=收敛； 当1时 （包括= +） ，则1nnu=发散；当1=时，级数1nnu=可能收敛也可能发散； 注：对于多项式形式或者对数多项式级数，本方法必定不能判定。 3.根值判别法（柯西判别法） 设0nu ， 而limnnnu=， 则当1时，1nnu=收敛； 当1时 （包括= +） ，则1nnu=发散；当1=时，级数可能收敛也可能发散。 二、交错级数的判别二、交错级数的判别 莱布尼兹判别法 设交错级数111nnnu=（）满足： （1）112 3（， ， ）nnunu+=，即数列 nu单调递减； （2）0limnnu=； 则111（）nnnu=收敛，且11110（）nnnuu=
44、。 三、幂级数的收敛半径和收敛域三、幂级数的收敛半径和收敛域 幂级数的收敛半径可如下求得： 设极限1limnnnaa+=， 其中1,nna a+ +是幂级数相邻两项的系数， 则若0， 则1R=；若0=，则R = +；若= +，则0R =。 考点精编 教师事业部 21四、幂级数展开式四、幂级数展开式 1.常见函数幂级数展开式 2311e12!3!，xxxx= + = R 2411ee12!4!12，（）xxxx= + =+R 3511ee3!5!12，（）xxxxx=+ =R 3511sin3!5!，xxxx=+ = R 2411cos12!4!，xxx= + = R 211111（， ），xx
45、xx = + 211111（， ），xxxx= + 2311ln 11123（），（， xxxxx+=+ 2311ln 1 1123（）， ）xxxxx= 3511arctan 1135，xxxxx=+ 第六部分第六部分 线性代数线性代数 考点精编 教师事业部 22第一章第一章 行列式行列式 一、行列式的计算一、行列式的计算 1.对角线法 （1）二阶行列式：1112112212212122aaa aa aaa= （2）三阶行列式 111213212223112233122331132132132231122133313233112332aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a
46、 aaaaa a a=+ 即：二阶和三阶行列式的值等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积。 2.化三角法 化三角形法： 将行列式转化为上三角形或者下三角形行列式， 这样所得行列式的值等于主对角线元素的乘积。 3.代数余子式法 将行列式按某一行（或列）展开，达到降阶的目的。 第二章第二章 矩阵矩阵 一、矩阵的秩一、矩阵的秩 1.定义： 若矩阵A有一个非零r阶子式， 且所有1r +阶子式全为零， 则矩阵A的秩为r，记为（ ）Rr=A。 2.求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为给定矩阵的秩。 二、矩阵的逆二、矩阵的逆 1.求逆矩阵 定理 1：若矩阵A可
47、逆，则0A。 定理 2：若0A，则矩阵A可逆，且11A-=AA，其中A为矩阵A的伴随矩阵。 2.逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A可逆，则1A亦可逆，且11（）=AA； （2）若A可逆，数0，则A可逆，且111（）=AA； （3）若、AB为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且111（）=ABB A。 考点精编 教师事业部 23三、求矩阵方程三、求矩阵方程 常见的三种矩阵方程： （1）=AXB，解为1=XA B； （2）=XAB，解为1=XBA； （3）=AXBC，解为11=XA CB。 第三章第三章 线性方程组线性方程组 一、极大线性无关组一、极大线性无关组 设有向量组A，如果在A中能选出r个
48、向量12， ， ，raaa，满足：向量组012rA： ， ， ，aaa线性无关； 向量组A中任意1r +个向量 （如果A中有1r +个向量的话）都线性相关， 那么称向量组0A是向量组A的一个极大线性无关向量组 （简称极大无关组） 。 二、线性方程组的解二、线性方程组的解 1.设 n 元线性方程组为=Axb， 系数矩阵A的秩为（ ）R A， 其增广矩阵的秩为R （ ， ）Ab，则 （1）若（ ） （ ， ）RRAAb，则该线性方程组无解； （2）若（ ） （ ， ）RRn=Ab，则该线性方程组唯一解； （3）若（ ） （ ， ）RRn=AAb，则该线性方程组有无穷多解。 2.齐次线性方程组= 0
49、Ax总是有解的， 因为120nxxx=就是它的一个解。 因此，齐次线性方程组的解有两种情况： （1）只有零解； （2）有非零解。 3.n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵|（）=AA b的秩。 当（ ） （ ）RRn=AA时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。 当（ ） （ ）RRrn=AA时，方程组有nr个自由未知量，有无穷多个解。 第四章第四章 二次型二次型 一、矩阵正负定性的判定一、矩阵正负定性的判定 （一）正定的 设A为实对称矩阵，则以 3 个命题等价： （1）Tf = = X AX为正定的； （2）A的特征值都大于零； （3）矩阵A左上角各阶子式（称为A
50、的顺序主子式）恒大于零。 考点精编 教师事业部 24即110a，111221220，aaaa1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa （二）负定的 设A为实对称矩阵，则以 3 个命题等价： （1）Tf = = X AX为负定的； （2）A的特征值都小于零； （3）矩阵A左上角各阶子式（称为A的顺序主子式）负正相间。 即110a ，111221220aaaa ，11121212221210（）nnnnnnnaaaaaaaaa 第七部分第七部分 空间解析几何空间解析几何 第一章第一章 空间向量空间向量 一、空间向量的直角坐标运算律一、空间向量的直角坐标运算律 若xyzaaa= （