三角函数恒等变换ppt课件.ppt

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1、二倍角公式二倍角公式:,tan1tan22tan2sin2=2sincos,=2sincos,(S22 ).cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2,(C22 ).(T22 ).因为因为sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,所以公式所以公式(C22 )可以变形为可以变形为cos2=2cos=2cos2 2 - 1, - 1,或或cos2=1 - 2sin=1 - 2sin2 2,(C22 ).注意：注意：T22公式成立的条件公式成立的条件2,.()242kkkZ 引申：公式变形：引申：公式变形：2)cos(sin2sin1 2cos22cos1 2sin22cos1

2、22cos1cos2 22cos1sin2 升幂降角公式升幂降角公式降幂升角公式降幂升角公式2cos2- 1 1- 2sin2 cos2= cos2= 21 cos2cos,221 cos2sin,2升幂升幂降幂降幂例例4：化简：化简: 2sinx(sinx+cosx). sincosx bxa化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosx bxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22sin coscos sinxabx22sinabx22cosabx2.2.辅助角公式辅助角公式2.2.辅助角公式辅助角公式asin x+bcos

3、x=asin x+bcos x= sin(x+sin(x+) )，其中其中sin sin = ,cos = ,cos = .= . 22ab22bab22aababtan例例5:求函数求函数y=sinx+ cosx的周期的周期,最大值最大值和最小值和最小值.3例例6.已知函数已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求它的递减区间求它的递减区间;(2)求它的最大值和最小值求它的最大值和最小值.例例7.(1)求函数求函数y=3sinx+4cosx的最大值的最大值与最小值与最小值.(2)你能用你能用a,b表示函数表示函数y=asinx+bcosx的的最大值和最小值吗最大值和最小值吗

4、?规律规律:222222sincos(sincos )abyax bxabxxabab222222sin()(,sin)ababxabab其中cos从而从而y=asinx+bcosx的最大值为的最大值为22aby=asinx+bcosx的最小值为的最小值为22ab注意注意:xR13cossin,22xx已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求f(x)的单调递增区间。解：（1）、由已知(2)( )cos,2,342,2;3334,233xf xzkkkkkxkkk 、令z=,由的单调递增区间为2 由2x+解得2因此，f(x)的单调递增区间为2.cossinsin33xxf

5、(x)=coscos(),3x( )2 ;f xT则的最小正周期为最大值为1.5.5.函数函数y= cos 4x+sin 4xy= cos 4x+sin 4x的最小正周期为的最小正周期为 【解析】【解析】答案：答案：331y3cos 4x sin 4x 2cos 4xsin 4x22（）2 cos cos 4x sin sin 4x2cos 4x6662T.42（）（），故2把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(1) 231sincos22(2)sincos44xx26(3)44。求已知cos, 02,534sin)3(sin10433 【通关题组【

6、通关题组】1.(20111.(2011新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数f(xf(x)=)=则则( )( )A.y=f(xA.y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线x= x= 对称对称B.y=f(xB.y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线x= x= 对称对称C.y=f(xC.y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，其图象关于直线内单调递减，其图象关于直线x= x= 对称对称D.y=f(xD.y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，其图象关于直线内单调递减

7、，其图象关于直线x= x= 对称对称sin2xcos2x)44（）（，22222244【解析【解析】选选D.D.因为因为f(xf(x)=)=所以所以f(xf(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，且图象关于内单调递减，且图象关于x= x= 对称对称. .sin2xcos2x)44（）（2sin2x2cos2x,44（）22明明角度角度命题角度命题角度1:1:利用三角恒等变换研究函数的图象变换利用三角恒等变换研究函数的图象变换【典例【典例3 3】(2014(2014浙江高考浙江高考) )为了得到函数为了得到函数y=sin3x+cos3xy=sin3x+cos3x的图象的图象, ,可以将函数

8、可以将函数y= sin3xy= sin3x的图象的图象( () )A.A.向右平移向右平移 个单位个单位 B.B.向左平移向左平移 个单位个单位C.C.向右平移向右平移 个单位个单位 D.D.向左平移向左平移 个单位个单位【解题提示【解题提示】由函数由函数y=Asin(y=Asin(x+x+) )的图象平移与变换解决的图象平移与变换解决. .2441212【规范解答【规范解答】选选D.D.因为因为y=sin 3x+cos 3xy=sin 3x+cos 3x故只需将故只需将y= sin 3xy= sin 3x的图象向左平移的图象向左平移 个单位即可个单位即可. .2sin(3x)4，2121.1

9、.化简：化简：【解析】【解析】原式原式答案：答案：2sin 22cos.sin 4 （）22sin cos 2cos2 2cos .2sin cos 22 2cos 3.(20133.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设当设当x=x=时时, ,函数函数f(x)=sinx-2cosxf(x)=sinx-2cosx取得最大值取得最大值, ,则则cos=cos=. .【解析】【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+f(x)=sin x-2cos x= sin(x+) )，其中，其中tan tan = =-2-2，当，当x+x+=2k+ =2k+ 时，函数时，函数f(x)f(x)取

10、得最大值，即取得最大值，即=2k+=2k+ - -. .所以所以cos =cos( -cos =cos( -)=sin )=sin ，又因为，又因为tan tan =-2=-2，在第四象限，所以在第四象限，所以sin sin =- =- ，即，即cos =- .cos =- .答案：答案：- -52222 552 552 552.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P142 T4(2)4P142 T4(2)改编改编) )函数函数y=2cosy=2cos2 2 +1+1的最小正周期为的最小正周期为. .【解析】【解析】因为因为y=2y=2 +1=cos x+

11、2,+1=cos x+2,所以函数的最小正周期所以函数的最小正周期T= =4.T= =4.答案答案: :4 4x4x1 cos22122122.(20132.(2013江西高考江西高考) )函数函数y=sin2x+2 siny=sin2x+2 sin2 2x x的最小正周期的最小正周期T T为为. .【解析【解析】因为因为y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cosy=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+ 2x+=2sin(2x- )+ ,=2sin(2x- )+ ,所以最小正周期所以最小正周期T= =.T= =.答案答案: :33333322(2)

12、(2014(2)(2014山东高考山东高考) )函数函数y= sin 2x+cosy= sin 2x+cos2 2x x的最小正周期为的最小正周期为_._.【解析】【解析】因为因为y= sin 2x+cosy= sin 2x+cos2 2x= sin 2x+ cos 2x+ x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ =sin(2x+ )+ ，所以，所以T= =.T= =.答案：答案： 3232321212612223.(20143.(2014天津高考天津高考) )已知函数已知函数f(x)=cosxf(x)=cosxsin(x+ )- cossin(x+ )- cos2 2x

13、+x+xR.xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)在闭区间在闭区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用三角恒等变换把函数利用三角恒等变换把函数f(x)f(x)的解析式化为的解析式化为Asin(Asin(x+x+)+t)+t的形式的形式, ,从而求最小正周期从而求最小正周期. .(2)(2)根据根据x x的取值范围求最值的取值范围求最值. .333,4 , 4 4【解析】【解析】(1)(1)由已知，有由已知，有f(x)=cos xf(x)=cos x2133( sin xcos x)3c

14、os x2242133sin x cos xcos x224133sin 2x(1 cos 2x)444131sin 2xcos 2xsin(2x).44232f(x)T.2所以的最小正周期 maxmin2f(x),412 , .12 4111f()f()f( ).4412244 11f(x), .4 442 5x, ,2x,4 46361111f xsinf xsin().264222方法一：因为在区间 上是减函数，在区间上是增函数 ， ，所以，函数在闭区间上的最大值为 ，最小值为方法二：因为所以故，审题路线图列审题路线图列2 2 二审结论会转换二审结论会转换审 题 路 线 图解 析温 馨

15、提 醒解 析温 馨 提 醒审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒T 求出1审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒审 题 路 线 图6分分 (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒10分分 审 题 路 线 图解 析温 馨 提 醒12分分 【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖北高考湖北高考) )将函数将函数y= cos x+sin x(xRy= cos x+sin x(xR) )的图象向左平移的图象向左平移m(mm(m0)0)

16、个单位长度后，所得到的图象关于个单位长度后，所得到的图象关于y y轴轴对称，则对称，则m m的最小值是的最小值是( )( )(2)(2014(2)(2014汉中模拟汉中模拟) )函数函数 的最小正周的最小正周期等于期等于( )( )35A. B. C. D.12636213ysin 2x3cos x22A. B.2 C. D.42【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.由已知由已知当当m= m= 时，平移后函数为时，平移后函数为y=2sin(x+ )=2cos xy=2sin(x+ )=2cos x，其图象关于，其图象关于y y轴对称，且此时轴对称，且此时m m最小最小. .(2)(2)

17、选选A.yA.y 所以所以T T. . 31y2cos xsin x22（）2sinx3（），62133sin 2x1 cos 2x22213sin 2xcos 2xsin 2x223（），3.(20113.(2011上海高考上海高考) )函数函数 的最大值的最大值为为 . .【解析【解析】故函数的最大值是故函数的最大值是答案：答案：ysinx cosx26（）（）ysinxcosx26（）（）2cos xcosxcos x(coscos xsinsin x)6663131cos 2x1cos xsin xcos xsin 2x2222413cos2x,264（）（）23.42344.(201

18、24.(2012北京高考北京高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(xf(x) )的定义域及最小正周期的定义域及最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )的单调递减区间的单调递减区间. . sin xcos x sin 2xf x.sin x【解析【解析】(1)(1)由由sin x0sin x0，得，得xk,kZxk,kZ，所以定义域为，所以定义域为x|xk,kZx|xk,kZ.所以最小正周期所以最小正周期T= =.T= =.(2)(2)令令所以单调递减区间为所以单调递减区间为 2sin xcos x 2sin xcos xf x2sin xcos x2cos xsin xsi

19、n 2xcos 2x12sin2x1,4 （）223372k2x2k,kxk,24288 得37k,k,kZ.88【规范解答规范解答4 4】三角变换在研究三角函数中的应用三角变换在研究三角函数中的应用【典例【典例】(12(12分分)(2013)(2013陕西高考陕西高考) )已知向量已知向量a= =（coscos x, x, ）, ,b=( sin x,cos=( sin x,cos 2x),xR, 2x),xR,设函数设函数f(xf(x)=)=ab. .(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值

20、. .1230,2【解题【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)f(x)=(1)f(x)=ab=cos=cos x sin x x sin x coscos 2x 2x2 2分分= = 4 4分分最小正周期最小正周期T= =.T= =.所以所以f(xf(x)= )= 的最小正周期的最小正周期为为. . 6 6分分31231sin 2xcos 2sinx222x,6（ ）22sin2x6（ ）(2) (2) , ,8 8分分由正弦曲线由正弦曲线y=sin xy=sin x在在 上的图象知，上的图象知， , ,即即x= x= 时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值1;1;当当

21、, ,即即x=0 x=0时，时，f(xf(x) )取得最小值取得最小值- . - . 1010分分所以，所以，f(xf(x) )在在 上的上的最大值和最小值分别为最大值和最小值分别为1,1, . .1212分分5x0,2x),2666 当时，(5,662x62当32x66 120,212【变题【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2014(2014朝阳模拟朝阳模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期及单调递减区间的最小正周期及单调递减区间. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )在在 上的最小值上的最小值. .2xxxs

22、in cos cos 1.2223,42【解析【解析】(1)(1)所以函数所以函数f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为2.2.由由得得则函数则函数f(xf(x) )的单调递减区间是的单调递减区间是 xx1cos xf xsin cos 122211121sin xcos xsin(x).22224232kx2kkZ242，52kx2k.4452k,2kkZ.44，(2)(2)由由 ，得，得则当则当 即即x= x= 时，时，f(xf(x) )取得最小值取得最小值 . .3x427x.2443x42，54212命题角度命题角度2 2：利用三角恒等变换研究三角函数的性质利用三角恒等变换研究

23、三角函数的性质【典例【典例4 4】(2014(2014福建高考福建高考) )已知函数已知函数f(xf(x)=2cosx(sinx+cosx).)=2cosx(sinx+cosx).(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期及单调递增区间的最小正周期及单调递增区间. .( (本题源于教材必修本题源于教材必修4P147T11)4P147T11)【解题提示【解题提示】(1)(1)直接将直接将 代入到解析式求值代入到解析式求值.(2).(2)利用三角恒等变换利用三角恒等变换将函数将函数f(xf(x) )的解析式化简的解析式化简, ,再利用正弦型函数的性质求解再利用正弦型函数的性质求解. .5f()454f(x)=2sin xcosf(x)=2sin xcos x+2cos x+2cos2 2x x=sin 2x+cos 2x+1= =sin 2x+cos 2x+1= （1 1）(2)T= =.(2)T= =.由由 得得 所以所以f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 2sin(2x)1,4511f()2sin 1442sin 12.4 222k2x2k,kZ,2423kxk,kZ.88 3k,k,kZ.88