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1、19.1.2 矩形的判定四边形四边形平行四平行四边形边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形叫做矩形.矩形的性质矩形的性质(1) (1) 边：对边平行且相等边：对边平行且相等(2) (2) 角：四个角都是直角角：四个角都是直角(3) (3) 对角线：相等且互相平分对角线：相等且互相平分ABDC 矩形矩形ABCD,ABCD,AB CDAB CD，AD BCAD BC 矩形矩形ABCDABCD AC=BD AC=BD 且且OA=OB=O
2、C=OD.OA=OB=OC=OD. 矩形矩形ABCDABCD ABC ABCBCDBCDCDACDADABDAB9090 O有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形. .你还有其他的判定方法吗？你还有其他的判定方法吗？ABCDABCDA=90A=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形矩形的判定定理矩形的判定定理1 1：（定义）：（定义）由矩形的性质由矩形的性质“矩形的对角线相等矩形的对角线相等”我们可以猜想我们可以猜想: :“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形平行四边形是一个矩形”得到的图形
3、是什么图形呢？得到的图形是什么图形呢？和你的同桌交换一下，看看是否成了一个矩形和你的同桌交换一下，看看是否成了一个矩形. .作一个两条对角线相等的平行四边形作一个两条对角线相等的平行四边形证明证明： OABCD在在ABCD中，AB=DC,BD=CA,AD=DAAB=DC,BD=CA,AD=DA，BADBADCDA.CDA.BAD=CDA.BAD=CDA.ABCD,ABCD,BAD +CDA=180BAD +CDA=180, , BADBAD9090, , 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）. .已知已知: :四边
4、形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,AC=BD.,AC=BD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .矩形的判定定理矩形的判定定理2 2：对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. .OABCD,AOCO BODOACBDABCDABCDAC = BDAC = BD ABCD ABCD是矩形是矩形推论推论: :对角线互相平分且相等的四边形是矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形. .四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形木工师傅检查所做的门窗是否是矩形常用什么方法？木工师傅检查所做的门窗是否是矩形常用什么方法？为什么？为什么？提示：提示：木工
5、师傅靠测量门窗的对角线是否相等来判木工师傅靠测量门窗的对角线是否相等来判断所做的门窗是否是矩形断所做的门窗是否是矩形. .因为因为对角线相等的平行四对角线相等的平行四边形是矩形边形是矩形. .【跟踪训练跟踪训练】ABDCOEFGH如图如图,O,O是矩形是矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD的交点的交点,E,E，F F，G G，H H分别是分别是AOAO，BOBO，COCO，DODO上的一点上的一点, ,且且AE=BF=CG=DH.AE=BF=CG=DH.求证求证: :四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. .【例题例题】证明证明: : 四边形四边形ABCDABCD是矩形
6、，是矩形，AC=BD (AC=BD (矩形的对角线相等矩形的对角线相等) )，AO=BO=CO=DO (AO=BO=CO=DO (矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分) )，AE=BF=CG=DH, AE=BF=CG=DH, OE=OF=OG=OHOE=OF=OG=OH， 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形 ( (对角线互相平分的四边形是平行对角线互相平分的四边形是平行四边形四边形).).EO+OG=OF+OH,EO+OG=OF+OH,即即EG=FH,EG=FH,四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形 ( (对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形).)
7、.ABDCOEFGH如图如图ABCDABCD中中, 1=2., 1=2.此时四边形此时四边形ABCDABCD是矩形吗是矩形吗? ?ABCDO12【跟踪训练跟踪训练】解解: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , AO=CO,DO=BO(AO=CO,DO=BO(平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分),),又又1=2,1=2,AO=BO,AO=BO,AC=BD,AC=BD,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形( (对角线相等的平行四边形是矩对角线相等的平行四边形是矩形形).).归纳：归纳：有三个角是直角的四边
8、形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.有一个角是直角的有一个角是直角的四边形是矩形吗？四边形是矩形吗？有两个角是直角的有两个角是直角的四边形是矩形吗？四边形是矩形吗？有三个角是直角的有三个角是直角的四边形是矩形吗？四边形是矩形吗？已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=B=C=90,A=B=C=90. .证明证明: :A=B=C=90A=B=C=90, ,A+B=180A+B=180,B+C=180,B+C=180. .ADBC,ABCD,ADBC,ABCD,求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行
9、四边形, ,DBCA四边形四边形ABCDABCD是矩形（有一个角是是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）直角的平行四边形是矩形）. .四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形A=B=C=90A=B=C=90DBCAA=B=C=90A=B=C=90, , 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .矩形的判定定理矩形的判定定理3 3：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形. .A= B= C=90A= B= C=90ABCDABCDAC=BDAC=BDABCDABCDA=90A=90 ABCD ABCD是矩形是矩形四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 ABCD ABC
10、D是矩形是矩形O OA AB BC CD D(1)(1)(2)(2)(3)(3)归纳归纳（1 1）对角线相等的四边形是矩形）对角线相等的四边形是矩形. .（2 2）有一个角是直角的四边形是矩形）有一个角是直角的四边形是矩形. .（3 3）四个角都是直角的四边形是矩形）四个角都是直角的四边形是矩形. .（4 4）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形. .（5 5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. .1.1.判断正误判断正误【跟踪训练跟踪训练】A. A. DAB= DAB= ABC= ABC= BCD=90 BC
11、D=90B.AB CD, ABADB.AB CD, ABADC.AO=BO, CO=DOC.AO=BO, CO=DOD.AO=BO=CO=DOD.AO=BO=CO=DOC CABCDO2.2.如图，下列条件不能判定四边如图，下列条件不能判定四边形形ABCDABCD是矩形的是（是矩形的是（ ）3 3矩形的两条对角线所夹的钝角为矩形的两条对角线所夹的钝角为120120，短边长为，短边长为5cm5cm，则其对角线长为，则其对角线长为_4.4.已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交于相交于O O，分别，分别添加下列条件之一：添加下列条件之一：ABC=90A
12、BC=90; ;ACBDACBD；ABAB=BC;=BC;ACAC平分平分BAD; BAD; OA=OD.OA=OD.能使四边形能使四边形ABCDABCD是矩形是矩形的条件是的条件是_._.（填序号）（填序号）10cm10cm或或5.5.已知：平行四边形已知：平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD交于交于O O，AOBAOB是是等边三角形，等边三角形，AB = 4cmAB = 4cm，求这个平行四边形的面积，求这个平行四边形的面积. .解析：解析：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， AC = 2 2OA，BD = 2 2OB， AOBAOB是等边三角
13、形是等边三角形 OA = OB OA = OB， AC =BD AC =BD， ABCDABCD是矩形是矩形. . 在在RtRtABCABC中，中， AB = 4cmAB = 4cm，AC=2AO=8cm,AC=2AO=8cm, BC= BC=22844 3(cm),S SABCDABCD=AB=ABBC = 4BC = 44 =16 (4 =16 (cmcm2 2).).33ABCDO1.1.下列四边形中不是矩形的是（下列四边形中不是矩形的是（ ）A.A.有三个角是直角的四边形有三个角是直角的四边形 B.B.四个角都相等的四边形四个角都相等的四边形C.C.一组对边平行且对角相等的四边形一组对
14、边平行且对角相等的四边形 D.D.对角线相等且互相平分的四边形对角线相等且互相平分的四边形C C2.2.如图如图, ,矩形矩形ABCDABCD的两条对角线交的两条对角线交于点于点O,O,过点过点O O作作ACAC的垂线的垂线EF,EF,分别交分别交ADAD、BCBC于点于点E E、F,F,连接连接CE,CE,已知已知CDECDE的周长为的周长为24 cm,24 cm,则矩形则矩形ABCDABCD的周长是的周长是_cm._cm.【解析解析】易得易得EFEF垂直平分垂直平分AC,AC,EA=EC.EA=EC.CDECDE的周长为的周长为24 cm,24 cm,DC+DA=24 cm,DC+DA=2
15、4 cm,矩形矩形ABCDABCD的周长为的周长为48 cm.48 cm.答案：答案：4848 证明：证明：AO=BO,CO=DOAO=BO,CO=DO（圆的半径相等）（圆的半径相等）, ,四边形四边形ACBDACBD是平行四边形（对角线互相平是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）分的四边形是平行四边形）. .AB=CD(AB=CD(圆的直径相等）圆的直径相等）, ,四边形四边形ACBDACBD是矩形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）（对角线相等的平行四边形是矩形）. .3 3如图，如图，AB,CDAB,CD是是O O的两条直径，四边形的两条直径，四边形ACBDACBD是是矩形
16、吗？证明你的结论矩形吗？证明你的结论4.4.如图，如图，MNPQMNPQ，同旁内角的平分线，同旁内角的平分线AB,BCAB,BC和和AD,CDAD,CD分分别相交于点别相交于点B,DB,D（1 1）猜想线段）猜想线段ACAC和和BDBD间的关系是间的关系是_；（2 2）试用理由说明你的猜想）试用理由说明你的猜想【解析解析】（1 1）相等且互相平分）相等且互相平分(2)(2)理由理由:MNPQ,AB,CB:MNPQ,AB,CB分别是分别是MAC,PCAMAC,PCA的平分线的平分线BAC+ACB=90BAC+ACB=90ABC=90ABC=90同理同理ADC=90ADC=90CB,CDCB,CD分别是分别是PCA,QCAPCA,QCA的平分线的平分线BCA+DCA=90BCA+DCA=90BCD=90BCD=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形AC=BDAC=BD且且AC,BDAC,BD互相平分互相平分. .