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1、组合应用题组合应用题例例1. 1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查进行检查. .现有现有100100件产品，其中件产品，其中3 3件次品，件次品，9797件件正品正品. .要抽出要抽出5 5件件进行检查，根据下列各种要求，进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：5100C（1 1）597C（2 2）23973CC（3
2、3）5510097CC（4 4）413223973973973CCCCCC，或，或（5 5）504132973973973CCCCCC23973CC（6 6）反思反思：“至少至少”“”“至多至多”的问题，的问题， 通常用分类法通常用分类法 或间接法求解。或间接法求解。练习练习1 1、 在在100100件产品中有件产品中有9898件合格品，件合格品，2 2件次品。件次品。产品检验时产品检验时, ,从从100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件。件。(1)(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法? ?(2)(2)抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种
3、件是次品的抽法有多少种? ?(3)(3)抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? ?3100161700;C 122989506;C C 12299C C1221298298C CC C 3310098CC 按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲
4、、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：例例2 在在MON的边的边OM上有上有5个异于个异于O点点的点的点,ON上有上有4个异于个异于O点的点点的点,以这十个以这十个点点(含含O)为顶点为顶点,可以得到多少个三角形可以得到多少个三角形?NOM
5、ABCDEFG HI练习：在一个正方体中，各棱、各面和 体对角线中，共有多少对异面直线。22264290C C C 222642C C C33A22236423C C CxA2226423315C C CxAmmmmnmnmmnnCCCA 12365360C C C12336533360C C C A例例3 36 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：的选法：（5 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 1本本 22264290C C C 12336533360C C C A 436390C A 注意：注意： 对于排列组合的
6、混合应用题，对于排列组合的混合应用题， 一般解法是一般解法是先选后排。先选后排。练习：练习： 10名学生均分成名学生均分成2组，每组选出正、组，每组选出正、副组长各副组长各1人，共有多少种不同的方法？人，共有多少种不同的方法？元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例4.4.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插
7、个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC59C59126C 2615C 1234666623126CCCC4425624C34A24C34A例例6. 6. 有有1212名划船运动员名划船运动员, ,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷, , 4 4人只会划右舷人只会划右舷, , 其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷, , 又会划又会划右舷右舷, , 现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加
8、划船比赛在左右舷参加划船比赛, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?多面手问题练习：练习： 在在11名工人中，有名工人中，有5人只能当钳工，人只能当钳工，4人只能当车工，另外人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能人既能当钳工，又能当车工，现从当车工，现从11人中选出人中选出4人当钳工，人当钳工，4人当人当车工，问有多少种不同的选法？车工，问有多少种不同的选法？例例7 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下只，试求各有多少种情况出现如下结果：结果：(1)4(1)4只只鞋子没有成双鞋子没有成双；(2)
9、 4 4只只鞋子恰好成双；鞋子恰好成双；(3) 4 4只只鞋子有鞋子有2只成双，另只成双，另2只不成双。只不成双。小结：小结：1. 1. 解应用题，首先要确定是排列问题，还是组合问题。解应用题，首先要确定是排列问题，还是组合问题。2. 2. 许多排列应用题的解题思路，可迁移到组合应用题中。许多排列应用题的解题思路，可迁移到组合应用题中。4. “4. “至多至少至多至少”问题，容易出错。要用分类解决，或用排问题，容易出错。要用分类解决，或用排除法解决。除法解决。3. 3. 既有排列又有组合的混合应用题，一般先取后排。既有排列又有组合的混合应用题，一般先取后排。5. 5. 涉及涉及“多面手多面手”
10、的问题，一般分类解决。的问题，一般分类解决。练习：练习：1. 某施工小组有男工某施工小组有男工7人，女工人，女工3人，选出人，选出3人中有女工人中有女工1人，人，男工男工2人的不同选法有多少种？人的不同选法有多少种？3. 要从要从7个班级中选出个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选人来参加数学竞赛，每班至少选1人，人，这这10个名额有多少种分配方法个名额有多少种分配方法?2. 由由10人组成的课外文娱小组，有人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有人只会跳舞，有4人只会人只会唱歌，唱歌，2人均能。若从中选出人均能。若从中选出3个会跳舞和个会跳舞和3个会唱歌的人的个会唱歌的人的排演节目，共
11、有多少种不同的选法？排演节目，共有多少种不同的选法？例例7 将将7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少个不同盒子，每盒至少1球的球的放法有多少种？放法有多少种？隔板法：隔板法：待分待分元素相同元素相同，去处不同，每处至少一个。，去处不同，每处至少一个。 变式变式 将将7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？的放法有多少种？例例8 已知方程已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解的级数。，求这个方程的正整数解的级数。 (绿绿P183例例6)应用举例应用举例 例例1 1 将将6 6本不同的
12、书按下列要求分发，本不同的书按下列要求分发，求各有多少种不同的方法：求各有多少种不同的方法：（1 1）按）按1 1，2 2，3 3的本数分成的本数分成3 3组；组； （2 2）按）按1 1，2 2，3 3的本数分发给的本数分发给3 3个人；个人； （3 3）平均分发给）平均分发给3 3个人；个人； （4 4）平均分成）平均分成3 3组；组；（5 5）按）按1 1，1 1，4 4的本数分成的本数分成3 3组；组； （6 6）按）按1 1，1 1，4 4的本数分发给的本数分发给3 3个人个人. .60603603609090151515159090 例例2 2 将将3 3名医生和名医生和6 6名护
13、士分配到名护士分配到3 3所所学校为学生体检，每所学校去学校为学生体检，每所学校去1 1名医生和名医生和2 2名护士，求共有多少种不同的分配方案？名护士，求共有多少种不同的分配方案？540540 例例3 3 从某从某4 4名男生和名男生和5 5名女生中任选名女生中任选5 5人参加某项社会实践活动，要求至多选人参加某项社会实践活动，要求至多选4 4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选，名女生，且男生甲和女生乙不同时入选，求共有多少种不同的选法？求共有多少种不同的选法？9090 例例5 5 将将8 8名工程技术人员平均分到甲、名工程技术人员平均分到甲、乙两个企业作技术指导，其中某乙两个企业作技术指导
14、，其中某2 2名工程名工程设计人员不能分到同一个企业，某设计人员不能分到同一个企业，某3 3名电名电脑编程人员也不能分到同一个企业，求脑编程人员也不能分到同一个企业，求共有多少种不同的分配方案？共有多少种不同的分配方案？ 例例6 6 将将2020个大小相同的小球放入编号个大小相同的小球放入编号为为1 1，2 2，3 3的三个盒子中，要求每个盒子的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共内的球数不小于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？有多少种不同的放法？36361201203620C 一生产过程有一生产过程有4道工序，每道工序需道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、
15、丙等要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名名工人中安排工人中安排4人分别照看一道工序，第一人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（人，则不同的安排方案共有（ ）A24种种 B36种种 C48 D72种种 B 甲、乙、丙甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至位志愿者安排在周一至周五的周五的5天中参加某项志愿者活动，要求天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方求甲安
16、排在另外两位前面。不同的安排方法共有（法共有（ ）A. 20种种 B. 30种种 C. 40种种 D. 60种种 A某人有某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（灯泡足够多），要在如题（16）图所示的）图所示的6个点个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有法共有 种（用数字作答）种（用数字作答）. 216455C 222mntC C C22mnC C3122440C 211182772()A
17、C C C1277C A211182772()AC C C1277C A9. 9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选肴中任选2 2荤荤2 2素共素共4 4种不同的品种种不同的品种. .现在餐厅准备了现在餐厅准备了5 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200200种以上种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_种种.( .(结果用数值表示结果用数值表示) )7 7【解题回顾】由于化为一元二次不等式【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2n400求求解较繁，考虑到
18、解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法等式时，常用估算法. .10. 某电视台邀请了某电视台邀请了6位同学的父母共位同学的父母共12人，请这人，请这12位位家长中的家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( )(A)60 (B)120 (C)240 (D)270C11. 某次数学测验中，学号是某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位的四位同学的考试成绩同学的考试成绩 f(i)86,87,88,89,90
19、，且满足，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则四位同学的成绩可能情况有，则四位同学的成绩可能情况有( )(A)5种种 (B)12种种 (C)15种种 (D)10种种CB12.表达式表达式 可以作为下列哪一问题的答案可以作为下列哪一问题的答案 ( )(A)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数放两个球的方法数(B)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子个盒子中，只有一个盒子空着的方法数空着的方法数(C)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数放两个球的方法数(D)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子个盒子中，只有两个盒子空着的方法数空着的方法数211nnnnC A 1113216CCC( -1)mmmmnnmmmmCCCA1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.2.理解组合数的性质3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.思悟小结