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1、自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型教学目的：1建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。2把握传递函数的概念及求法。3通过本课学习把握电路或系统动态构造图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态构造图。4通过本课学习把握电路或自动控制系统动态构造图的求法，并对系统构造图进行变换。5把握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。6通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：1正确理解数学模型的特点；2了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；3牢固把握传递函数的定义和性质，把握典型环节及传递函数；4把握系统构造图的建立、等效变换及其系
2、统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的把握；5把握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；6把握构造图和信号流图的定义和组成方法，熟练把握等效变换代数法则，简化图形构造，把握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态构造图；由各环节的传递函数对系统的动态构造图进行变换；梅逊增益公式的应用。教学难点：举典型例题讲明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态构造图；对复杂系统
3、的动态构造图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式。k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0引言2.1动态微分方程的建立2.2线性系统的传递函数2.3典型环节及其传递函数2.4系统的构造图2.5信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1.系统的数学模型：描绘系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。动态模型：描绘系统处于暂态经过中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。静态模型：描绘经过处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数2.建立动态模型的方法机理分析法：用定律定理建立动态模型。实验法：运用实验数
4、据提供的信息，采用辨识方法建模。3.建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的互相关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。2.1动态微分方程的建立无论什么系统，输入输出量在暂态经过中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。为了使系统知足暂态性要求，必须对系统暂态经过进行分析，把握其内在规律，数学模型能够描绘这一规律。一、编写系统或元件微分方程的步骤：1.根据实际情况，确定系统的输入输出变量。2.从系统输入端开场，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分方程或运动方程。3.消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。二、举例例1RLC电路根据电路基本原理有:?=+dtduciuuLR
5、crcdtdiircccuudtduRcdtudLc=+?22例2质量弹簧阻尼系统由牛顿定律：=maF22dtydmdtdyfkyF=-Fkydtdyfdtydm=+?223电动机：电路方程：aaaaariRdtdiLEu+=-(1)动力学方程：dtdJMMc=-(2)?=(4)(3)addaikMkE(4)(2)得：(5)dcdakMdtdkJi+= (3)(5)(1)得：)(22cdacaarddadaMkRdtdMRLukdtdkJRdtdkJL-=+整理并定义两个时间常数mdaTkJR=2机电时间常数aaaTRL=电磁时间常数电机方程 (.)122-=+rdmmaukdtdTdtdTT
6、假如忽略阻力矩即0=cM，方程右边只要电枢回路的控制量ru，则电机方程是一典型二阶方程假如忽略aT0=aT电机方程就是一阶的rdmukdtdT1=+小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，描绘了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。2.2线性系统的传递函数求解微分方程,可求出系统的输出响应,但假如方程阶次较高,则计算很繁,因而对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.1.传递函数的定义：传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之
7、比，叫做系统的传递函数。线性定常控制系统微分方程的一般表达式：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描绘：)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn+?+=+?+-式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),3,2,1(niai?=和),2,1(mjbj?=是与系统构造和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：)()(111011
8、10sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn+?+=+?+-于是，由定义得系统传递函数为：)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm=+?+?+=-式中mmmmbsbsbsbsM+?+=-1110)(nnnnasasasasN+?+=-1110)(2.关于传递函数的几点讲明：1传递函数的概念只适应于线性定常系统。2G(s)固然描绘了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理构造。由于很多不同的物理系统具有完全一样的传递函数。3传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。4传递函数不能反映系统非零初始条件下的
9、运动规律。5传递函数分子多项式阶次m小于等于分母多项式的阶次n。6传递函数与微分方程之间的关系。)()()(sRsCsG=假如将dtdS?置换微分方程传递函数?7脉冲响应脉冲过渡函数g(t)是系统在单位脉冲)(t输入时的输出响应。由于1)()(=tLsR?-=-=-ttdgtrdtgtrsRsCLsCLtc011)()()()()()()()(传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)3.传递函数的求法：图2-6输入量Xr=u，Xc=i。列回路电压方程：u=Ri+Ldtdi227即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s)2-28经整理得：)()(sXrsXc=1/11+sTR229其中Tl
10、=RL,为电路的时间常数。考虑题：)0()0()(222ysysysdtydL-=-，什么是零初始条件？怎样从该框图求得?与之间的关系？传递函数从微分方程?2.3典型环节及其传递函数任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，进而对系统进行分析。这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。下面分别加以介绍：1比例环节KsG=)(式中K增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻电位器，感应式变送器等。2惯性环节11)(+=TSsG式中T时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，
11、输出无振荡。实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3微分环节理想微分KSsG=)(一阶微分1)(+=SsG二阶微分12)(22+=SSsG特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。4积分环节SsG1)(=特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5振荡环节1212)(22222+=+=TSSTSSsGnnn式中阻尼比)10(s(=)esG-式中延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间
12、间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。小结：通过本节的讲授使学生把握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。并了解了典型二阶环节各参数的物理意义。24系统的构造图一、构造图的定义及其组成1.构造图：是描绘系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。2.构造图的组成：1信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2分支点引出点：表示信号引出或测量的位置。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。3比拟点：对两个以上信号加减运算。4方框：方框图内输入环节的传递函数。3动态构造图的绘制步骤：1建立控制系统各元件的微分方程传递函数要标明
13、输入输出量。2对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的构造图。3按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的构造图连接起来。二、系统动态构造图的求法例如图2-9是闭环调速系统图2-9一求各环节的传递函数和方框图1.比拟环节和速度调节器的传递函数和方框图scRRRRsusIsf000001222)()(1+=-，2)()(01010RscscsIIf+=-，scRsusIc111)()(+=1)()(RsusIrr=,)()()(sIsIsIfrc-=n)11)()(1)(011sTsusussksufrck+-+=式中00410cRT=为滤波常数111cR=为时间常数01RRkc=为比例系数)(
14、1sw为速度调节器函数)(2sw为速度反应滤波传递函数方框图如图2-102.速度反应传递函数)()(snksuspf=spk为速度反应系数图2-113.电动机及功率放大器装置的传递函数函数：sssksususw=)() ()(sk为功放电压放大系数图2-12电动机电框回路的微分方程：ncdtdliRueiddddd+=n(S)零初始条件下拉氏变换：)()()()1()()()(4swsncsusTRsncsusIedddedd-=+-=)(4sw电框回路传递函数图2-13电动机带负载时运动方程：dtdnGDcicimzmd3752=-拉氏变换：)()(375)()(2sSnRcTsSnRccRcGDsIsIdemdemdezd=-)()()()()()(swsIsISTcRsIsIsnszdmedzd-=-=2-47二系统动态构造图图2-14